二項関係 ③

Def.

Prop&Proof

集合の外延性により示す。
任意に $z$ をとる。
$$ z\in (R^{-1})^{-1}\ \Leftrightarrow\ z\in R $$
を示せばよい。

1. まず、$z\in (R^{-1})^{-1}$ と仮定する。
   $R\subseteq A\times B$ であるから、逆関係の定義より
   $$ R^{-1}\subseteq B\times A $$
   である。したがって、
   $$ (R^{-1})^{-1}\subseteq A\times B $$
   である。
   ゆえに、ある $a\in A,\ b\in B$ が存在して
   $$ z=(a,b) $$
   である。
   このとき、逆関係の定義より、
   $$ (a,b)\in (R^{-1})^{-1} \ \Leftrightarrow\ (b,a)\in R^{-1} $$
   である。
   さらに、$R^{-1}$ の定義より、
   $$ (b,a)\in R^{-1} \ \Leftrightarrow\ (a,b)\in R $$
   である。
   したがって、
   $$ (a,b)\in R $$
   である。
   $z=(a,b)$ であるから、
   $$ z\in R $$
   である。
   よって、
   $$ (R^{-1})^{-1}\subseteq R $$
   である。
   $ $
2. 逆に、$z\in R$ と仮定する。
   $R\subseteq A\times B$ であるから、ある $a\in A,\ b\in B$ が存在して
   $$ z=(a,b) $$
   である。
   このとき、
   $$ (a,b)\in R $$
   であるから、逆関係の定義より、
   $$ (b,a)\in R^{-1} $$
   である。
   さらに、逆関係の定義より、
   $$ (a,b)\in (R^{-1})^{-1} $$
   である。
   $z=(a,b)$ であるから、
   $$ z\in (R^{-1})^{-1} $$
   である。
   よって、
   $$ R\subseteq (R^{-1})^{-1} $$
   である。

-以上より、
$$ (R^{-1})^{-1}=R $$
である。
$$ \Box$$

集合の外延性により示す。
任意の $z$ をとる。まず、逆関係の定義より、
$$ z\in \Delta_A^{-1} \ \Leftrightarrow\ \exists a\in A\ \exists b\in A\ \bigl(z=(b,a)\land (a,b)\in \Delta_A\bigr) $$
が成り立つ。
ここで、対角関係の定義より、$a\in A,\ b\in A$ のもとで
$$ (a,b)\in \Delta_A\ \Leftrightarrow\ a=b $$
である。
したがって、
$$ z\in \Delta_A^{-1} \ \Leftrightarrow\ \exists a\in A\ \exists b\in A\ \bigl(z=(b,a)\land a=b\bigr) $$
である。
ゆえに、
$$ z\in \Delta_A^{-1} \ \Leftrightarrow\ \exists a\in A\ \bigl(z=(a,a)\bigr) $$
が成り立つ。
一方、対角関係の定義より、
$$ z\in \Delta_A \ \Leftrightarrow\ \exists a\in A\ \bigl(z=(a,a)\bigr) $$
である。
したがって、
$$ z\in \Delta_A^{-1}\ \Leftrightarrow\ z\in \Delta_A $$
が成り立つ。
以上より、集合の外延性により
$$ \Delta_A^{-1}=\Delta_A $$
である。
$$ \Box$$

集合の外延性により示す。
任意の $x$ をとる。$\operatorname{dom}(R^{-1})$ の定義より、
$$ x\in \operatorname{dom}(R^{-1}) \ \Leftrightarrow\ x\in B\land \exists a\in A\ ((x,a)\in R^{-1}) $$
が成り立つ。

1. ここで、逆関係の定義より、
   $$ (x,a)\in R^{-1}\ \Leftrightarrow\ (a,x)\in R $$
   であるから、
   $$ x\in \operatorname{dom}(R^{-1}) \ \Leftrightarrow\ x\in B\land \exists a\in A\ ((a,x)\in R) $$
   である。
   $ $
2. 一方、$\operatorname{ran}(R)$ の定義より、
   $$ x\in \operatorname{ran}(R) \ \Leftrightarrow\ x\in B\land \exists a\in A\ ((a,x)\in R) $$
   である。

-したがって、
$$ x\in \operatorname{dom}(R^{-1})\ \Leftrightarrow\ x\in \operatorname{ran}(R) $$
が成り立つ。
ゆえに、集合の外延性により
$$ \operatorname{dom}(R^{-1})=\operatorname{ran}(R) $$
である。
$$ \Box$$

集合の外延性により、任意の $x$ について
$$ x\in \operatorname{ran}(R^{-1})\ \Leftrightarrow\ x\in \operatorname{dom}(R) $$
を示せば十分である。

1. 任意の $x$ をとる。まず、$\operatorname{ran}(R^{-1})$ の定義より、
   $$ x\in \operatorname{ran}(R^{-1}) \ \Leftrightarrow\ x\in A\land \exists b\in B\ ((b,x)\in R^{-1}) $$
   が成り立つ。
   ここで、逆関係の定義より、
   $$ (b,x)\in R^{-1}\ \Leftrightarrow\ (x,b)\in R $$
   であるから、
   $$ x\in \operatorname{ran}(R^{-1}) \ \Leftrightarrow\ x\in A\land \exists b\in B\ ((x,b)\in R) $$
   である。
   $ $
2. 一方、$\operatorname{dom}(R)$ の定義より、
   $$ x\in \operatorname{dom}(R) \ \Leftrightarrow\ x\in A\land \exists b\in B\ ((x,b)\in R) $$
   である。

-したがって、
$$ x\in \operatorname{ran}(R^{-1})\ \Leftrightarrow\ x\in \operatorname{dom}(R) $$
が成り立つ。
ゆえに、集合の外延性により
$$ \operatorname{ran}(R^{-1})=\operatorname{dom}(R) $$
である。
$$ \Box$$

1. まず、
   $$ R=\varnothing\ \Rightarrow\ R^{-1}=\varnothing $$
   を示す。
   $R=\varnothing$ と仮定する。集合の外延性により、任意の $z$ について
   $$ z\in R^{-1}\ \Leftrightarrow\ z\in \varnothing $$
   を示せば十分である。
   $ $
   任意の $z$ をとる。逆関係の定義より、
   $$ z\in R^{-1} \ \Leftrightarrow\ \exists a\in A\ \exists b\in B\ \bigl(z=(b,a)\land (a,b)\in R\bigr) $$
   が成り立つ。
   しかし、$R=\varnothing$ であるから、任意の $a\in A,\ b\in B$ について
   $$ (a,b)\notin R $$
   である。
   したがって、
   $$ \exists a\in A\ \exists b\in B\ \bigl(z=(b,a)\land (a,b)\in R\bigr) $$
   は偽である。ゆえに、
   $$ z\in R^{-1} $$
   は偽である。
   $ $
   一方、空集合の定義より、
   $$ z\in \varnothing $$
   も偽である。
   したがって、
   $$ z\in R^{-1}\ \Leftrightarrow\ z\in \varnothing $$
   が成り立つ。
   よって、集合の外延性により
   $$ R^{-1}=\varnothing $$
   である。
   $ $
2. 次に、
   $$ R^{-1}=\varnothing\ \Rightarrow\ R=\varnothing $$
   を示す。
   $R^{-1}=\varnothing$ と仮定する。背理法により示すため、$R\neq\varnothing$ と仮定する。
   このとき、$R$ は空でないので、ある $z\in R$ が存在する。
   また、$R\subseteq A\times B$ であるから、ある $a\in A,\ b\in B$ が存在して
   $$ z=(a,b) $$
   である。
   したがって、
   $$ (a,b)\in R $$
   である。
   逆関係の定義より、
   $$ (b,a)\in R^{-1} $$
   が成り立つ。
   しかし、$R^{-1}=\varnothing$ であるから、
   $$ (b,a)\notin R^{-1} $$
   である。これは矛盾である。
   したがって、
   $$ R=\varnothing $$
   である。

-以上より、
$$ R=\varnothing\ \Leftrightarrow\ R^{-1}=\varnothing $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合の外延性により、任意の $z$ について
$$ z\in \varnothing^{-1}\ \Leftrightarrow\ z\in \varnothing $$
を示せば十分である。
$ $
任意の $z$ をとる。逆関係の定義より、
$$ z\in \varnothing^{-1} \ \Leftrightarrow\ \exists a\in A\ \exists b\in B\ \bigl(z=(b,a)\land (a,b)\in \varnothing\bigr) $$
が成り立つ。

1. しかし、空集合の定義より、任意の $a\in A,\ b\in B$ に対して
   $$ (a,b)\notin \varnothing $$
   である。
   したがって、
   $$ \exists a\in A\ \exists b\in B\ \bigl(z=(b,a)\land (a,b)\in \varnothing\bigr) $$
   は偽である。ゆえに、
   $$ z\in \varnothing^{-1} $$
   は偽である。
   $ $
2. 一方、空集合の定義より、
   $$ z\in \varnothing $$
   も偽である。

-したがって、
$$ z\in \varnothing^{-1}\ \Leftrightarrow\ z\in \varnothing $$
が成り立つ。
よって、集合の外延性により
$$ \varnothing^{-1}=\varnothing $$
である。
$$ \Box$$