Well-poised 8φ7の部分和の相互関係式の楕円類似
前の記事
で示した定理4は
\begin{align}
&\frac{(aq/c,aq/d,q,cdq;q)_n}{(aq,cq,dq,b/\lambda;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(a,aq/b,c,d,bq^m,bq^{-m-1}/\lambda;q)_k}{(q,b,aq/c,aq/d,aq^{1-m}/b,cdq^{m+1};q)_k}q^k\\
&=\frac{(\lambda q/c,\lambda q/d,q,cdq;q)_m}{(\lambda q,cq,dq,b/a;q)_m}\sum_{k=0}^m\frac{1-\lambda q^{2k}}{1-\lambda }\frac{(\lambda ,\lambda q/b,c,d,bq^n,bq^{-n-1}/a;q)_k}{(q,b,\lambda q/c,\lambda q/d,\lambda q^{1-n}/b,cdq^{n+1};q)_k}q^k\qquad a\lambda q=bcd
\end{align}
で与えられる公式である.
前の記事
で, $v=gq^{-n}/b, a^3q^{n+2}=bcdefg$であるとき,
\begin{align}
&{}_{12}V_{11}(a;b,c,d,e,f,g,q^{-n};q,p)\\
&=\frac{(b,aq,a^2q^2/bdef,a^2q^2/bcef,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcde;q,p)_n}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,vq,a^2q^2/bcdef;q,p)_n}\\
&\qquad\cdot{}_{12}V_{11}(v;vb/a,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf,g,q^{-n};q,p)
\end{align}
が成り立つことを示した. これは, Baileyの変換公式と全く同じ形をしているので,
前の記事
の定理4と全く同様の議論によって以下を得る.
$a\lambda q=bcd$のとき,
\begin{align}
&\frac{(aq/c,aq/d,q,cdq;q,p)_n}{(aq,cq,dq,b/\lambda;q,p)_n}\sum_{k=0}^n\frac{\theta(aq^{2k};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,aq/b,c,d,bq^m,bq^{-m-1}/\lambda;q,p)_k}{(q,b,aq/c,aq/d,aq^{1-m}/b,cdq^{m+1};q,p)_k}q^k\\
&=\frac{(\lambda q/c,\lambda q/d,q,cdq;q,p)_m}{(\lambda q,cq,dq,b/a;q,p)_m}\sum_{k=0}^m\frac{\theta(\lambda q^{2k};p)}{\theta(\lambda;p)}\frac{(\lambda ,\lambda q/b,c,d,bq^n,bq^{-n-1}/a;q,p)_k}{(q,b,\lambda q/c,\lambda q/d,\lambda q^{1-n}/b,cdq^{n+1};q,p)_k}q^k
\end{align}
前の記事 の定理4から系6を得る過程も全く同様であるから, 以下を得る.
$a\lambda q=b^2, b=cd$のとき,
\begin{align}
&\frac{(aq/c,aq/d,q,b;q,p)_n}{(a,c,d,b/\lambda;q,p)_{n+1}}\frac{q^n}{\lambda}\sum_{k=0}^n\frac{(a,aq/b,c,d;q,p)_k}{(q,b,aq/c,aq/d;q,p)_k}q^k\frac{\theta(aq^{2k};p)}{\theta(bq^{m+k};p)\theta(aq^{k-m}/b;p)}\\
&=\frac{(\lambda q/c,\lambda q/d,q,b;q,p)_m}{(\lambda,c,d,b/a;q,p)_{m+1}}\frac{q^m}{a}\sum_{k=0}^m\frac{(\lambda ,\lambda q/b,c,d;q,p)_k}{(q,b,\lambda q/c,\lambda q/d;q,p)_k}q^k\frac{\theta(\lambda q^{2k};p)}{\theta(bq^{n+k};p)\theta(\lambda q^{k-n}/b;p)}
\end{align}
が成り立つ.
これは対称モーメントの楕円類似が相互関係式を満たしている例となっている. 楕円類似は収束性の問題があるので$n\to\infty$とすることはできないが, 有限対称モーメントの楕円類似は同様に考えられる. 上の例はそれが満たす興味深い現象の一つと言えるかもしれない.
