楕円WP-Bailey対と楕円Baileyの変換公式
今回は, WP-Bailey対 の楕円類似として, 楕円WP-Bailey対を導入する. それは以下のように定義される.
数列$(\alpha_n,\beta_n)$が$(a,w)$に関する楕円WP-Bailey対であるとは, 任意の$n\geq 0$に対して,
\begin{align}
\beta_n&=\sum_{k=0}^n\frac{(w/a;q,p)_{n-k}(w;q,p)_{n+k}}{(q;q,p)_{n-k}(aq;q,p)_{n+k}}\alpha_k
\end{align}
を満たすことをいう.
Bressoudの反転公式 の楕円類似は以下のようになる.
数列$(\alpha_n,\beta_n)$が$(a,w)$に関する楕円WP-Bailey対であるとき,
\begin{align}
\alpha_n&=\frac{\theta(aq^{2n};p)}{\theta(a;p)}\sum_{k=0}^n\frac{\theta(wq^{2k};p)}{\theta(w;p)}\frac{(a/w;q,p)_{n-k}(a;q,p)_{n+k}}{(q;q,p)_{n-k}(wq;q,p)_{n+k}}\left(\frac wa\right)^{n-k}\beta_k
\end{align}
が成り立つ.
元々のBressoudの反転公式のように, 対称的な形で表すならば,
\begin{align}
\beta_n&=\sum_{k=0}^n\frac{\theta(aq^{2k};p)}{\theta(a;p)}\frac{(b/a;q,p)_{n-k}(b;q,p)_{n+k}}{(aq;q,p)_{n+k}(q;q,p)_{n-k}}\left(\frac ba\right)^k\alpha_k
\end{align}
のとき,
\begin{align}
\alpha_n&=\sum_{k=0}^n\frac{\theta(bq^{2k};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a/b;q,p)_{n-k}(a;q,p)_{n+k}}{(bq;q,p)_{n+k}(q;q,p)_{n-k}}\left(\frac ab\right)^k\beta_k
\end{align}
である.
WP-Baileyの補題 の楕円類似は以下のようになる.
数列$(\alpha_n,\beta_n)$が$(a,w)$に関する楕円WP-Bailey対であるとき,
\begin{align}
\alpha_n'&:=\frac{(b,c;q,p)_n}{(aq/b,aq/c;q,p)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\alpha_n\\
\beta_n'&:=\frac{(wq/b,wq/c;q,p)_n}{(aq/b,aq/c;q,p)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,c;q,p)_k}{(wq/b,wq/c;q,p)_k}\frac{\theta(wq^{2k};p)}{\theta(w;p)}\frac{(aq/bc;q,p)_{n-k}(awq/bc;q,p)_{n+k}}{(q;q,p)_{n-k}(wq;q,p)_{n+k}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\beta_k
\end{align}
は$(a,awq/bc)$に関するWP-Bailey対である.
$q$超幾何級数の場合のこれらの結果は, Jacksonの${}_8\phi_7$和公式 を用いて示された. よって, 全く同様に Frenkel-Turaevの和公式 を用いれば示すことができるので証明は省略する.
Kroneckerのデルタを用いて,
\begin{align}
\alpha_n&:=\frac{\theta(aq^{2n};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,a/w;q,p)_n}{(wq,q;q,p)_n}\left(\frac wa\right)^n\\
\beta_n&:=\delta_{n,0}
\end{align}
とすると, $(\alpha_n,\beta_n)$は$(a,w)$に関する楕円WP-Bailey対である. これに楕円WP-Baileyの補題(定理2)を適用すると,
\begin{align}
\alpha_n'&:=\frac{\theta(aq^{2n};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,b,c,a/w;q,p)_n}{(aq/b,aq/c,wq,q;q,p)_n}\left(\frac{wq}{bc}\right)^n\\
\beta_n'&:=\frac{(wq/b,wq/c,awq/bc,aq/bc;q,p)_n}{(aq/b,aq/c,wq,q;q,p)_n}
\end{align}
が$(a,awq/bc)$に関する楕円WP-Bailey対であることが分かる. $awq/bc$を改めて$w$とすると,
\begin{align}
\alpha_n'&:=\frac{\theta(aq^{2n};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,b,c,a^2q/bcw;q,p)_n}{(aq/b,aq/c,bcw/a,q;q,p)_n}\left(\frac{w}{a}\right)^n\\
\beta_n'&:=\frac{(wb/a,wc/a,w,aq/bc;q,p)_n}{(aq/b,aq/c,bcw/a,q;q,p)_n}
\end{align}
が$(a,w)$に関する楕円WP-Bailey対になる. これに楕円WP-Baileyの補題を適用すると,
\begin{align}
\alpha_n''&:=\frac{\theta(aq^{2n};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,b,c,d,e,a^2q/bcw;q,p)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,bcw/a,q;q,p)_n}\left(\frac{wq}{de}\right)^n\\
\beta_n''&:=\frac{(wq/d,wq/e;q,p)_n}{(aq/d,aq/e;q,p)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(wb/a,wc/a,w,aq/bc,d,e;q,p)_k}{(aq/b,aq/c,bcw/a,wq/d,wq/e,q;q,p)_k}\frac{\theta(wq^{2k};p)}{\theta(w;p)}\\
&\qquad\cdot\frac{(aq/de;q,p)_{n-k}(awq/de;q,p)_{n+k}}{(q;q,p)_{n-k}(wq;q,p)_{n+k}}\left(\frac{aq}{de}\right)^k\\
&=\frac{(wq/d,wq/e,aq/de,awq/de;q,p)_n}{(aq/d,aq/e,q,wq;q,p)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(wb/a,wc/a,w,aq/bc,d,e,awq^{n+1}/de,q^{-n};q,p)_k}{(aq/b,aq/c,bcw/a,wq/d,wq/e,deq^{-n}/a,wq^{n+1},q;q,p)_k}\frac{\theta(wq^{2k};p)}{\theta(w;p)}q^k\\
&=\frac{(wq/d,wq/e,aq/de,awq/de;q,p)_n}{(aq/d,aq/e,q,wq;q,p)_n}{}_{12}V_{11}(w;wb/a,wc/a,d,e,aq/bc,awq^{n+1}/de,q^{-n};q,p)\\
\end{align}
が$(a,awq/de)$に関する楕円WP-Bailey対である. よって,
\begin{align}
\beta_n''&=\sum_{k=0}^n\frac{(wq/de;q,p)_{n-k}(awq/de;q,p)_{n+k}}{(q;q,p)_{n-k}(aq;q,p)_{n+k}}\alpha_k''\\
&=\frac{(wq/de,awq/de;q,p)_n}{(q,aq;q,p)_n}{}_{12}V_{11}(a;b,c,d,e,a^2q/bcw,awq^{n+1}/de,q^{-n};q,p)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&{}_{12}V_{11}(a;b,c,d,e,a^2q/bcw,awq^{n+1}/de,q^{-n};q,p)\\
&=\frac{(wq/d,wq/e,aq,aq/de;q,p)_n}{(aq/d,aq/e,wq,wq/de;q,p)_n}{}_{12}V_{11}(w;wb/a,wc/a,d,e,aq/bc,awq^{n+1}/de,q^{-n};q,p)
\end{align}
変数を付け替えて整理すると, 以下の楕円Baileyの変換公式を得る.
$w=a^2q/bcd, a^3q^{n+2}=bcdefg$のとき,
\begin{align}
&{}_{12}V_{11}(a;b,c,d,e,f,g,q^{-n};q,p)\\
&=\frac{(aq,aq/ef,wq/e,wq/f;q,p)_n}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q,p)_n}{}_{12}V_{11}(w;wb/a,wc/a,wd/a,e,f,g,q^{-n};q,p)
\end{align}
が成り立つ.
これは Baileyの変換公式 の楕円類似である.
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