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楕円WP-Bailey対と楕円Baileyの変換公式

今回は, WP-Bailey対の楕円類似として, 楕円WP-Bailey対を導入する. それは以下のように定義される.

数列 $(α_{n}, β_{n})$ が $(a, w)$ に関する楕円WP-Bailey対であるとは, 任意の $n \geq 0$ に対して,
$\begin{aligned} β_{n} & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w / a; q, p)_{n - k} (w; q, p)_{n + k}}{(q; q, p)_{n - k} (a q; q, p)_{n + k}} α_{k} \end{aligned}$
を満たすことをいう.

Bressoudの反転公式の楕円類似は以下のようになる.

Warnaar(2003)

数列 $(α_{n}, β_{n})$ が $(a, w)$ に関する楕円WP-Bailey対であるとき,
$\begin{aligned} α_{n} & = \frac{θ (a q^{2 n}; p)}{θ (a; p)} \sum_{k = 0}^{n} \frac{θ (w q^{2 k}; p)}{θ (w; p)} \frac{(a / w; q, p)_{n - k} (a; q, p)_{n + k}}{(q; q, p)_{n - k} (w q; q, p)_{n + k}} {(\frac{w}{a})}^{n - k} β_{k} \end{aligned}$
が成り立つ.

元々のBressoudの反転公式のように, 対称的な形で表すならば,
$\begin{aligned} β_{n} & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{θ (a q^{2 k}; p)}{θ (a; p)} \frac{(b / a; q, p)_{n - k} (b; q, p)_{n + k}}{(a q; q, p)_{n + k} (q; q, p)_{n - k}} {(\frac{b}{a})}^{k} α_{k} \end{aligned}$
のとき,
$\begin{aligned} α_{n} & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{θ (b q^{2 k}; p)}{θ (a; p)} \frac{(a / b; q, p)_{n - k} (a; q, p)_{n + k}}{(b q; q, p)_{n + k} (q; q, p)_{n - k}} {(\frac{a}{b})}^{k} β_{k} \end{aligned}$
である.

WP-Baileyの補題の楕円類似は以下のようになる.

Spiridonov(2002)

数列 $(α_{n}, β_{n})$ が $(a, w)$ に関する楕円WP-Bailey対であるとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := \frac{(b, c; q, p)_{n}}{(a q / b, a q / c; q, p)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} α_{n} \\ β_{n}^{'} & := \frac{(w q / b, w q / c; q, p)_{n}}{(a q / b, a q / c; q, p)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(b, c; q, p)_{k}}{(w q / b, w q / c; q, p)_{k}} \frac{θ (w q^{2 k}; p)}{θ (w; p)} \frac{(a q / b c; q, p)_{n - k} (a w q / b c; q, p)_{n + k}}{(q; q, p)_{n - k} (w q; q, p)_{n + k}} {(\frac{a q}{b c})}^{k} β_{k} \end{aligned}$
は $(a, a w q / b c)$ に関するWP-Bailey対である.

$q$ 超幾何級数の場合のこれらの結果は, Jacksonの $_{8} ϕ_{7}$ 和公式を用いて示された. よって, 全く同様に Frenkel-Turaevの和公式を用いれば示すことができるので証明は省略する.

Kroneckerのデルタを用いて,
$\begin{aligned} α_{n} & := \frac{θ (a q^{2 n}; p)}{θ (a; p)} \frac{(a, a / w; q, p)_{n}}{(w q, q; q, p)_{n}} {(\frac{w}{a})}^{n} \\ β_{n} & := δ_{n, 0} \end{aligned}$
とすると, $(α_{n}, β_{n})$ は $(a, w)$ に関する楕円WP-Bailey対である. これに楕円WP-Baileyの補題(定理2)を適用すると,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := \frac{θ (a q^{2 n}; p)}{θ (a; p)} \frac{(a, b, c, a / w; q, p)_{n}}{(a q / b, a q / c, w q, q; q, p)_{n}} {(\frac{w q}{b c})}^{n} \\ β_{n}^{'} & := \frac{(w q / b, w q / c, a w q / b c, a q / b c; q, p)_{n}}{(a q / b, a q / c, w q, q; q, p)_{n}} \end{aligned}$
が $(a, a w q / b c)$ に関する楕円WP-Bailey対であることが分かる. $a w q / b c$ を改めて $w$ とすると,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := \frac{θ (a q^{2 n}; p)}{θ (a; p)} \frac{(a, b, c, a^{2} q / b c w; q, p)_{n}}{(a q / b, a q / c, b c w / a, q; q, p)_{n}} {(\frac{w}{a})}^{n} \\ β_{n}^{'} & := \frac{(w b / a, w c / a, w, a q / b c; q, p)_{n}}{(a q / b, a q / c, b c w / a, q; q, p)_{n}} \end{aligned}$
が $(a, w)$ に関する楕円WP-Bailey対になる. これに楕円WP-Baileyの補題を適用すると,
$\begin{aligned} α_{n}^{″} & := \frac{θ (a q^{2 n}; p)}{θ (a; p)} \frac{(a, b, c, d, e, a^{2} q / b c w; q, p)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, b c w / a, q; q, p)_{n}} {(\frac{w q}{d e})}^{n} \\ β_{n}^{″} & := \frac{(w q / d, w q / e; q, p)_{n}}{(a q / d, a q / e; q, p)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w b / a, w c / a, w, a q / b c, d, e; q, p)_{k}}{(a q / b, a q / c, b c w / a, w q / d, w q / e, q; q, p)_{k}} \frac{θ (w q^{2 k}; p)}{θ (w; p)} \\ \cdot \frac{(a q / d e; q, p)_{n - k} (a w q / d e; q, p)_{n + k}}{(q; q, p)_{n - k} (w q; q, p)_{n + k}} {(\frac{a q}{d e})}^{k} \\ = \frac{(w q / d, w q / e, a q / d e, a w q / d e; q, p)_{n}}{(a q / d, a q / e, q, w q; q, p)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w b / a, w c / a, w, a q / b c, d, e, a w q^{n + 1} / d e, q^{- n}; q, p)_{k}}{(a q / b, a q / c, b c w / a, w q / d, w q / e, d e q^{- n} / a, w q^{n + 1}, q; q, p)_{k}} \frac{θ (w q^{2 k}; p)}{θ (w; p)} q^{k} \\ = \frac{(w q / d, w q / e, a q / d e, a w q / d e; q, p)_{n}}{(a q / d, a q / e, q, w q; q, p)_{n}}_{12} V_{11} (w; w b / a, w c / a, d, e, a q / b c, a w q^{n + 1} / d e, q^{- n}; q, p) \end{aligned}$
が $(a, a w q / d e)$ に関する楕円WP-Bailey対である. よって,
$\begin{aligned} β_{n}^{″} & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w q / d e; q, p)_{n - k} (a w q / d e; q, p)_{n + k}}{(q; q, p)_{n - k} (a q; q, p)_{n + k}} α_{k}^{″} \\ = \frac{(w q / d e, a w q / d e; q, p)_{n}}{(q, a q; q, p)_{n}}_{12} V_{11} (a; b, c, d, e, a^{2} q / b c w, a w q^{n + 1} / d e, q^{- n}; q, p) \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} _{12} V_{11} (a; b, c, d, e, a^{2} q / b c w, a w q^{n + 1} / d e, q^{- n}; q, p) \\ = \frac{(w q / d, w q / e, a q, a q / d e; q, p)_{n}}{(a q / d, a q / e, w q, w q / d e; q, p)_{n}}_{12} V_{11} (w; w b / a, w c / a, d, e, a q / b c, a w q^{n + 1} / d e, q^{- n}; q, p) \end{aligned}$
変数を付け替えて整理すると, 以下の楕円Baileyの変換公式を得る.

Frenkel-Turaev(1997)

$w = a^{2} q / b c d, a^{3} q^{n + 2} = b c d e f g$ のとき,
$\begin{aligned} _{12} V_{11} (a; b, c, d, e, f, g, q^{- n}; q, p) \\ = \frac{(a q, a q / e f, w q / e, w q / f; q, p)_{n}}{(a q / e, a q / f, w q, w q / e f; q, p)_{n}}_{12} V_{11} (w; w b / a, w c / a, w d / a, e, f, g, q^{- n}; q, p) \end{aligned}$
が成り立つ.