Frenkel-Turaevの和公式
前回の記事で楕円Pochhammer記号と楕円超幾何級数を導入した. 前の記事 で示した無限積の三項関係式は以下のように書ける.
$A^2=bcde$のとき,
\begin{align}
\theta(A/b,A/c,A/d,A/e;p)-\theta(b,c,d,e;p)&=b\theta(A,A/bc,A/bd,A/be;p)
\end{align}
今回は楕円超幾何級数の最も基本的な和公式であるFrenkel-Turaevの和公式を示す. これは Jacksonの${}_8\phi_7$和公式 の楕円類似である.
$a^2q^{n+1}=bcde$のとき, 非負整数$n$に対し,
\begin{align}
{}_{10}V_9(a;b,c,d,e,q^{-n};q,p)&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q,p)_n}
\end{align}
が成り立つ.
$n=0$のときは明らかに成り立つ. $n=m$のときに成り立つと仮定して$n=m+1$の場合を示す. つまり,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^{m+1}\frac{\theta(aq^{2k};p)(a,b,c,d,a^2q^{m+2}/bcd,q^{-m-1};q,p)_k}{\theta(a;p)(q,aq/b,aq/c,aq/d,bcdq^{-m-1}/a,aq^{m+2};q,p)_k}q^k\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_{m+1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q,p)_{m+1}}
\end{align}
を示せば良い. まず,
\begin{align}
&\frac{(a^2q^{m+2}/bcd,q^{-m-1};q,p)_k}{(bcdq^{-m-1}/a,aq^{m+2};q,p)_k}\\
&=\frac{(a^2q^{m+1}/bcd,q^{-m};q,p)_k}{(bcdq^{-m}/a,aq^{m+1};q,p)_k}\frac{\theta(a^2q^{m+k+1}/bcd,bcdq^{k-m-1}/a,aq^{m+1},q^{-m-1};p)}{\theta(a^2q^{m+1}/bcd,bcdq^{-m-1}/a,aq^{m+k+1},q^{k-m-1};p)}
\end{align}
である. 定理1より,
\begin{align}
&\frac{\theta(a^2q^{m+k+1}/bcd,bcdq^{k-m-1}/a,aq^{m+1},q^{-m-1};p)}{\theta(a^2q^{m+1}/bcd,bcdq^{-m-1}/a,aq^{m+k+1},q^{k-m-1};p)}\\
&=1+\frac{\theta(a^2q^{m+k+1}/bcd,bcdq^{k-m-1}/a,aq^{m+1},q^{-m-1};p)-\theta(a^2q^{m+1}/bcd,bcdq^{-m-1}/a,aq^{m+k+1},q^{k-m-1};p)}{\theta(a^2q^{m+1}/bcd,bcdq^{-m-1}/a,aq^{m+k+1},q^{k-m-1};p)}\\
&=1+\frac{bcdq^{-m-1}}{a}\frac{\theta(aq^k,q^k,a/bcd,a^2q^{2m+2}/bcd;p)}{\theta(a^2q^{m+1}/bcd,bcdq^{-m-1}/a,aq^{m+k+1},q^{k-m-1};p)}\\
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^{m+1}\frac{\theta(aq^{2k};p)(a,b,c,d,a^2q^{m+2}/bcd,q^{-m-1};q,p)_k}{\theta(a;p)(q,aq/b,aq/c,aq/d,bcdq^{-m-1}/a,aq^{m+2};q,p)_k}q^k\\
&=\sum_{k=0}^{m+1}\frac{\theta(aq^{2k};p)(a,b,c,d;q,p)_k}{\theta(a;p)(q,aq/b,aq/c,aq/d;q,p)_k}\\
&\qquad\cdot\frac{(a^2q^{m+1}/bcd,q^{-m};q,p)_k}{(bcdq^{-m}/a,aq^{m+1};q,p)_k}\left(1+\frac{bcdq^{-m-1}}{a}\frac{\theta(aq^k,q^k,a/bcd,a^2q^{2m+2}/bcd;p)}{\theta(a^2q^{m+1}/bcd,bcdq^{-m-1}/a,aq^{m+k+1},q^{k-m-1};p)}\right)q^k\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_m}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q,p)_m}\\
&\qquad+\frac{bcdq^{-m-1}}{a}\frac{\theta(a,a/bcd,a^2q^{2m+2}/bcd;p)}{\theta(a^2q^{m+1}/bcd,bcdq^{-m-1}/a,aq^{m+1};p)}\sum_{k=1}^{m+1}\frac{\theta(aq^{2k};p)(aq,b,c,d;q,p)_k}{\theta(a;p)(q;q,p)_{k-1}(aq/b,aq/c,aq/d;q,p)_k}\\
&\qquad\cdot\frac{(a^2q^{m+1}/bcd;q,p)_k(q^{-m};q,p)_{k-1}}{(bcdq^{-m}/a,aq^{m+2};q,p)_k}q^k\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_m}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q,p)_m}\\
&\qquad+\frac{bcdq^{-m}}{a}\frac{\theta(aq,aq^2,a/bcd,a^2q^{2m+2}/bcd,b,c,d;p)}{\theta(aq/b,aq/c,aq/d,bcdq^{-m-1}/a,bcdq^{-m}/a,aq^{m+1},aq^{m+2};p)}\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^{m}\frac{\theta(aq^{2k+2};p)(aq^2,bq,cq,dq,a^2q^{m+2}/bcd,q^{-m};q,p)_k}{\theta(aq^2;p)(q,aq^2/b,aq^2/c,aq^2/d,bcdq^{1-m}/a,aq^{m+3};q,p)_k}q^k\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_m}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q,p)_m}\\
&\qquad+\frac{bcdq^{-m}}{a}\frac{\theta(aq,aq^2,a/bcd,a^2q^{2m+2}/bcd,b,c,d;p)}{\theta(aq/b,aq/c,aq/d,bcdq^{-m-1}/a,bcdq^{-m}/a,aq^{m+1},aq^{m+2};p)}\\
&\qquad\cdot\frac{(aq^3,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_m}{(aq^2/b,aq^2/c,aq^2/d,a/bcd;q,p)_m}\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_m}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q,p)_m}\\
&\qquad+\frac{bcdq^{-m}}{a}\frac{\theta(aq^m/bcd,a^2q^{2m+2}/bcd,b,c,d;p)}{\theta(aq^{m+1}/b,aq^{m+1}/c,aq^{m+1}/d,bcdq^{-m-1}/a,bcdq^{-m}/a;p)}\\
&\qquad\cdot\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_m}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q,p)_m}\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_m}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q,p)_m}\left(1-\frac{\theta(a^2q^{2m+2}/bcd,b,c,d;p)}{\theta(aq^{m+1}/b,aq^{m+1}/c,aq^{m+1}/d,bcdq^{-m-1}/a;p)}\right)
\end{align}
ここで, 定理1より,
\begin{align}
&1-\frac{\theta(a^2q^{2m+2}/bcd,b,c,d;p)}{\theta(aq^{m+1}/b,aq^{m+1}/c,aq^{m+1}/d,bcdq^{-m-1}/a;p)}\\
&=\frac{\theta(aq^{m+1}/b,aq^{m+1}/c,aq^{m+1}/d,bcdq^{-m-1}/a;p)-\theta(a^2q^{2m+2}/bcd,b,c,d;p)}{\theta(aq^{m+1}/b,aq^{m+1}/c,aq^{m+1}/d,bcdq^{-m-1}/a;p)}\\
&=\frac{a^2q^{2m+2}}{bcd}\frac{\theta(aq^{m+1},bcq^{-m-1}/a,bdq^{-m-1}/a,cdq^{-m-1}/a;p)}{\theta(aq^{m+1}/b,aq^{m+1}/c,aq^{m+1}/d,bcdq^{-m-1}/a;p)}\\
&=\frac{\theta(aq^{m+1},aq^{m+1}/bc,aq^{m+1}/bd,aq^{m+1}/cd;p)}{\theta(aq^{m+1}/b,aq^{m+1}/c,aq^{m+1}/d,aq^{m+1}/bcd;p)}
\end{align}
よって, これを代入すれば,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^{m+1}\frac{\theta(aq^{2k};p)(a,b,c,d,a^2q^{m+2}/bcd,q^{-m-1};q,p)_k}{\theta(a;p)(q,aq/b,aq/c,aq/d,bcdq^{-m-1}/a,aq^{m+2};q,p)_k}q^k\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_{m}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q,p)_{m}}\frac{\theta(aq^{m+1},aq^{m+1}/bc,aq^{m+1}/bd,aq^{m+1}/cd;p)}{\theta(aq^{m+1}/b,aq^{m+1}/c,aq^{m+1}/d,aq^{m+1}/bcd;p)}\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q,p)_{m+1}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q,p)_{m+1}}
\end{align}
となって定理を得る.
定理1はJacksonの${}_8\phi_7$和公式の楕円類似である. Jacksonの和公式においては$d\mapsto aq/d,e\mapsto aq/e$としてから$a\to 0$とすることによって$q$-Saalschützの和公式を示すことができたが, 楕円類似の場合は$a\to 0$の極限が収束しない.
定理2の証明について, Jacksonの和公式は$q$-Saalschützの和公式などの, より小さい位数の超幾何級数の和公式を用いて示すことができたが, 楕円類似の場合はそのようなものが無かったので, 直接的に帰納法によって示した.
定理2の証明において用いられている非自明な結果は本質的に定理1だけであるというところは興味深い事実である.
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