積閉集合についての覚書
以下，単位的可換環のことを単に環という．
積閉集合の“閉包”
環$A$の（乗法に関する）部分モノイドを$A$の積閉集合という．また，$A$の積閉集合全体のなす集合を$\mathcal{M}(A)$で表わす：
$$
\mathcal{M}(A) \coloneqq \{S \subset A \mid 1 \in S,\ SS \subset S\}.$$
$A$を環とする．
- 各$a \in A$に対して
$$ \{a^{n} \mid n \in \mathbb{N}\} \subset A$$
は積閉集合である． - $A$の（乗法に関する）部分半群$S_{0} \subset A$に対して
$$ S_{0} \cup \{1\} \subset A$$
は積閉集合である．
環$A$の積閉集合$S \subset A$に対して
$$
\delta S \coloneqq \{x \in A \mid \exists\,y \in A,\ xy \in S\}$$
とおくと（cf. wikiDefinition 2），これは積閉集合である．さらに，写像
$$
\mathcal{M}(A) \to \mathcal{M}(A);\ S \mapsto \delta S$$
は$\mathcal{M}(A)$上の閉包作用素である：
- $S \subset \delta S$;
- $S \subset S' \implies \delta S \subset \delta S'$;
- $\delta(\delta S) = \delta S$.
$x,x' \in \delta S$とする．このとき，$y,y' \in A$であって$xy,x'y' \in S$なるものが存在するので，
$$
xx' \cdot yy' = xy \cdot x'y' \in S \quad\leadsto\quad xx' \in \delta S$$
が成り立つ．また，$1 \cdot 1 = 1 \in S$より$1 \in \delta S$が成り立つ．
- 任意の$x \in S$に対して，$x \cdot 1 = x \in S$より，$x \in \delta S$が成り立つ．
- 任意の$x \in \delta S$に対して，
$$ \exists\,y \in A,\ xy \in S \subset S'$$
より，$x \in \delta S'$が成り立つ． - $x \in \delta(\delta S)$とする．このとき，$y,z \in A$であって
$$ xy \in \delta S,\ x(yz) = (xy)z \in S$$
なるものが存在するので，$x \in \delta S$を得る．
環$A$の積閉集合$\{1\} \subset A$に対して
$$
\delta \{1\} = \{x \in A \mid \exists\,y \in A,\ xy = 1\} = A^{\times}$$
が成り立つ．したがって，任意の積閉集合$S \subset A$に対して
$$
A^{\times} \subset \delta S$$
が成り立つ．
整数$a \in \mathbb{Z},\,a>1,$の相異なる素因数を$p_{1},\ldots,p_{k}$とすると，
$$
\delta \{a^{n} \mid n \in \mathbb{N}\} = \{\pm p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{k}^{e_{k}} \in \mathbb{Z} \mid e_{1},\ldots,e_{k} \in \mathbb{N}\}$$
となる．
飽和積閉集合と素イデアル
環$A$の積閉集合$S \subset A$について，$\delta S = S$，すなわち
$$
xy \in S \implies x \in S$$
が成り立つとき，$S$を飽和積閉集合という．
環$A$の（飽和）積閉集合族$(S_{\lambda})_{\lambda}$に対して，その交叉$\bigcap_{\lambda} S_{\lambda} \subset A$は（飽和）積閉集合である．
$A$を環とし，各$a \in A$に対して写像$\rho_{a} \colon A \to A$を$\rho_{a}(x) \coloneqq xa$で定める．このとき，$A$の正則元（i.e. 非零因子）全体のなす集合
$$
\reg A \coloneqq \{a \in A \mid \rho_{a}:\text{injective}\}$$
は飽和積閉集合である．実際，正則元の定義より，$1 \in \reg A$および
$$
aa' \in \reg A \iff \rho_{aa'}:\text{injective} \iff \rho_{a},\rho_{a'}:\text{injective} \iff a,a' \in \reg A$$
が成り立つ．
環$A$の素イデアル$\mathfrak{p} \subset A$に対して，$S \coloneqq A \smallsetminus \mathfrak{p} \subset A$は飽和積閉集合である．実際，素イデアルの定義より，$1 \in S$および
$$
xy \in S \iff xy \notin \mathfrak{p} \iff x,y \notin \mathfrak{p} \iff x,y \in S$$
が成り立つ．
$A$を環とし$S \in \mathcal{M}(A)$とする．このとき
$$
\delta S = A \smallsetminus \bigcup \{\mathfrak{p} \mid \mathfrak{p} \subset A:\text{prime ideal},\ \mathfrak{p} \cap S = \varnothing\}$$
が成り立つ（cf. wikiDefinition 4）．
$\overline{S} \coloneqq \mathrm{RHS}$とおく．
- prime-ideal，intersectionより$\overline{S}$は$S$を含む飽和積閉集合であるから，
$$ \delta S \subset \delta \overline{S} = \overline{S}$$
が成り立つ． - $x \notin \delta S$とし，
$$ \mathcal{I} \coloneqq \{I \mid I \subset A:\text{ideal},\ x \in I,\ I \cap S = \varnothing\}$$
を考える．- イデアル$(x) \subset A$について，$\delta S$の定義より$(x) \cap S = \varnothing$となるので，
$$ (x) \in \mathcal{I} \neq \varnothing$$
が成り立つ． - $\mathcal{J} \subset \mathcal{I}$を全順序部分集合とすると，$\bigcup\mathcal{J} \in \mathcal{I}$がその上界を与える．よって，Zornの補題より，極大元$\mathfrak{p} \in \mathcal{I}$が存在する．あとは$\mathfrak{p} \subset A$が素イデアルであることを示せばよい．
- そこで$yz \in \mathfrak{p}$とする．もし$y,z \notin \mathfrak{p}$となったとすると，$\mathfrak{p}$の極大性より，$s,s' \in S$であって
$$ s \in \mathfrak{p}+(y),\ s' \in \mathfrak{p}+(z)$$
なるものが存在するので
$$ ss' \in (\mathfrak{p}+(y))(\mathfrak{p}+(z)) \cap S \subset \mathfrak{p} \cap S = \varnothing$$
となるが，これは不合理である．
- イデアル$(x) \subset A$について，$\delta S$の定義より$(x) \cap S = \varnothing$となるので，
$A$を環とし$S \in \mathcal{M}(A)$とする．このとき次は同値である：
- $S$は飽和積閉集合である；
- $A \smallsetminus S$は（いくつかの）素イデアルの合併に等しい．
(i)$\implies$(ii)
sat-primeより
$$
A \smallsetminus S = A \smallsetminus \delta S = \bigcup \{\mathfrak{p} \mid \mathfrak{p} \subset A:\text{prime ideal},\ \mathfrak{p} \cap S = \varnothing\}$$
が成り立つ．
(ii)$\implies$(i)
prime-ideal，intersectionよりしたがう．
環$A$の零因子全体のなす集合$A \smallsetminus \reg A \subset A$は，飽和積閉集合$\reg A$と交わらない素イデアルの合併に等しい（cf. regular）．
分数環
$A$を環とし$S \in \mathcal{M}(A)$とする．このとき，$A \times S$上の関係${\sim} = {\sim_{S}}$を
$$
(a,s) \sim (a',s') :\iff \exists\,t \in S,\,(as' - a's)t = 0$$
で定めると，これは同値関係である．
- $1 \in S$に対して
$$ (as-as)\cdot 1 = 0$$
が成り立つので，$(a,s) \sim (a,s)$を得る． - $(a,s) \sim (a',s')$とする．このとき，$t \in S$であって
$$ (as'-a's)t = 0 \quad\leadsto\quad (a's-as')t = 0$$
なるものが存在するので，$(a',s') \sim (a,s)$を得る． - $(a,s) \sim (a',s') \sim (a'',s'')$とする：
$$ \exists\,t,u \in S,\ (as' - a's)t = 0,\ (a's'' - a''s')u = 0.$$
このとき，$s'tu \in S$に対して
$$ (as'' - a''s)s'tu = (as'-a's)t \cdot s''u + (a's''-a''s')u \cdot st = 0$$
が成り立つので，$(a,s) \sim (a'',s'')$を得る．
環$A$の積閉集合$S \in \mathcal{M}(A)$に対して，商集合$(A \times S)/{\sim_{S}}$を$A[S^{-1}]$で表わす．また，$(a,s) \in A \times S$の同値類を$a/s, \frac{a}{s}$などと書く．
- $0 \in S$のとき，任意の$(a,s),(a',s') \in A \times S$に対して
$$ (as'-a's)\cdot 0 = 0$$
が成り立つので，$A[S^{-1}]$は単集合となる．逆に，$A[S^{-1}]$が単集合であるとき，$1/1 = 0/1 \in A[S^{-1}]$より，
$$ \exists\,s \in S,\ (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)s = 0 \quad\leadsto\quad 0 = s \in S$$
が成り立つ． - $S$が零因子を含まないとき，
$$ \frac{a}{s} = \frac{a'}{s'} \iff as'=a's$$
が成り立つ．
$A$を環とし$S \in \mathcal{M}(A)$とする．このとき
$$
\frac{a}{s} = \frac{a'}{s'},\ \frac{b}{t} = \frac{b'}{t'} \implies \frac{at+bs}{st} = \frac{a't'+b's'}{s't'},\ \frac{ab}{st} = \frac{a'b'}{s't'}.$$
が成り立ち，したがって，写像
\begin{align}
A[S^{-1}] \times A[S^{-1}] \to A[S^{-1}]&;\ \left(\frac{a}{s},\frac{b}{t}\right) \mapsto \frac{at+bs}{st}\\
A[S^{-1}] \times A[S^{-1}] \to A[S^{-1}]&;\ \left(\frac{a}{s},\frac{b}{t}\right) \mapsto \frac{ab}{st}\\
\end{align}
が定まる．さらに，これらの演算に関して$A[S^{-1}]$は，$0/1$を零元とし，$1/1$を単位元とする可換環となり，写像
$$
\iota_{S} \colon A \to A[S^{-1}];\ a \mapsto \frac{a}{1}$$
は環準同型である．
和について
- $a/s = a'/s',\ b/t = b'/t'$とする：
$$ \exists\,u,v \in S,\ (as'-a's)u = 0,\ (bt'-b't)v = 0.$$
このとき，$uv \in S$に対して
$$ ((at+bs)s't' - (a't'+b's')st)uv = (as'-a's)u \cdot tt'v + (bt'-b't)v \cdot ss'u = 0$$
が成り立つので，
$$ \frac{at+bs}{st} = \frac{a't'+b's'}{s't'}$$
を得る． - 任意の$a/s,b/t,c/u \in A[S^{-1}]$に対して，
\begin{align} \left(\frac{a}{s} + \frac{b}{t}\right) + \frac{c}{u} &= \left(\frac{at+bs}{st}\right) + \frac{c}{u} \\ &= \frac{(at+bs)u+c(st)}{(st)u} \\ &= \frac{a(tu)+(bu+ct)s}{s(tu)} \\ &= \frac{a}{s} + \left(\frac{bu+ct}{tu}\right) \\ &= \frac{a}{s} + \left(\frac{b}{t} + \frac{c}{u}\right) \end{align}
が成り立つ． - 任意の$a/s,b/t \in A[S^{-1}]$に対して
$$ \frac{a}{s} + \frac{b}{t} = \frac{at+bs}{st} = \frac{bs+at}{ts} = \frac{b}{t} + \frac{a}{s}$$
が成り立つ． - 任意の$a/s \in A[S^{-1}]$に対して，
$$ \frac{a}{s} + \frac{0}{1} = \frac{a \cdot 1 + 0 \cdot s}{s \cdot 1} = \frac{a}{s}$$
が成り立つ． - 任意の$a/s \in A[S^{-1}]$に対して，$(-a)/s \in A[S^{-1}]$であり，
$$ \frac{a}{s} + \frac{-a}{s} = \frac{as + (-a)s}{s^{2}} = \frac{0}{s^{2}} = \frac{0}{1}$$
が成り立つ．
積について
- $a/s = a'/s',\ b/t = b'/t'$とする：
$$ \exists\,u,v \in S,\ (as'-a's)u = 0,\ (bt'-b't)v = 0.$$
このとき，$uv \in S$に対して
$$ (ab \cdot s't' - a'b' \cdot st)uv = (as'-a's)u \cdot bt'v + (bt'-b't)v \cdot a'su = 0$$
が成り立つので，
$$ \frac{ab}{st} = \frac{a'b'}{s't'}$$
を得る． - 任意の$a/s,b/t,c/u \in A[S^{-1}]$に対して，
\begin{align} \left(\frac{a}{s} \cdot \frac{b}{t}\right) \cdot \frac{c}{u} &= \frac{ab}{st} \cdot \frac{c}{u} \\ &= \frac{(ab)c}{(st)u} \\ &= \frac{a(bc)}{s(tu)} \\ &= \frac{a}{s} \cdot \frac{bc}{tu} \\ &= \frac{a}{s} \cdot \left(\frac{b}{t} \cdot \frac{c}{u}\right) \end{align}
が成り立つ． - 任意の$a/s,b/t \in A[S^{-1}]$に対して
$$ \frac{a}{s} \cdot \frac{b}{t} = \frac{ab}{st} = \frac{ba}{ts} = \frac{b}{t} \cdot \frac{a}{s}$$
が成り立つ． - 任意の$a/s \in A[S^{-1}]$に対して
$$ \frac{a}{s} \cdot \frac{1}{1} = \frac{a \cdot 1}{s \cdot 1} = \frac{a}{s}$$
が成り立つ．
和と積について
任意の$a/s,b/t,c/u \in A[S^{-1}]$に対して
\begin{align}
\frac{a}{s} \cdot \left(\frac{b}{t} + \frac{c}{u}\right)
&= \frac{a}{s} \cdot \frac{bu+ct}{tu} \\
&= \frac{a(bu+ct)}{s(tu)} \\
&= \frac{abu+act}{stu} \\
&= \frac{ab \cdot su + ac \cdot st}{st \cdot su} \\
&= \frac{ab}{st} + \frac{ac}{su} \\
&= \frac{a}{s} \cdot \frac{b}{t} + \frac{a}{s} \cdot \frac{c}{u}
\end{align}
が成り立つ．
写像$\iota_{S}$について
任意の$a,b \in A$に対して
\begin{align}
\iota_{S}(a+b) &= \frac{a+b}{1} = \frac{a \cdot 1 + b \cdot 1}{1 \cdot 1} = \frac{a}{1} + \frac{b}{1} = \iota_{S}(a) + \iota_{S}(b);\\
\iota_{S}(ab) &= \frac{ab}{1} = \frac{a \cdot b}{1 \cdot 1} = \frac{a}{1} \cdot \frac{b}{1} = \iota_{S}(a) \cdot \iota_{S}(b);
\end{align}
が成り立つ．また，
$$
\iota_{S}(1_{A}) = \frac{1_{A}}{1_{A}} = 1_{A[S^{-1}]}$$
が成り立つ．
同値関係の定め方より
$$
\frac{a}{1} = \frac{0}{1} \iff \exists\,s \in S,\ (a \cdot 1 - 0 \cdot 1)s = 0$$
となるので，
$$
\Ker \iota_{S} = \{a \in A \mid \exists\,s \in S,\ as = 0\}$$
が成り立つ．したがって，$\iota_{S}$が単射となるためには，$S$が零因子を含まないことが必要かつ十分である：
$$
\Ker\iota_{S} = \{0\} \iff S \subset \reg A.$$
$A$を環とし$S \in \mathcal{M}(A)$とする．このとき，組$(A[S^{-1}],\iota_{S})$（または単に$A[S^{-1}]$）を$A$の$S$による分数環という．
環$A$とその素イデアル$\mathfrak{p} \subset A$とに対して，分数環$A_{\mathfrak{p}} \coloneqq A[(A\smallsetminus\mathfrak{p})^{-1}]$を$A$の$\mathfrak{p}$における局所化という（cf. prime-ideal）．
整域$A$の，飽和積閉集合$A \smallsetminus \{0\} = \reg A \subset A$による分数環$\mathrm{Frac}(A) \coloneqq Q(A)$は体となる．実際，$a/s \in \mathrm{Frac}(A) \smallsetminus\{0/1\}$とすると，$a \neq 0$であり，$s/a \in \mathrm{Frac}(A)$に対して
$$
\frac{a}{s} \cdot \frac{s}{a} = \frac{as}{sa} = \frac{1}{1}$$
が成り立つ．そこで，体$\mathrm{Frac}(A)$を整域$A$の分数体という：
$$
\mathrm{Frac}(A) = \{a/b \mid a,b \in A,\ b \neq 0\}.$$
環$A$の積閉集合$S \in \mathcal{M}(A)$による分数環$(A[S^{-1}],\iota_{S})$について，次が成り立つ：
- $\iota_{S}^{\rightarrow}(S) \subset {A[S^{-1}]}^{\times}$;
- 任意の環$B$と環準同型$f \colon A \to B$であって$f^{\rightarrow}(S) \subset B^{\times}$なるものに対して，環準同型$f_{S} \colon A[S^{-1}] \to B$であって$f_{S} \circ \iota_{S} = f$を満たすものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {A} \ar[rr]^{\iota_{S}} \ar[ddrr]_{f} && {A[S^{-1}]} \ar@{.>}[dd]^{f_{S}\qquad} \\ \\ && {B} }$$
さらに，環$A'$と環準同型$\iota' \colon A \to A'$とに対して同様のことが成り立つならば，$A$代数$(A[S^{-1}],\iota_{S})$と$(A',\iota')$とは同型である．
- $s \in S$とする．このとき，$1/s \in A[S^{-1}]$に対して
$$ \iota_{S}(s) \cdot \frac{1}{s} = \frac{s}{1} \cdot \frac{1}{s} = \frac{s}{s} = \frac{1}{1}$$
が成り立つ． -
- 写像$f_{S} \colon A[S^{-1}] \to B$を
$$ f_{S}(a/s) \coloneqq f(a)f(s)^{-1}$$
で定めることができる．実際，$a/s = a'/s'$ならば，$t \in S$であって$(as'-a's)t = 0$なるものが存在するので
$$ 0 = f(0) = (f(a)f(s') - f(a')f(s))f(t)$$
が成り立ち，仮定より$f^{\rightarrow}(S) \subset B^{\times}$であるから，
$$ f(a)f(s') = f(a')f(s) \quad\leadsto\quad f(a)f(s)^{-1} = f(a')f(s')^{-1}$$
を得る． - 任意の$a/s,b/t \in A[S^{-1}]$に対して，
\begin{align} f_{S}\left(\frac{a}{s} + \frac{b}{t}\right) &= f_{S}\left(\frac{at+bs}{st}\right) = (f(a)f(t) + f(b)f(s))f(s)^{-1}f(t)^{-1} = f(a)f(s)^{-1} + f(b)f(t)^{-1} = f_{S}(a/s) + f_{S}(b/t); \\ f_{S}\left(\frac{a}{s} \cdot \frac{b}{t}\right) &= f_{S}\left(\frac{ab}{st}\right) = f(a)f(b) \cdot f(s)^{-1}f(t)^{-1} = f(a)f(s)^{-1} \cdot f(b)f(t)^{-1} = f_{S}(a/s) \cdot f_{S}(b/t); \end{align}
が成り立つ．また，
$$ f_{S}(1_{A[S^{-1}]}) = f(1_{A})f(1_{A})^{-1} = 1_{B}$$
が成り立つ． - 任意の$a \in A$に対して
$$ f_{S}(\iota_{S}(a)) = f_{S}(a/1) = f(a)f(1)^{-1} = f(a)$$
が成り立つ． - 環準同型$g \colon A[S^{-1}] \to B$が$g \circ \iota_{S} = f$を満たすならば，
$$ \frac{a}{s} = \frac{a}{1} \cdot \frac{1}{s} = \iota_{S}(a)\iota_{S}(s)^{-1}$$
より，
$$ g(a/s) = g(\iota_{S}(a)\iota_{S}(s)^{-1}) = f(a)f(s)^{-1} = f_{S}(a/s)$$
が成り立つ．
- 写像$f_{S} \colon A[S^{-1}] \to B$を
- 環準同型$\iota' \colon A \to A'$に対して，環準同型$f \colon A[S^{-1}] \to A'$であって$f \circ \iota_{S} = \iota'$を満たすものがただ一つ存在する．同様に，環準同型$\iota_{S} \colon A \to A[S^{-1}]$に対して，環準同型$f' \colon A' \to A[S^{-1}]$であって$f' \circ \iota' = \iota_{S}$を満たすものがただ一つ存在する．このとき，環準同型$f' \circ f \colon A[S^{-1}] \to A[S^{-1}]$に対して
$$ (f' \circ f) \circ \iota_{S} = f' \circ \iota' = \iota_{S} = \id_{A[S^{-1}]} \circ \iota_{S} \quad\leadsto\quad f' \circ f = \id_{A[S^{-1}]}$$
が成り立つ：
$$ \xymatrix{ {A} \ar[rr]^{\iota_{S}} \ar[ddrr]_{\iota_{S}} && {A[S^{-1}]} \ar@<-.5ex>[dd]_{f' \circ f} \ar@<.5ex>[dd]^{\id_{A[S^{-1}]}} \\ \\ && {A[S^{-1}]} }$$
同様に，$f \circ f' = \id_{A'}$も成り立つ．
$A$を環とし$a \in A$とする．このとき，積閉集合$S \coloneqq \{a^{n} \mid n \in \mathbb{N}\}$による分数環$A[S^{-1}]$は，多項式環の剰余環$A[a^{-1}] \coloneqq A[X]/(aX-1)$に同型である．実際，自然な環準同型の合成
$$
\iota_{a} \colon A \to A[X] \to A[a^{-1}]$$
を考えると，
- 明らかに$\iota_{a}^{\rightarrow}(S) \subset {A[a^{-1}]}^{\times}$であり，
- 環準同型$f \colon A \to B$であって$f^{\rightarrow}(S) \subset B^{\times}$なるものに対して，環準同型
$$ \tilde{f} \colon A[X] \to B;\ a_{0} + a_{1}X +\cdots+ a_{k}X^{k} \mapsto f(a_{0}) + f(a_{1})f(a)^{-1} +\cdots+ f(a_{k})f(a)^{-k}$$
が定まり，これが環準同型$f_{a} \colon A[a^{-1}] \to B$を誘導する：
$$ \xymatrix{ {A} \ar[rr]^{\text{incl.}} \ar[rrdd]_{\iota_{a}} \ar@/^2.0pc/[rrrr]^{f} && A[X] \ar[rr]^{\tilde{f}} \ar[dd]_{\text{quoti.}} && {B} \\ \\ && {A[a^{-1}]} \ar@{.>}[rruu]_{f_{a}} && }$$
よってunivより
$$
A[S^{-1}] \cong A[a^{-1}] \quad (\text{as $A$-algebras})$$
が成り立つ．
$A$を環とし$S \in \mathcal{M}(A)$とする．このとき，分数環$A[S^{-1}]$と$A[(\delta S)^{-1}]$とは（$A$代数として）同型である．
組$(A[(\delta S)^{-1}],\iota_{\delta S})$がunivの条件を満たすことを示せばよい．
- $S \subset \delta S$より
$$ \iota_{\delta S}^{\rightarrow}(S) \subset \iota_{\delta S}^{\rightarrow}(\delta S) \subset {A[(\delta S)^{-1}]}^{\times}$$
が成り立つ． - 環準同型$f \colon A \to B$が$f^{\rightarrow}(S) \subset B^{\times}$を満たしているとする．このとき$f^{\rightarrow}(\delta S) \subset B^{\times}$が成り立つことを示せばよい．そこで$x \in \delta S$とすると，$y \in A$であって$xy \in S$なるものが存在するので，
$$ f(x)f(y) = f(xy) \in B^{\times} \quad\leadsto\quad f(x) \cdot f(y)f(xy)^{-1} = 1_{B}$$
より，$f(x) \in B^{\times}$を得る．
$A$を環とし，$S,T \in \mathcal{M}(A)$とする．このとき次は同値である：
- $\exists\, f \colon A[S^{-1}] \cong A[T^{-1}],\ f \circ \iota_{S} = \iota_{T}$;
- $\delta S = \delta T$.
(i)$\implies$(ii)
sat-isomの証明より
$$
\iota_{S}^{\rightarrow}(S) \subset {A[S^{-1}]}^{\times} \quad\leadsto\quad \iota_{S}^{\rightarrow}(\delta S) \subset {A[S^{-1}]}^{\times}$$
となるので，
$$
\delta S \subset \{x \in A \mid \iota_{S}(x) \in {A[S^{-1}]}^{\times}\}$$
が成り立つ．逆に$x \in \mathrm{RHS}$とすると，$a/s \in A[S^{-1}]$であって
$$
\frac{x}{1} \cdot \frac{a}{s} = \frac{1}{1} \quad\leadsto\quad \exists\,s' \in S,\ (xa-s)s' = 0$$
なるものが存在するので，$x(as') = ss' \in S$より，$x \in \delta S$が成り立つ．よって，環同型$f$が$f \circ \iota_{S} = \iota_{T}$を満たすことと併せて
$$
\delta S = \{x \in A \mid \iota_{S}(x) \in {A[S^{-1}]}^{\times}\} = \{x \in A \mid \iota_{T}(x) \in {A[T^{-1}]}^{\times}\} = \delta T$$
を得る．
(ii)$\implies$(i)
sat-isomより
$$
A[S^{-1}] \cong A[(\delta S)^{-1}] = A[(\delta T)^{-1}] \cong A[T^{-1}] \quad(\text{as $A$-algebras})$$
が成り立つ．
上の証明より，環$A$の積閉集合$S \subset A$に対して
$$
\delta S = \{x \in A \mid \iota_{S}(x) \in {A[S^{-1}]}^{\times}\}$$
が成り立つ（cf. wikiDefinition 3）．したがって
$$
\frac{a}{s} = \iota_{S}(a)\iota_{S}(s)^{-1} \in {A[S^{-1}]}^{\times} \iff \iota_{S}(a) \in {A[S^{-1}]}^{\times} \iff a \in \delta S$$
となるので，
$$
{A[S^{-1}]}^{\times} = \{a/s \in A[S^{-1}] \mid a \in \delta S\}$$
を得る．可逆元$a/s \in {A[S^{-1}]}^{\times}$に対して，$b \in A$であって$ab \in S$なるものを取ると
$$
\frac{a}{s} \cdot \frac{sb}{ab} = \frac{1}{1}$$
となるので，その逆元は
$$
\left(\frac{a}{s}\right)^{-1} = \frac{sb}{ab}$$
で与えられる．
補遺：部分半群の場合
環$A$の（乗法に関する）非空部分半群$S_{0} \subset A$に対しても，equiv-relと同様にして同値関係を定めることができ，商集合$A[S_{0}^{-1}]$は$\{(0,s_{0}) \mid s_{0} \in S_{0}\}$を零元とし，$\{(s_{0},s_{0}) \mid s_{0} \in S_{0}\}$を単位元とする可換環となる．また，写像
$$
\iota_{S_{0}} \colon A \to A[S_{0}^{-1}];\ a \mapsto \{(as_{0},s_{0}) \mid s_{0} \in S_{0}\}$$
は環準同型である（cf. ring-of-frac）．さらに，組$(A[S_{0}^{-1}],\iota_{S_{0}})$は，環$A$の積閉集合$S \coloneqq S_{0} \cup \{1\}$による分数環に対する普遍性を満たす．実際，
- 明らかに$\iota_{S_{0}}^{\rightarrow}(S) \subset {A[S_{0}^{-1}]}^{\times}$が成り立ち，
- 環準同型$f \colon A \to B$であって$f^{\rightarrow}(S) \subset B^{\times}$なるものに対して，写像
$$ f_{S_{0}} \colon A[S_{0}^{-1}] \to B;\ \frac{a}{s_{0}} \mapsto f(a)f(s_{0})^{-1}$$
は$f_{S_{0}} \circ \iota_{S_{0}} = f$を満たす環準同型である．
よってuniv，sat-isomより
$$
A[S_{0}^{-1}] \cong A[S^{-1}] \cong A[(\delta S)^{-1}] \quad(\text{as $A$-algebras})$$
が成り立つ．
