『代数函数論』定理1.1

体論,付値論

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はじめに

やっと初めての定理に行きつきました．がんばりましょう．

定理の主張

近似定理

$ν_{1}, ν_{2}, \dots, ν_{n}$ を互いに同値でない $K$ の付値， $x_{1}, \dots, x_{n}$ を $K$ の任意の元とする．このとき，任意の自然数 $m$ に対して $K$ の元 $x$ が存在して，
$ν_{i} (x - x_{i}) > m, (i = 1, 2, \dots, n)$
が成り立つ．

これはなぜ近似定理というのか考えると，まず， $ν (0) = \infty$ だったことを思うと，なんとなくですが，" $ν_{i} (x - x_{i}) = ν_{i} (0)$ "のような感じ．つまり付値の上では $x$ と $x_{i}$ が近似できているというような気がします．多分そんな感じなんでしょう．よく分かりませんがきっとそうなのでしょう．

定理の証明に使う補題を載せておきます．証明は以前の記事[2]を見てみてください．

$ν_{1}, \dots, ν_{n} (n \geq 2)$ を互いに同値でない $K$ の付値とすれば， $K$ の元 $x$ が存在して，
$ν_{1} (1 - x) > 0, ν_{2} (x) > 0, \dots, ν_{n} (x) > 0$
が成り立つ．

定理の証明

補題2より，
$ν_{i} (1 - a_{i}) > 0, ν_{j} (a_{i}) > 0 (j \neq i)$
となるような $a_{1}, \dots, a_{n}$ がとれます． $N$ を十分大きな自然数として
$x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} (1 - (1 - a_{i}^{N})^{N})$
とおけば，例えば
$ν_{1} (x - x_{1}) \geq min (ν_{1} (x_{1} (1 - a_{1}^{N})^{N}), ν_{1} (x_{2} (1 - (1 - a_{2}^{N})^{N})), \dots, ν_{1} (x_{n} (1 - (1 - a_{n}^{N})^{N})))$ です．
$ν_{1} (x_{1} (1 - a_{1}^{N})^{N}) = ν_{1} (x_{1}) + N ν_{1} (1 - a_{1}^{N})$ で， $ν_{1} (1 - a_{1}^{N}) = ν_{1} (1 - a_{1}) + ν_{1} (1 + a_{1} + \dots + a_{1}^{N - 1}) \geq 1$ です．
一方， $ν_{1} (x_{2} (1 - (1 - a_{2}^{N})^{N})) = ν_{1} (x_{2}) + ν_{1} (1 - (1 - a_{2}^{N})^{N})$ ．よって， $ν_{1} (1 - (1 - a_{2}^{N})^{N})$ を考えます． $ν_{1} (a_{2}) > 0$ でした．よって $ν_{1} (1 - (1 - a_{2}^{N})^{N}) = ν_{1} (1 - (1 - a_{2}^{N})) + ν_{1} (1 + (1 - a_{2}^{N}) + \dots + (1 - a_{2}^{N})^{N - 1})$ で，これの $1$ 項目は $N ν_{1} (a_{2})$ で， $2$ 項目は $0$ 以上であることが分かります．
以上から $N$ を十分大きくすれば， $ν_{1} (x - x_{1}) > m$ であることが分かりました．
他の数字についても同様です．