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ガウス整数環の剰余環を考える

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記事を開いていただきありがとうございます。
今回は以下の問題を証明していきます。

青雪江例題1.4.11

$Z [\sqrt{- 1}] / (4 + \sqrt{- 1}) ≅ F_{17}$
であることを証明せよ。

ガウス整数環の剰余環が体になる, という問題ですが, 初めてみたときはよくわかりませんでした。直感的な理解は,ごててんさんの記事( https://mathlog.info/articles/2088 ) が最強にわかりやすいので, こちらを参考にしてみてください。

環

$(1)$ 整数全体の集合 $Z$ は, 通常の加法と乗法に関して可換環になる。
$(2) Z [\sqrt{- 1}] = {a + b \sqrt{- 1} ∣ a, b \in Z}$ は複素数の加法と乗法に関して可換環になる。これを, 「ガウス整数環」という。
$(3) Z [x]$ を, 整数係数の多項式全体と定めると, 多項式の加法と乗法に関して可換環になる。

使う定理や命題など

この節では, この記事で用いる定理や命題を列挙していきます。
一般に, イデアルの像はイデアルとは限りませんが, 次の命題が成り立ちます。

$φ : A \to B$ が環の全射準同型ならば, イデアル $I \subset A$ に対して, $φ (I)$ は $B$ のイデアルである.

準同型定理です。証明は, お手持ちの本などでみてください。

準同型定理

$φ : A \to B$ を環の準同型とするとき,
$A / Ker φ ≅ Im φ$
が成り立つ。特に, $φ$ が全射なとき,
$A / Ker φ ≅ B$
が成り立つ。

次の命題がこの問題を解く際のポイントになります。

$I \subset A$ を $A$ のイデアル, $φ : A \to B$ を環の全射準同型とする。このとき, $Ker (φ) \subset I$ ならば,
$A / I ≅ B / φ (I)$
が成り立つ。

$Φ : A \to B / φ (I)$ を, $Φ (a) = φ (a) + φ (I)$ で定めると, $φ$ が全射準同型であることから, $Φ$ も全射準同型になる。
・ $a \in Ker (Φ)$ とする。 $Φ (a) = φ (a) + φ (I) = φ (I)$ より, $φ (a) \in φ (I)$ である。よって, $\exists x \in I, a - x \in Ker (φ)$ , すなわち, $a \in x + Ker (φ) \subset I$
・ $a \in I$ とする。 $Φ (a) = φ (a) + φ (I) = φ (I)$ であるから, $a \in Ker (Φ)$
以上より, $Ker (Φ) = I$ である。準同型定理から,
$A / I ≅ B / φ (I)$

最初の問題の証明

それでは, 以上の命題を使って初めの同型を示してみましょう。

第一段階

$φ : Z [x] \to Z [\sqrt{- 1}], φ (f) = f (\sqrt{- 1})$ と定めると, $φ$ は全射準同型になります。また, $Ker (φ) = (x^{2} + 1)$ です。
ここで, $Z [\sqrt{- 1}]$ のイデアル $(4 + \sqrt{- 1})$ を考えてみましょう。 $φ (I) = (4 + \sqrt{- 1})$ となる $Z [x]$ のイデアル $I$ を見つければ, 上の命題3が適用できそうです。
$I = (4 + x)$ としたくなりますが, 命題3の仮定を見直すと, $Ker (φ) \subset I$ ならば, とあります。これをふまえると, $I = (x + 4, x^{2} + 1)$ とおくのが良さそうですね。

これらのイデアルと $φ$ に命題3を適用すれば,
$Z [\sqrt{- 1}] / (4 + \sqrt{- 1}) ≅ Z [x] / I$
が得られます。

第二段階

次に, $F_{17} = Z / (17)$ であることから, 準同型 $ψ : Z [x] \to Z$ を考えます。 $ψ (f) = f (- 4)$ とすれば, $ψ$ は全射準同型, $(x + 4) = Ker (ψ) \subset I$ となるので, 上の命題が適用できそうです。
実際, $ψ (I) = (0, 17) = (17)$ となるので, 命題3より,
$Z [x] / I ≅ Z / (17) = F_{17}$
となりますね。

第三段階

以上, 第一段階と第二段階を合わせると,
$Z [\sqrt{- 1}] / (4 + \sqrt{- 1}) ≅ F_{17}$
が言えました!

他のイデアルも見てみる

次は, $Z [\sqrt{- 1}]$ のイデアル $(3 + 4 \sqrt{- 1})$ を見てみましょう。

第一段階

先ほどと同じように, $φ : Z [x] \to Z [\sqrt{- 1}], φ (f) = f (\sqrt{- 1})$ と定めると, $φ$ は全射準同型になります。また, $Ker (φ) = (x^{2} + 1)$ です。
今度は $I$ をどのように定めれば良いでしょうか。 $Ker (φ)$ を含み, $φ (I) = (3 + 4 \sqrt{- 1})$ となるようにするには, $I = (3 + 4 x, x^{2} + 1)$ とすれば良さそうですね。命題3より,
$Z [\sqrt{- 1}] / (3 + 4 \sqrt{- 1}) ≅ Z [x] / I$
が得られます!

第二段階

次に, 準同型 $ψ : Z [x] \to Z$ を考えます。しかし, $I$ が $Ker (ψ)$ を含むような全射準同型はなかなか見つかりません。そこで, $I$ が次のようなイデアルを含むことに注目します。
$(7 + x) \subset (3 + 4 x, 7 + x) \subset (3 + 4 x, 4 - 3 x) \subset (3 + 4 x, x^{2} + 1) = I$
すると, $ψ (f) = f (- 7)$ と定めたくなりますよね!?その通りです。 $Ker (ψ) = (7 + x) \subset I$ ですから, このイデアルと $ψ$ に命題3を適用しましょう。 $ψ (I) = (- 25, 50) = (25)$ ですから,
$Z [x] / I ≅ Z / (25)$
が得られます!