東大数理院試平成初期専門問2解答

東大数理の院試（前の記事と同じ年の専門問2）の解答です．
自分が作った解答はここに置いてあります．

（東大数理実施年度不明専門問2）

(i) ちょうど $4$ 個の共役類を持つ有限群の同型類は有限個しかないことを示せ．

(ii) そのような有限群のうち，位数が $3$ の倍数でないものの同型類を全て求めよ．

(i)
群 $G$ の位数を $N$ とし，共役類を $O_{i} (i = 1, \dots, 4)$ とおく． $O_{i}$ の代表元を $x_{i}$ （ただし $x_{4} = 1$ ）とし， $| O_{1} | \geq | O_{2} | \geq | O_{3} |$ としておく． $Z_{G} (x_{i}) = {g \in G; x_{i} g = g x_{i}}$ を $x_{i}$ の中心化群とし， $| Z_{G} (x_{i}) | = n_{i}$ とおく． $| O_{i} | = [G : Z_{G} (x_{i})] = N / n_{i}, n_{4} = N$ だから，類等式より
$\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} + \frac{1}{n_{3}} + \frac{1}{N} = 1$
である． $n_{1} \leq n_{2} \leq n_{3} \leq N$ より $1 \leq \frac{4}{n_{1}}$ なので $n_{1} = 2, 3, 4$ である． $n_{1}$ を固定すると $1 \leq \frac{1}{n_{1}} + \frac{3}{n_{2}}$ より $n_{2} \leq 3 (1 - \frac{1}{n_{1}})^{- 1} .$ 同様にして $n_{3} \leq 2 (1 - \frac{1}{n_{1}} - \frac{1}{n_{2}})^{- 1}$ だから $N$ の取りうる範囲は有限．ここで $N$ を固定した時，任意に $g \in G$ を取ると全単射 $G \to G, x \mapsto g x$ は $N!$ 通りあり得るから， $G$ に入る積は高々 $N \cdot N!$ 通り．よって $G$ も有限個である．
(ii)
$∙$ $n_{1} = 4$ の時：
$\frac{3}{4} = \frac{1}{n_{2}} + \frac{1}{n_{3}} + \frac{1}{N} \leq \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ だから $n_{2} = n_{3} = N = 4.$ よって $G$ は位数が素数の平方だからAbel群．従って $G ≅ Z / 4 Z, (Z / 2 Z)^{2} .$
$∙$ $n_{1} = 3$ の時：
$n_{2} \leq \frac{9}{2}$ だから $n_{2} = 3, 4$ である． $n_{2} = 4$ なら $n_{3} \leq \frac{24}{5}$ より $n_{3} = 4.$ この時 $N = 6$ だから不適．
$n_{2} = 3$ なら $\frac{1}{n_{3}} + \frac{1}{N} = \frac{1}{3}$ より $(n_{3} - 3) (N - 3) = 9$ だから $(n_{3} - 3, N - 3) = (1, 9), (3, 3) .$ いずれも $3 ∣ N$ なので不適．
$∙$ $n_{1} = 2$ の時：
$n_{2} \leq 6$ である．
(a) $n_{2} = 6$ の時：
$\frac{1}{3} = \frac{1}{n_{3}} + \frac{1}{N} \leq \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ より $n_{3} = N = 6$ となり不適．
(b) $n_{2} = 5$ の時：
$n_{3} \leq \frac{20}{3}$ より $n_{3} = 5, 6$ である． $\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{13}{15}$ だから $n_{3} = 6$ は不適で $n_{3} = 5.$ この時 $N = 10$ でSylowの定理より $G$ は位数 $5$ の正規部分群 $H = ⟨ x | x ⟩$ を唯一つ持つ． $y \in G ∖ H$ は位数 $2$ だから， $K = ⟨ y | y ⟩$ とおくと $H \cap K = {1}, G = H K$ である．よって $σ : K \to Aut (H)$ があって $G = H ⋊_{σ} K$ となる． $Aut (H) ≅ (Z / 5 Z)^{\times} ≅ Z / 4 Z$ だから $σ$ は $y \mapsto (x \mapsto x), y \mapsto (x \mapsto x^{2})$ の $2$ 通りあるが，前者は $G ≅ H \times K ≅ Z / 10 Z$ で共役類が $10$ 個なので不適．後者は $G = ⟨ x, y | x^{5} = y^{2} = 1, y x y = x^{2} | x, y | x^{5} = y^{2} = 1, y x y = x^{2} ⟩ ≅ D_{5}$ となる．
(c) $n_{2} = 4$ の時：
$\frac{1}{n_{3}} + \frac{1}{N} = \frac{1}{4}$ より $(n_{3} - 4) (N - 4) = 16$ だから $(n_{3}, N) = (5, 20), (6, 12), (8, 8)$ である． $(6, 12)$ は $3 ∣ N$ なので不適． $(8, 8)$ の時は $G$ の既約複素指標 $χ_{i} (i = 1, \dots, 4)$ の次数を $d_{i}$ とすると $\sum_{i = 1}^{4} d_{i}^{2} = | G | = 8$ となるが，そのような $d_{i}$ は存在しないから不適． $(5, 20)$ の時は $| Z_{G} (x_{3}) | = 5$ だが，Sylowの定理より $G$ のSylow- $5$ 部分群は唯一つだから $G ⊳ Z_{G} (x_{3}) .$ よって $| G / Z_{G} (x_{3}) | = 4$ だから $G / Z_{G} (x_{3})$ はAbel群であり，共役類の個数は $4$ 個．これは $G$ の共役類の個数に等しいから矛盾．
(d) $n_{2} = 3$ の時：
$\frac{1}{n_{3}} + \frac{1}{N} = \frac{1}{6}$ より $(n_{3} - 6) (N - 6) = 36.$ $3 ∤ N$ より $n_{3} - 6 = 9, 18, 36$ となるが，いずれも $n_{3} > N$ なので不適．