固有多項式の係数について
$n$次正方行列$A = [a_{ij}]$に対して，その第$j_{1},\ldots,j_{k}$行および第$j_{1},\ldots,j_{k}$列（の交点）を取り出して得られる$k$次正方行列を$A(j_{1},\ldots,j_{k})$で表わす：
$$
A(j_{1},\ldots,j_{k}) \coloneqq \begin{bmatrix}
a_{j_{1}j_{1}} & \cdots & a_{j_{1}j_{k}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{j_{k}j_{1}} & \cdots & a_{j_{k}j_{k}}
\end{bmatrix}.$$
$A$の固有多項式
$$
f_{A}(x) \coloneqq \det(xE_{n}-A)$$
の高階導函数について，
$$
f_{A}^{(n-k)}(x) = (n-k)!\sum_{j_{1}<\cdots< j_
{k}} f_{A(j_{1},\ldots,j_{k})}(x)$$
が成り立つ．
$xE_{n}-A$の第$i_{1},\ldots,i_{\ell}$行をそれぞれ単位行ベクトル$e_{i_{1}}^{\transpose},\ldots,e_{i_{\ell}}^{\transpose}$で置き換えた行列を$\widehat{A}(i_{1},\ldots,i_{\ell})$とおく．このとき，行列式の微分公式（cf. satakep.84）より
$$
\frac{\d{}}{\d{x}}f_{A}(x) = \sum_{i=1}^{n} \det\widehat{A}(i)$$
となるので，これを繰返し適用して
$$
f_{A}^{(n-k)}(x) = \sum_{\text{相異なる$i_{1},\ldots,i_{n-k}$}} \det\widehat{A}(i_{1},\ldots,i_{n-k}) = (n-k)! \sum_{i_{1}<\cdots< i_{n-k}} \det\widehat{A}(i_{1},\ldots,i_{n-k})$$
を得る．また，
$$
\{1,\ldots,n\} \smallsetminus \{i_{1},\ldots,i_{n-k}\} \eqqcolon \{j_{1},\ldots,j_{k}\},\ j_{1} <\cdots< j_{k}$$
とおくと，
$$
\det\widehat{A}(i_{1},\ldots,i_{n-k}) = \det\begin{bmatrix}
E_{n-k} & O_{n-k,k} \\ \huge{\ast} & xE_{k}-A(j_{1},\ldots,j_{k})
\end{bmatrix} = f_{A(j_{1},\ldots,j_{k})}(x)$$
となる．よって
$$
f_{A}^{(n-k)}(x) = (n-k)! \sum_{j_{1}<\cdots< j_{k}} f_{A(j_{1},\ldots,j_{k})}(x)$$
が成り立つ．
$A$の固有多項式を
$$
f_{A}(x) = x^{n} + a_{1}x^{n-1} +\cdots+ a_{n-1}x + a_{n}$$
と表わすと，
$$
a_{k} = (-1)^{k} \sum_{j_{1} <\cdots< j_{k}} \det A(j_{1},\ldots,j_{k})$$
が成り立つ．
derより
$$
a_{k} = \frac{f_{A}^{(n-k)}(0)}{(n-k)!} = \sum_{j_{1} <\cdots< j_{k}} f_{A(j_{1},\ldots,j_{k})}(0) = (-1)^{k} \sum_{j_{1} <\cdots< j_{k}} \det A(j_{1},\ldots,j_{k})$$
を得る．
- $a_{1} = - \sum\limits_{j_{1}} \det A(j_{1}) = - \sum_{j=1}^{n} a_{jj} = -\tr A;$
- $a_{n} = (-1)^{n} \sum\limits_{j_{1} <\cdots< j_{n}} \det A(j_{1},\ldots,j_{n}) = (-1)^{n} \det A.$
$\rank A = r$とすると，$a_{r+1} =\cdots= a_{n} = 0$であるから（cf. satakep.106），$A$の固有多項式は
$$
f_{A}(x) = x^{n} + a_{1}x^{n-1} +\cdots+ a_{r}x^{n-r} = x^{n-r}(x^{r} +a_{1}x^{r-1} +\cdots+ a_{r})$$
で与えられる．とくに，$\rank A =1$のときは
$$
f_{A}(x) = x^{n-1}(x-\tr A)$$
となる．
任意の$n$次正方行列$A,B$に対して
$$
f_{AB}(x) = f_{BA}(x)$$
が成り立つ．
$C \coloneqq AB,\, D \coloneqq BA$とおく．このとき，
$$
C(j_{1},\ldots,j_{k}) = \begin{bmatrix}
a_{j_{1},1} & \cdots & \cdots & a_{j_{1},n} \\
\vdots &&& \vdots \\
a_{j_{k},1} & \cdots & \cdots & a_{j_{k},n}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
b_{1,j_{1}} & \cdots & b_{1,j_{k}} \\
\vdots && \vdots \\ \vdots && \vdots \\
b_{n,j_{1}} & \cdots & b_{n,j_{k}}
\end{bmatrix},\
D(i_{1},\ldots,i_{k}) = \begin{bmatrix}
b_{i_{1},1} & \cdots & \cdots & b_{i_{1},n} \\
\vdots &&& \vdots \\
b_{i_{k},1} & \cdots & \cdots & b_{i_{k},n}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_{1,i_{1}} & \cdots & a_{1,i_{k}} \\
\vdots && \vdots \\ \vdots && \vdots \\
a_{n,i_{1}} & \cdots & a_{n,i_{k}}
\end{bmatrix}$$
であるから，Cauchy–Binetの公式（cf. satakep.68）より
\begin{align}
\sum_{j_{1} <\cdots< j_{k}} \det C(j_{1},\ldots,j_{k})
&= \sum_{j_{1} <\cdots< j_{k}} \sum_{i_{1} <\cdots< i_{k}} \det\begin{bmatrix}
a_{j_{1}i_{1}} & \cdots & a_{j_{1}i_{k}} \\
\vdots && \vdots \\
a_{j_{k}i_{1}} & \cdots & a_{j_{k}i_{k}}
\end{bmatrix} \det\begin{bmatrix}
b_{i_{1}j_{1}} & \cdots & b_{i_{1}j_{k}} \\
\vdots && \vdots \\
b_{i_{k}j_{1}} & \cdots & b_{i_{k}j_{k}}
\end{bmatrix} \\
&= \sum_{i_{1} <\cdots< i_{k}} \sum_{j_{1} <\cdots< j_{k}} \det\begin{bmatrix}
b_{i_{1}j_{1}} & \cdots & b_{i_{1}j_{k}} \\
\vdots && \vdots \\
b_{i_{k}j_{1}} & \cdots & b_{i_{k}j_{k}}
\end{bmatrix} \det\begin{bmatrix}
a_{j_{1}i_{1}} & \cdots & a_{j_{1}i_{k}} \\
\vdots && \vdots \\
a_{j_{k}i_{1}} & \cdots & a_{j_{k}i_{k}}
\end{bmatrix}\\
&= \sum_{i_{1} <\cdots< i_{k}} \det D(i_{1},\ldots,i_{k})
\end{align}
が成り立つ（cf. $\tr AB = \tr BA$の証明）．よってcoefficientsより結論を得る．
$n>m$とし，$A$を$(n,m)$行列，$B$を$(m,n)$行列とする．このとき，$n$次正方行列$\tilde{A},\tilde{B}$を
$$
\tilde{A} \coloneqq \begin{bmatrix}
A & O_{n,n-m}
\end{bmatrix},\ \tilde{B} \coloneqq \begin{bmatrix}
B \\ O_{n-m,n}
\end{bmatrix}$$
で定めると，
$$
\tilde{A}\tilde{B} = AB,\ \tilde{B}\tilde{A} = \begin{bmatrix}
BA & O_{m,n-m} \\
O_{n-m,m} & O_{n-m,n-m}
\end{bmatrix}$$
となる．よって，commより，
$$
f_{AB}(x) = f_{\tilde{A}\tilde{B}}(x) = f_{\tilde{B}\tilde{A}}(x) = x^{n-m}f_{BA}(x)$$
が成り立つ．とくに，$AB$の$0$以外の固有値と$BA$の$0$以外の固有値とは重複度も込めて一致する．
