合流型超幾何関数をLaguerre多項式で展開する

前の記事 でHermite関数をHermite多項式で展開した. その一般化として, Laguerre関数をLaguerre多項式による展開が与えられるかを考えるのは自然ではあるが, 通常のLaguerre関数
\begin{align} L_{\nu}^{(a)}(x)&:=\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\F11{-\nu}{a+1}x \end{align}
に関して考えると,
\begin{align} \int_0^{\infty}t^ae^{-t}L_{\nu}^{(a)}(t)L_n^{(a)}(t)\,dt \end{align}
が一般に収束しないので上手く展開できない. よって代わりに第2種合流型超幾何関数
\begin{align} U(a,b;x)&:=\frac{\Gamma(1-b)}{\Gamma(1+a-b)}\F11{a}{b}{x}+\frac{\Gamma(b-1)}{\Gamma(a)}x^{1-b}\F11{1+a-b}{2-b}x \end{align}
によって
\begin{align} U(-\nu,a+1;x) \end{align}
と表される関数の展開を与えようと思う.
\begin{align} &\int_0^{\infty}t^ae^{-t}U(-\nu,a+1;t)L_n^{(a)}(t)\,dt\\ &=\frac{(a+1)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!(a+1)_k}\int_0^{\infty}t^{a+k}e^{-t}U(-\nu,a+1;t)\,dt \end{align}
であり, 前の記事 で与えた合流型超幾何関数のMellin-Barnes積分表示を用いると,
\begin{align} &\int_0^{\infty}t^{a+k}e^{-t}U(-\nu,a+1;t)\,dt\\ &=\frac 1{2\pi i\Gamma(-\nu)\Gamma(-\nu-a)}\int_0^{\infty}t^{a+k}e^{-t}\left(\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(-\nu+s)\Gamma(-a-s)\Gamma(-s)t^s\,ds\right)\,dt\\ &=\frac 1{2\pi i\Gamma(-\nu)\Gamma(-\nu-a)}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(-\nu+s)\Gamma(-a-s)\Gamma(-s)\left(\int_0^{\infty}t^{a+k+s}e^{-t}\,dt\right)\,ds\\ &=\frac 1{2\pi i\Gamma(-\nu)\Gamma(-\nu-a)}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(-\nu+s)\Gamma(a+k+1+s)\Gamma(-a-s)\Gamma(-s)\,ds \end{align}
ここで, Barnesの第1補題 より,
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(-\nu+s)\Gamma(a+k+1+s)\Gamma(-a-s)\Gamma(-s)\,ds\\ &=\frac{\Gamma(-\nu-a)\Gamma(-\nu)\Gamma(k+1)\Gamma(a+k+1)}{\Gamma(k+1-\nu)} \end{align}
となるから, これを代入して
\begin{align} \int_0^{\infty}t^{a+k}e^{-t}U(-\nu,a+1;t)\,dt&=\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(a+k+1)}{\Gamma(k+1-\nu)} \end{align}
を得る. よって,
\begin{align} &\int_0^{\infty}t^ae^{-t}U(-\nu,a+1;t)L_n^{(a)}(t)\,dt\\ &=\frac{(a+1)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!(a+1)_k}\int_0^{\infty}t^{a+k}e^{-t}U(-\nu,a+1;t)\,dt\\ &=\frac{(a+1)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!(a+1)_k}\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(a+k+1)}{\Gamma(k+1-\nu)}\\ &=\frac{\Gamma(a+n+1)}{n!\Gamma(1-\nu)}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{(1-\nu)_k}\\ &=\frac{\Gamma(a+n+1)}{n!\Gamma(1-\nu)}\frac{\nu}{\nu-n}\\ &=\frac{\Gamma(a+n+1)}{n!\Gamma(-\nu)}\frac{1}{n-\nu} \end{align}
ここで最後から2つ目の等号はVandermondeの恒等式による. よって以下を得る.

定義から, 非負整数$n$に対し,
\begin{align} U(-n,a+1;x)&=\frac{(-1)^n}{n!}L_n^{(a)}(x) \end{align}
となることが分かるので, 定理1はLaguerre多項式の直交性
\begin{align} \int_0^{\infty}t^ae^{-t}L_m^{(a)}(t)L_n^{(a)}(t)\,dt&=\frac{\Gamma(a+n+1)}{n!}\delta_{m,n} \end{align}
を一般化している. 定理1から合流型超幾何関数が以下のようにLaguerre多項式に展開できることが分かる.

これはかなりシンプルな展開になっている.

2つの合流型超幾何関数の積の積分

定理2とLaguerre多項式の直交性を用いると以下のような計算ができる.
\begin{align} &\int_0^{\infty}t^ae^{-t}U(-\mu,a+1;t)U(-\nu,a+1;t)\,dt\\ &=\frac1{\Gamma(-\mu)\Gamma(-\nu)}\sum_{0\leq n}\frac 1{n-\mu}\frac 1{n-\nu}\frac{\Gamma(a+n+1)}{n!}\\ &=\frac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(-\mu)\Gamma(-\nu)(\mu-\nu)}\sum_{0\leq n}\frac{(a+1)_n}{n!}\left(\frac 1{n-\mu}-\frac 1{n-\nu}\right)\\ &=\frac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(-\mu)\Gamma(-\nu)(\mu-\nu)}\sum_{0\leq n}\frac{(a+1)_n}{n!}\int_0^1(t^{n-\mu-1}-t^{n-\nu-1})\,dt\\ &=\frac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(-\mu)\Gamma(-\nu)(\mu-\nu)}\int_0^1(t^{-\mu-1}-t^{-\nu-1})(1-t)^{-a-1}\,dt\\ &=\frac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(-\mu)\Gamma(-\nu)(\mu-\nu)}\left(\frac{\Gamma(-\mu)\Gamma(-a)}{\Gamma(-\mu-a)}-\frac{\Gamma(-\nu)\Gamma(-a)}{\Gamma(-\nu-a)}\right)\\ &=\frac{\pi}{(\nu-\mu)\sin\pi a}\left(\frac{1}{\Gamma(-\nu)\Gamma(-\mu-a)}-\frac{1}{\Gamma(-\mu)\Gamma(-\nu-a)}\right) \end{align}
となる. つまり以下を得る.

これは 前の記事 の定理2の一般化になっている. Laguerre関数っぽく書いているが, $\mu\mapsto -\mu,\nu\mapsto -\nu,a\mapsto a-1$とすると,
\begin{align} &\int_0^{\infty}t^{a-1}e^{-t}U(\mu,a;t)U(\nu,a;t)\,dt\\ &=\frac{\pi}{(\nu-\mu)\sin\pi a}\left(\frac{1}{\Gamma(\nu)\Gamma(\mu+1-a)}-\frac{1}{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu+1-a)}\right) \end{align}
となる. ここで, 特に$\mu\to \nu$とすると以下が得られる.