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微積分の当たり前な命題を、収束空間などの一般な設定のもとで示していく。
「部分集合上で連続」と「部分集合への制限が連続」
（１）「$f:X\rightarrow Y$が$A\subseteq X$上で連続」と
（２）「$A$への制限$f|_A:A\rightarrow Y$が連続」
の違いについて。
前者ならば後者は一般に成り立つが、後者から前者は$A$が開集合のときしか常に言えないよ*1。という当たり前な話を最も一般の設定で示す。
収束関係
$X$が集合（空でもよい）、$\Phi(X)$が$X$の真フィルター全体の集合、$\searrow_X\,\subseteq\Phi(X)\times X$のとき、ペア$(X,\searrow_X)$を収束関係構造という。特に、位相空間は特別な収束関係構造である。
部分空間
$(X,\searrow_X)$を収束関係構造、$A\subseteq X$、$\iota_A:A\rightarrow X$を包含写像とする。
$(A,\searrow_{X|_A})$が$(X,\searrow_X)$の部分空間であるとは、$$\forall a\in A, \forall\mathcal{F}\in \Phi(A),\; \mathcal{F}\searrow_{X|_A}a \Longleftrightarrow {\iota_A}_*\mathcal{F}\searrow_X a$$を満たすこと。特に、位相空間の部分空間は相対位相と呼ばれる。
$(X,\searrow_X),(Y,\searrow_Y)$を収束関係構造とする。$A\subseteq X$とする。
- $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\coloneqq\{y\in Y\mid \forall \mathcal{F}\in\Phi(X),\;\mathcal{F}\searrow_X x_0\Longrightarrow f_*\mathcal{F}\searrow_Y y\}$
- $f:X\rightarrow Y$が点$x_0\in X$で連続$\displaystyle:\Longleftrightarrow f(x_0)\in \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$
- $f:X\rightarrow Y$が$A$上で連続$:\Longleftrightarrow$$f$が$A$の全ての点で連続
- $f|_A:A\rightarrow Y$が連続$:\Longleftrightarrow$$A$を$X$の部分空間と見たとき$f|_A=f\circ\iota_A$が連続
- $A^\circ\coloneqq\{x\in X\mid\forall\mathcal{F}\in \Phi(X),\;\mathcal{F}\searrow_Xx\Longrightarrow A\in\mathcal{F}\}$
（１）$⇒$（２）
収束関係構造$(X,\searrow_X),(Y,\searrow_Y)$、写像$f:X\rightarrow Y$、$A\subseteq X$に対して、（１）ならば（２）が成り立つ：
（１）$f:X\rightarrow Y$が$A\subseteq X$上で連続
（２）$A$への制限$f|_A:A\rightarrow Y$が連続
証明（クリックで展開）
定義を書き下すと（１）は$$ \forall a\in A, \forall\mathcal{G}\in\Phi(X),\;\mathcal{G}\searrow_X a\Longrightarrow f_*\mathcal{G}\searrow_Y f(a)$$と同値。$$ \Phi(A)\overset{{\iota_A}_*(\cdot)}{\underset{\{G\cap A\mid G\in (\cdot)\}}{\cong}}\{\mathcal{G}\in\Phi(X)\mid A\in \mathcal{G}\}$$と一対一対応しているため、${\iota_A}_*[\Phi(A)]=\{\mathcal{G}\in\Phi(X)\mid A\in \mathcal{G}\}$。なので、定義を書き下すと（２）は
$$ \forall a\in A, \forall\mathcal{G}\in\{\mathcal{G}'\in\Phi(X)\mid A\in \mathcal{G}'\},\;\mathcal{G}\searrow_X a\Longrightarrow f_*\mathcal{G}\searrow_Y f(a)$$
と同値。明らかに（１）ならば（２）が成り立つ。
（２）$⇒$（１）は$A$が開集合*1じゃないと言えない 収束関係構造$(X,\searrow_X)$と$A\subseteq X$に対して、以下の (A),(B) は同値：
(A) $A^\circ\supseteq A$
(B) 任意の$(Y,\searrow_Y)$と任意の写像$f:X\rightarrow Y$に対して（２）⇒（１）
証明（クリックで展開）
(A)$\Rightarrow$(B)
定義より、(A)は
$$ \forall a\in A,\forall\mathcal{G}\in\Phi(X),\;\mathcal{G}\searrow_X a \Longrightarrow \mathcal{G}\in\{\mathcal{G}'\in\Phi(X)\mid A\in \mathcal{G}'\}$$
と同値なので明らか。
(A)$\Leftarrow$(B)
$(Y,\searrow_Y)$を二点集合$\{0,1\}$に離散位相を入れたものとする。また、写像$f$を指示関数$\chi_A:X\rightarrow \{0,1\}$$$ \chi_A(x)\coloneqq\begin{dcases}
1&(x\in A)\\0&(x\notin A)
\end{dcases}$$とする。$\chi_A^{-1}[\{1\}]=A$なので、$\mathcal{G}\in\{\mathcal{G}'\in\Phi(X)\mid A\in \mathcal{G}'\}$をテキトーに取ってくると、$$\{1\}\in{\chi_A}_*\mathcal{G}=\{S\subseteq X\mid\chi_A^{-1}[S]\in\mathcal{G}\}$$が言える。単項フィルターは極大真フィルターなので、これは$$\left\uparrow\{\{1\}\}\right.={\chi_A}_*\mathcal{G}$$と同値。また、$\{0,1\}$には離散位相が入っているので$\left\uparrow\{\{1\}\}\right.\searrow_{\{0,1\}}1$。そして、各$a\in A$に対して$\chi_A(a)=1$。以上より、$\{0,1\}$と$\chi_A$は（２）を満たす。
よって、仮定（Ｂ）より$\{0,1\}$と$\chi_A$は（１）を満たす。言い換えると$$ \forall a\in A,\forall\mathcal{G}\in\Phi(X),\;\mathcal{G}\searrow_X a\Longrightarrow {\chi_A}_{*}\mathcal{G}\searrow_{\{0,1\}}\chi_A(a)=1$$を満たす。$\{0,1\}$には離散位相が入っているので、$1$に収束する真フィルターは$\left\uparrow\{\{1\}\}\right.$以外いない。なので、上の状況で${\chi_A}_{*}\mathcal{G}=\left\uparrow\{\{1\}\}\right.$にならなければならない。これは$A={\chi_A^{-1}}[\{1\}]\in\mathcal{G}$と同値。故に、(A)を得る。
「一点で連続」と「一点を除いた極限が連続っぽい」
$[1]$
$f:X\rightarrow Y,\,S\subseteq X,\,a\in X$とする。
- $$\lim_{\substack{x\rightarrow a\\x\in S}}f(x)\coloneqq\{y\in Y\mid \forall \mathcal{F}\in\Phi(X),\;S\in\mathcal{F}\searrow_X a\Longrightarrow f_*\mathcal{F}\searrow_Y y\}$$
- $$\lim_{\substack{x\rightarrow a\\x\neq a}}f(x)\coloneqq\lim_{\substack{x\rightarrow a\\x\in X\smallsetminus\{a\}}}f(x)$$
$\textsf{PsTop}$では以下の当たり前な極限の命題が成り立つ。($\textsf{PsTop}$の定義は$[1]$を見よ。)
杉浦解析Ⅰ, §6 命題6.5, P.55
$(X,\searrow_X),(Y,\searrow_Y)$を$\textsf{PsTop}$とする。$a\in X$とする。(A),(B)は同値。
(A) $f$は$a$で連続（$\displaystyle f(a)\in\lim_{x\rightarrow a}f(x)$）
(B) $\displaystyle f(a)\in\lim_{\substack{x\rightarrow a\\x\neq a}}f(x)$
証明（クリックで展開）
$\textsf{PsTop}$なので、(A)は$$ \forall\mathcal{U}\in\text{Ult}(X),\;\mathcal{U}\searrow_X a\Longrightarrow f_*\mathcal{U}\searrow_Y f(a)$$と同値。(B)は$$ \forall\mathcal{U}\in\text{Ult}(X),\;X\smallsetminus\{a\}\in\mathcal{U}\searrow_X a\Longrightarrow f_*\mathcal{U}\searrow_Y f(a)$$と同値。 (A)$\Leftarrow$(B)
$\mathcal{U}$は極大真フィルターなので、\begin{eqnarray*}
X\smallsetminus\{a\}\in\mathcal{U}&\Longleftrightarrow&\{a\}\notin\mathcal{U} \\ &\Longleftrightarrow&\left\uparrow\{\{a\}\}\right.\neq\mathcal{U}
\end{eqnarray*}
になる。一方、$\left\uparrow\{\{a\}\}\right.\searrow_X a,\;f_*(\left\uparrow\{\{a\}\}\right.)=\left\uparrow\{\{f(a)\}\}\right.\searrow_Y f(a)$
なので明らか。
1:$\;\textsf{PreConv}$などで$A^\circ\subseteq A$は常に成り立たないため、ここを「開集合」とするのは厳密に言うとデマだが、誰も気にしないだろう。$\textsf{Conv}$では常に$A^\circ\subseteq A$が成り立つ。↩ 
