第三の基底での量子力学

動機

　（純粋状態の）量子力学では量子状態をHilbert空間$\mathcal{H}$の元（正確には射線）$\ket{\psi}\in\mathcal{H}$として扱う。特に軌道運動に対して，$\mathcal{H}\simeq L^2(\mathbb{R}^3)$とみなすことは普通だ。しかし，座標表示$\ket{\psi}=\psi(x)$や，運動量表示$\ket{\psi}=\psi(p)$では，位置と運動量を対等に扱いたいというブラケット記法の思想をうまく反映できていないし，$ \ket{x}$などが$\delta$関数になってしまうという問題も起こる。そこで，$\ket{\psi}$の変数を非物理的なダミー変数にする（ブラケットの言葉でいうと，非物理的な基底$\bra{u}$で展開することに相当）ことで，関数空間上でブラケットの”お気持ち”を表現することを目指す。

問題設定

簡単のため，1次元の量子力学を考えます。

なお，当然$u$と$D$には演算子として
\begin{equation} [u,-iD]=i \end{equation}
という関係（無次元の正準交換関係に対応）があります。

これは，普段使っている定義に比べ，相空間で$-\frac{\pi}{4}$だけ回転していることに相当します。また，エルミート演算子の実係数での線形結合なので，これもエルミート演算子になります。

証明は代入するだけなので省略します。

固有状態の関数形と完全性

次に，$\hat{x}$の固有値$x$に対する固有関数$\ket{x}$を求めます。
$\ket{x}=\xi(u)$とすると，固有方程式は
\begin{equation} \frac{x_0}{\sqrt{2}}(u+iD)\xi(u)=x\xi(u) \end{equation}
となります。これは線形な常微分方程式なので簡単に解けて解は
\begin{equation} \xi(u)=C(x)\exp(i\qty[\frac{u^2}{2}-\sqrt{2}\frac{x}{x_0}u]) \end{equation}
と求まります。これを"正規化"することで，比例定数$C(x)$を決定したいと思います。
\begin{align} \bra{x'}\ket{x}&:=\int_{-\infty}^\infty du C^*(x')C(x)\exp(-i\qty(\frac{u^2}{2}-\sqrt{2}\frac{x'}{x_0}u))\exp(i\qty[\frac{u^2}{2}-\sqrt{2}\frac{x}{x_0}u])\\ &=\int_{-\infty}^\infty du C^*(x')C(x)\exp(-i\qty[\sqrt{2}\frac{u}{x_0}(x-x')])\\ &=|C(x)|^2\frac{2\pi x_0}{\sqrt{2}}\delta(x-x') \end{align}
であるので，これが$\delta(x-x')$となるように$C(x)$を決めます。位相分の不定性があるのですが，ここでは都合上
\begin{equation} C(x)=\sqrt{\frac{1-i}{2\pi x_0}}\exp(\frac{1}{2}i\qty(\frac{x}{x_0})^2) \end{equation}
と置きます。

これを用いて，位置表示の波動関数は次のように定義されます。（記号が衝突してしまっていますが，お許しください）

これは，分数階Fourier変換(fractional Fourier transition)の積分表示

で$\alpha=-\frac{1}{2}$を代入したものに他なりません。
次に，"完全性"を見ると，
\begin{align} \qty[\int dx \ket{x}\bra{x}]\ket{\psi}&=\int dx\sqrt{\frac{1-i}{2\pi x_0}}\exp(i\qty(\frac{u^2}{2}-\sqrt{2}\frac{x}{x_0}u+\frac{1}{2}\qty(\frac{x}{x_0})^2))\sqrt{\frac{1+i}{2\pi x_0}}\int_{-\infty}^{\infty}dv\exp(-i\qty(\frac{v^2}{2}-\sqrt{2}\frac{x}{x_0}v+\frac{1}{2}\qty(\frac{x}{x_0})^2))\psi(v)\\ &=\int dv\psi(v)\exp(i\frac{1}{2}\qty(u^2-v^2))\delta(u-v)\\ &=\psi(u) \end{align}
これは，1/2階Fourier変換の反転公式に当たる関係を表しています。この関係は任意の$\ket{\psi}\in\mathcal{H}$で成立するので，

が成立します。
$\ket{p}$に関しても上と全く同様の議論をすると，

が出てきます。これは，$\ket{p}$が分数階Fourier変換の$\alpha=\frac{1}{2}$に対する積分核の複素共役になっています。

$\hat{p}と\ket{x}$の関係

$\hat{x}$と$\hat{p}$の固有状態がが分かったところで，$\hat{p}$が$\ket{x}$や位置表示での波動関数に作用した時にどのような関係があるかを調べていきます。
\begin{align} \hat{p}\ket{x}&=\frac{\hbar}{\sqrt{2}x_0}(u-iD)\sqrt{\frac{1-i}{2\pi x_0}}\exp(i\qty[\frac{u^2}{2}-\sqrt{2}\frac{x}{x_0}u+\frac{1}{2}\qty(\frac{x}{x_0})^2])\\ &=\hbar\qty(\frac{\sqrt2}{x}u-\frac{x}{x_0^2})\sqrt{\frac{1-i}{2\pi x_0}}\exp(i\qty[\frac{u^2}{2}-\sqrt{2}\frac{x}{x_0}u+\frac{1}{2}\qty(\frac{x}{x_0})^2])\\ &=i\hbar\dv{x}\ket{x} \end{align}
となり，波動関数に対しては，
\begin{equation} \bra{x}\hat{p}\ket{\psi}=\bra{\hat{p}^\dagger x}\ket{\psi}=\frac{\hbar}{i}\dv{x}\bra{x}\ket{\psi} \end{equation}
という関係が成り立ちます。

同様の計算により次も成り立ちます。

最後に，$\ket{p}$の位置表示がどうなっているかを確認したいと思います。
\begin{align} \bra{x}\ket{p}&=\sqrt{\frac{1+i}{2\pi x_0}}\int_{-\infty}^{\infty}du\exp(-i\qty(\frac{u^2}{2}-\sqrt{2}\frac{x}{x_0}u+\frac{1}{2}\qty(\frac{x}{x_0})^2))\sqrt{\frac{(1+i)x_0}{2\pi \hbar}}\exp(-i\qty[\frac{u^2}{2}-\sqrt{2}\frac{x_0}{\hbar}up+\frac{1}{2}\qty(\frac{px_0}{\hbar})^2])\\ &=\frac{1+i}{2\pi\sqrt\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-i\qty{\qty[u-\frac{1}{\sqrt2}\qty(\frac{x}{x_0}+\frac{px_0}{\hbar})]^2}-\frac{1}{\hbar}px)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}px} \end{align}
ここで，
\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ix^2}=(1-i)\sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{equation}
を用いました。(これは中心角$\frac{\pi}{4}$の扇形の積分経路を取ることで計算できます。)
実際，これは
\begin{equation} \frac{\hbar}{i}\dv{x}\bra{x}\ket{p}=p\bra{x}\ket{p} \end{equation}
を満たします。これを用いて，$\bra{p}\ket{\psi}$は
\begin{align} \bra{p}\ket{\psi}&=\bra{p}\qty(\int dx \ket{x}\bra{x})\ket{\psi}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} dxe^{-\frac{i}{\hbar}px}\psi(x) \end{align}
となり，運動量表示の波動関数が位置表示の波動関数のFourier変換になっていることを表します。また，-1/2階Foureir変換した後，Fourier変換すると，1/2階Fourier変換したものと一致することを表します。

最後に

　上の議論は，ほとんどの量子力学の教科書で述べられていることの焼き直しでしかないですが，$\ket{x}$や$\ket{p}$といったHilbert空間の元ではないケットベクトルの扱いの腑に落ちる契機となってくれれば幸いです。ただし，上の議論はまだ自分でも疑問に思う部分がいくつかあるので，最後に列挙したいと思います。

1. 今回は相空間上で掛け算演算子と微分演算子を$\pi/4$回転させたものを位置演算子と運動量演算子として採用したが，任意回転
   \begin{equation} \hat{x}:=x_0(\cos\theta u+i\sin\theta D) \end{equation}
   \begin{equation} \hat{p}:=\frac{\hbar}{x_0}(\sin\theta u-i\cos\theta D) \end{equation}
   は正準交換関係を満たし，分数階Fourier変換で$\alpha=-\frac{2\theta}{\pi}$の積分核（の複素共役）を$\ket{x}$に持つか。（持ちそう）$\theta\to 0$の極限で位置表示の量子力学と一致するか。
2. 正準交換関係を満たす$L^2(\mathbb{R})$上の演算子は1番で定義したものを除いて存在するか。その場合の位置演算子の固有状態$\ket{x}$はどのように表されるか。
3. 数理物理の文脈では$\ket{x}$は$\delta$関数と同一視され，Gelfandの3つ組み（Rigged HIlbert空間）
   \begin{equation} \Phi\subset \mathcal{H}\subset \Phi^* \end{equation}
   を用いて記述されるが，その理解と整合性が取れるか。また，Hilbert空間上での分数階Fourier変換に対応した変換をGelfandの3つ組の上で考えられるか。
4. 形式的な記号と積分順序の取り換えで一見うまくいって見えるが，δ関数が出てくるところなどはGaussian核の極限などとして正当化できるか。

相空間上での回転というアイデアはChatGPTに出されたものだったので，絶対に先行研究はあるのですが，探し切れていないので，教えていただけたら幸いです。