【リーマン幾何学】1st Betti数とRicci曲率の関係（Bochnerの定理）

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　Ricci曲率と1st Betti数の関係を論じるBochnerの定理を証明します。証明には Hodgeの定理と Bochner-Weitzenböck公式を使います。

　k-th Betti数を $b_{k} (M) = {d i m}_{R} H_{d R}^{k} (M)$ と定義されます。Hodgeの定理よりこれは調和 $k$ 形式の作るベクトル空間の次元となります。またBochner-Weitzenböck公式より１形式 $α$ に対して、
$Δ^{d R} α = Δ^{B e l} α + R i c (α), Δ^{d R} = d d^{†} + d^{†} d, Δ^{B e l} = \nabla^{†} \nabla$
が成り立ちます。

Bochner

$(M, g)$ を連結コンパクトリーマン多様体とする。
(i) $R i c > 0$ のとき、 $b_{1} (M) = 0$
(ii) $R i c \geq 0$ のとき、 $b_{1} (M) \leq d i m M = n$

$α$ を調和形式とすると、
$\begin{array}{r} 0 = (Δ^{d R} α, α) = (Δ^{B e l} α, α) + (R i c (α), α) = | | \nabla α | |_{L^{2}}^{2} + (R i c (α), α) \end{array}$
である。

(i) $c > 0$ があり、 $(R i c (α), α) \geq c | | α | |_{L^{2}}^{2}$ なので
$0 \geq | | \nabla α | |_{L^{2}}^{2} + c | | α | |_{L^{2}}^{2} \geq c | | α | |_{L^{2}}^{2}$
となり、 $α = 0$ である。

(ii)
$0 = | | \nabla α | |_{L^{2}}^{2} + (R i c (α), α) \geq | | \nabla α | |_{L^{2}}^{2}$
であるから、 $\nabla α = 0$ である。 $α_{1}, \dots, α_{n + 1}$ を調和形式とすると、ある $p \in M$ において、 $\sum_{i = 1}^{n + 1} c_{i} α_{i} (p) = 0$ となる。 $\sum_{i = 1}^{n + 1} c_{i} α_{i}$ は至る所平行であるから、任意の点 $q \in M$ への曲線に沿う平行移動を考えれば、 $\sum_{i = 1}^{n + 1} c_{i} α_{i} (q) = 0$ である。