Op.2(+α)

$$ I=\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{\sinh{x}} dx$$
と置く.
$$ I=\int_0^\infty \frac{2x^{s-1}}{e^x-e^{-x}} dx=\int_0^\infty \frac{2x^{s-1}e^{-x}}{1-e^{-2x}} dx$$
$$I=2\int_0^\infty \sum_{n=0}^{\infty}{x^{s-1}e^{-(2n+1)x}} dx$$
$(2n+1)x=t$と置換すると,
$$I=2\int_0^\infty \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{t^{s-1}e^{-t}}{(2n+1)^{s-1}} \dfrac{dt}{(2n+1)}$$
$$I=2\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^{s}} \int_0^\infty {t^{s-1}e^{-t}}dt$$
$$I=2\Gamma(s)\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^{s}}$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^{s}}=\left(1-\dfrac{1}{2^s}\right)\zeta(s)$$であるから,
$$I=2\Gamma(s)\left(1-\dfrac{1}{2^s}\right)\zeta(s)$$
を得る.