前回の記事[1]と同じ記号・用語を用いる．
$S$を$0$を持つ半群とする．
$S$が$0$-admissible orderを持つとき，$S$は$\ReesJ$-trivialである．
$\le$を$S$上の$0$-admissible orderとする．一般に$0$の$\ReesJ$類は$\setex0$である．$x,y\in S\setminus\setex0$については$x\sqsubseteq y$, $x\sqsupseteq y$$\Rightarrow$$x\le y$, $x\ge y$$\Rightarrow$$x=y$となる．従って$S$は$\ReesJ$-trivialである．
$S$がNoetherianであるとき，$S$上の$0$-admissible orderは整列順序である．とくに，$S$がprincipalであれば，$S$上の$0$-admissible orderとして可能なものは$\sqsubseteq$のみである．
$\le$を$S$上の$0$-admissible orderとし，任意の空でない部分集合$A\subset S\setminus\setex0$をとる．[1, 命題10]により，有限部分集合$A_0\subset A$があって$\idealgen A_0=\idealgen A$が成り立つ．$a_0:=\min_\le A_0$とおく．$a_0$は$A$においても最小である．実際，任意の$a\in A$に対し，$a\in\idealgen A_0$であるから，$a\sqsupseteq x$なる$x\in A_0$が存在する．よって$0$-admissible order の定義(i)から$a\ge x\ge a_0$である．従って$\ge$は整列順序である．
$\emptyset\neq I\subset S$をイデアルとする．$S$上の$0$-admissible orderは$S/I$上の$0$-admissible orderを導く．
$\le$を$S$上の$0$-admissible orderとする．$[\cdot]\colon S\to S/I$を自然な準同型とする．$(S/I)\setminus\setex0$の全順序$\le'$を$x,y\in S\setminus I$に対し$[x]\le'[y]$$\iff$$x\le y$で定めればよい．
$k$を体とし，$S$を$0$を持つ半群とする．$\setin{\rho_x}{x\in S\setminus\setex0}$が生成する$k$上の自由ベクトル空間に，積を$\rho_x\rho_y:=\rho_{xy}$の線形拡張として定めることで，結合的$k$代数$k[S]$を得る．ただし$xy=0$のときは$\rho_x\rho_y=0$とする．$k[S]$を$S$上$k$係数の半群環という．便宜上$\rho_0=0$と定める．
$0$を持たない半群$S$については，その$0$添加$S^0$上の半群環を以て$S$上の半群環を定め，同じ記号$k[S]:=k[S^0]$で表す．
$S$が単位元を持つとき(モノイドであるとき)，$k[S]$は単位的である．$S$が単位元を持たない場合，$k[S]$は単位的である場合も単位的でない場合もある．
以下では$S$は$0$を持つ半群とする．
$k[S]$の元$f$は定義から
\begin{equation}
f=\sum_{\substack{x\in S\setminus\setex0\\\text{有限和}}}c_f(x)\rho_x,\quad c_f(x)\in k^\times
\end{equation}
と書ける．右辺に現れる$x$全体の集合を$f$の台といい，$\supp f$で表す．$\supp f\subset S\setminus\setex0$は有限集合である．
$|\supp f|\le1$なる$f\in k[S]$を単項式という．単項式で生成される$k[S]$のイデアルを単項式イデアルという．
部分集合$\mathfrak{a}\subset k[S]$に対し，$\supp\mathfrak{a}:=\bigcup_{f\in\mathfrak{a}}\supp f$とおく．
$0\neq\mathfrak{a}\subset k[S]$をイデアルとする．このとき$\mathfrak{a}$が単項式イデアルであることと，任意の$x\in\supp\mathfrak{a}$について$\rho_x\in\mathfrak{a}$であることとは同値である．
証明から，次の命題が従う．
$\mathfrak{a}\subset k[S]$を単項式イデアルとする．
$S$の空でないイデアルと$k[S]$の単項式イデアルは1対1に対応する．
$S$の空でないイデアル全体の集合を$\Phi$, $k[S]$の単項式イデアル全体の集合を$\Psi$で表す．$F\colon \Phi\to\Psi$を$F(I):=(\rho_x\mid x\in I)$, $G\colon \Psi\to\Phi$を$G(\mathfrak{a}):=\setex0\cup\supp\mathfrak{a}$で定め，$F,G$が互いに逆になっていることを示す．補題5により;
系として次を得る．
$S$がNoetherianであることと，$k[S]$の任意の単項式イデアルが有限生成であることとは同値である．
[1, 命題10]とあわせて次を得る．
$S$はNoetherianであるとする．このとき$k[S]$の任意の単項式イデアル$\mathfrak{a}=(h_\lambda\mid\lambda\in\Lambda)$, $h_\lambda$は単項式，に対し，有限部分集合$\Lambda_0\subset\Lambda$があって，$\mathfrak{a}=(h_\lambda\mid\lambda\in\Lambda_0)$が成り立つ．
この節では$S$は$0$を持つ半群とする．また$S$は$0$-admissible orderを持つとし，その一つ$\le$を固定する．
任意の$0\neq f\in k[S]$に対し，$\supp f$は空でない有限集合であるから，$\le$に関して最大元を持つ．これを$\tip f$で表す．
$k[S]$のイデアル$\mathfrak{a}\neq0$に対し，単項式イデアル
\begin{equation}
\tip\mathfrak{a}:=(\rho_{\tip f}\mid f\in\mathfrak{a}\setminus\setex0)
\end{equation}
を定める．
$\mathfrak{a}\neq0$を$k[S]$のイデアルとする．有限部分集合$G\subset\mathfrak{a}\setminus\setex0$が
\begin{equation}
(\rho_{\tip g}\mid g\in G)=\tip\mathfrak{a}
\end{equation}
をみたすとき，$G$を$\mathfrak{a}$のグレブナー基底という．
命題8から次が直ちに従う．
$S$がNoetherianであれば，$k[S]$の任意の$0$でないイデアルはグレブナー基底を持つ．
$\mathfrak{a}\neq0$を$k[S]$のイデアル，$G\subset\mathfrak{a}\setminus\setex0$を有限部分集合とする．このとき$G$が$\mathfrak{a}$のグレブナー基底であることと，任意の$0\neq f\in\mathfrak{a}$に対して$\tip g\sqsubseteq \tip f$なる$g\in G$が存在することとは同値である．
後者は$\idealgen\setin{\tip g}{g\in G}\supset\idealgen\setin{\tip f}{0\neq f\in\mathfrak{a}}$を意味する．逆向きの包含は$G\subset\mathfrak{a}\setminus\setex0$から自動的に従うから，これは$\idealgen\setin{\tip g}{g\in G}=\idealgen\setin{\tip f}{0\neq f\in\mathfrak{a}}$と同値である．よって主張は補題5から従う．
$S$はNoetherianとし，$\mathfrak{a}\neq0$を$k[S]$のイデアル，$G\subset\mathfrak{a}\setminus\setex0$を$\mathfrak{a}$のグレブナー基底とする．このとき$\mathfrak{a}=(G)$である．とくに，$k[S]$はNoetherianである．
背理法による．$\mathfrak{b}:=(G)\subsetneq\mathfrak{a}$と仮定する．命題2により$\le$は整列順序であるから，$x_0:=\min_\le\setin{\tip f}{f\in\mathfrak{a}\setminus\mathfrak{b}}$が存在する．$\tip f=x_0$なるモニック($\tip f$の係数が$1$)な元$f\in\mathfrak{a}\setminus\mathfrak{b}$をとっておく．補題10により，モニックな元$g\in\mathfrak{b}$で，$\tip g\sqsubseteq\tip f$をみたすものが存在する; ${}^\exists p,q\in S^1$ s.t. $\tip f=p\cdot\tip g\cdot q$. $0$-admissible orderの定義(ii)から，$p\cdot\tip g\cdot q=\tip(\rho_p\cdot g\cdot\rho_q)$が成り立つ．そこで，$h=f-\rho_p\cdot g\cdot\rho_q$とおけば，$h\in\mathfrak{a}\setminus\mathfrak{b}$であり，$\tip h<\tip f$である．これは$\tip f$の最小性に矛盾する．従って$\mathfrak{a}=(G)$である．