半群環とそのネーター性

半群論,環論

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前回の記事[1]と同じ記号・用語を用いる．

0-admissible order

$S$ を $0$ を持つ半群とする． $S ∖ {0}$ 上の全順序 $\leq$ は次をみたすとき $0$ -admissibleであるという．
1. 任意の $x, y \in S ∖ {0}$ に対し， $x ⊑ y$ ならば $x \leq y$ である．
2. 任意の $x, y \in S ∖ {0}$ と任意の $p, q \in S^{1}$ に対し， $x < y$ かつ $p x q, p y q \neq 0$ ならば $p x q < p y q$ である．
$S$ を $0$ を持たない半群とする． $S$ 上の全順序 $\leq$ がadmissibleであるとは， $\leq$ が $S$ のゼロ添加 $S^{0}$ 上 $0$ -admissibleであることをいう．

$S$ を $0$ を持つ半群とする．

$S$ が $0$ -admissible orderを持つとき， $S$ は $J$ -trivialである．

$\leq$ を $S$ 上の $0$ -admissible orderとする．一般に $0$ の $J$ 類は ${0}$ である． $x, y \in S ∖ {0}$ については $x ⊑ y$ , $x ⊒ y$ $\Rightarrow$ $x \leq y$ , $x \geq y$ $\Rightarrow$ $x = y$ となる．従って $S$ は $J$ -trivialである．

$S$ がNoetherianであるとき， $S$ 上の $0$ -admissible orderは整列順序である．とくに， $S$ がprincipalであれば， $S$ 上の $0$ -admissible orderとして可能なものは $⊑$ のみである．

$\leq$ を $S$ 上の $0$ -admissible orderとし，任意の空でない部分集合 $A \subset S ∖ {0}$ をとる．[1, 命題10]により，有限部分集合 $A_{0} \subset A$ があって $↑ A_{0} = ↑ A$ が成り立つ． $a_{0} := min_{\leq} A_{0}$ とおく． $a_{0}$ は $A$ においても最小である．実際，任意の $a \in A$ に対し， $a \in ↑ A_{0}$ であるから， $a ⊒ x$ なる $x \in A_{0}$ が存在する．よって $0$ -admissible order の定義(i)から $a \geq x \geq a_{0}$ である．従って $\geq$ は整列順序である．

$\emptyset \neq I \subset S$ をイデアルとする． $S$ 上の $0$ -admissible orderは $S / I$ 上の $0$ -admissible orderを導く．

$\leq$ を $S$ 上の $0$ -admissible orderとする． $[\cdot] : S \to S / I$ を自然な準同型とする． $(S / I) ∖ {0}$ の全順序 $\leq^{'}$ を $x, y \in S ∖ I$ に対し $[x] \leq^{'} [y]$ $⟺$ $x \leq y$ で定めればよい．

半群環

半群環と単項式イデアル

$k$ を体とし， $S$ を $0$ を持つ半群とする． ${ρ_{x} | x \in S ∖ {0}}$ が生成する $k$ 上の自由ベクトル空間に，積を $ρ_{x} ρ_{y} := ρ_{x y}$ の線形拡張として定めることで，結合的 $k$ 代数 $k [S]$ を得る．ただし $x y = 0$ のときは $ρ_{x} ρ_{y} = 0$ とする． $k [S]$ を $S$ 上 $k$ 係数の半群環という．便宜上 $ρ_{0} = 0$ と定める．
$0$ を持たない半群 $S$ については，その $0$ 添加 $S^{0}$ 上の半群環を以て $S$ 上の半群環を定め，同じ記号 $k [S] := k [S^{0}]$ で表す．
$S$ が単位元を持つとき(モノイドであるとき)， $k [S]$ は単位的である． $S$ が単位元を持たない場合， $k [S]$ は単位的である場合も単位的でない場合もある．
以下では $S$ は $0$ を持つ半群とする．

$k [S]$ の元 $f$ は定義から
$f = \sum_{\begin{matrix} x \in S ∖ {0} \\ 有限和 \end{matrix}} c_{f} (x) ρ_{x}, c_{f} (x) \in k^{\times}$
と書ける．右辺に現れる $x$ 全体の集合を $f$ の台といい， $supp f$ で表す． $supp f \subset S ∖ {0}$ は有限集合である．

$| supp f | \leq 1$ なる $f \in k [S]$ を単項式という．単項式で生成される $k [S]$ のイデアルを単項式イデアルという．

部分集合 $a \subset k [S]$ に対し， $supp a := ⋃_{f \in a} supp f$ とおく．

$0 \neq a \subset k [S]$ をイデアルとする．このとき $a$ が単項式イデアルであることと，任意の $x \in supp a$ について $ρ_{x} \in a$ であることとは同値である．

[十分性] $a = (h_{λ} ∣ λ \in Λ)$ , $h_{λ}$ は単項式とする． $f \in a$ は $f = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} h_{λ_{i}} b_{i}$ , $a_{i}, b_{i} \in k [S^{1}]$ と書ける．このとき
$\begin{aligned} supp f & \subset ⋃_{i = 1}^{n} supp (a_{i} h_{λ_{i}} b_{i}) \\ \subset ⋃_{i = 1}^{n} supp a_{i} supp h_{λ_{i}} supp b_{i} \\ \subset ⋃_{λ \in Λ} ↑ x_{λ} \end{aligned}$
である．ただし $supp h_{λ} = {x_{λ}}$ とした．よって任意の $x \in ⋃_{λ \in Λ} ↑ x_{λ}$ について $ρ_{x} \in a$ であればよい．各 $ρ_{x_{λ}}$ は $a$ に属すから，任意の $p, q \in S^{1}$ について $ρ_{p x_{λ} q} = ρ_{p} ρ_{x_{λ}} ρ_{q} \in a$ である．
[必要性] $a = (ρ_{x} ∣ x \in supp a)$ を示す．[ $\subset$ ]は $f \in a$ が $\sum_{x \in supp f} c_{f} (x) ρ_{x}$ と書けることから従う．[ $\supset$ ]は仮定から従う．

証明から，次の命題が従う．

$a \subset k [S]$ を単項式イデアルとする．

$a = (h_{λ} ∣ λ \in Λ)$ , $h_{λ}$ は単項式，と表すとき，
${0} \cup supp a = ↑ supp {h_{λ} | λ \in Λ}$
である．とくに， ${0} \cup supp a$ は $S$ のイデアルである．
$a = (ρ_{x} ∣ x \in {0} \cup supp a)$ である．

$S$ の空でないイデアルと $k [S]$ の単項式イデアルは1対1に対応する．

$S$ の空でないイデアル全体の集合を $Φ$ , $k [S]$ の単項式イデアル全体の集合を $Ψ$ で表す． $F : Φ \to Ψ$ を $F (I) := (ρ_{x} ∣ x \in I)$ , $G : Ψ \to Φ$ を $G (a) := {0} \cup supp a$ で定め， $F, G$ が互いに逆になっていることを示す．補題5により;

任意の $a \in Ψ$ に対し， $F \circ G (a) = (ρ_{x} ∣ x \in {0} \cup supp a) = a$ である．
任意の $I \in Φ$ に対し， $G \circ F (I) = {0} \cup supp F (I) = ↑ I = I$ である．

系として次を得る．

$S$ がNoetherianであることと， $k [S]$ の任意の単項式イデアルが有限生成であることとは同値である．

[1, 命題10]とあわせて次を得る．

$S$ はNoetherianであるとする．このとき $k [S]$ の任意の単項式イデアル $a = (h_{λ} ∣ λ \in Λ)$ , $h_{λ}$ は単項式，に対し，有限部分集合 $Λ_{0} \subset Λ$ があって， $a = (h_{λ} ∣ λ \in Λ_{0})$ が成り立つ．

グレブナー基底と半群環のネーター性

この節では $S$ は $0$ を持つ半群とする．また $S$ は $0$ -admissible orderを持つとし，その一つ $\leq$ を固定する．

任意の $0 \neq f \in k [S]$ に対し， $supp f$ は空でない有限集合であるから， $\leq$ に関して最大元を持つ．これを $tip f$ で表す．

$k [S]$ のイデアル $a \neq 0$ に対し，単項式イデアル
$tip a := (ρ_{tip f} ∣ f \in a ∖ {0})$
を定める．

$a \neq 0$ を $k [S]$ のイデアルとする．有限部分集合 $G \subset a ∖ {0}$ が
$(ρ_{tip g} ∣ g \in G) = tip a$
をみたすとき， $G$ を $a$ のグレブナー基底という．

命題8から次が直ちに従う．

$S$ がNoetherianであれば， $k [S]$ の任意の $0$ でないイデアルはグレブナー基底を持つ．

$a \neq 0$ を $k [S]$ のイデアル， $G \subset a ∖ {0}$ を有限部分集合とする．このとき $G$ が $a$ のグレブナー基底であることと，任意の $0 \neq f \in a$ に対して $tip g ⊑ tip f$ なる $g \in G$ が存在することとは同値である．

後者は $↑ {tip g | g \in G} \supset ↑ {tip f | 0 \neq f \in a}$ を意味する．逆向きの包含は $G \subset a ∖ {0}$ から自動的に従うから，これは $↑ {tip g | g \in G} = ↑ {tip f | 0 \neq f \in a}$ と同値である．よって主張は補題5から従う．

$S$ はNoetherianとし， $a \neq 0$ を $k [S]$ のイデアル， $G \subset a ∖ {0}$ を $a$ のグレブナー基底とする．このとき $a = (G)$ である．とくに， $k [S]$ はNoetherianである．

背理法による． $b := (G) ⊊ a$ と仮定する．命題2により $\leq$ は整列順序であるから， $x_{0} := min_{\leq} {tip f | f \in a ∖ b}$ が存在する． $tip f = x_{0}$ なるモニック( $tip f$ の係数が $1$ )な元 $f \in a ∖ b$ をとっておく．補題10により，モニックな元 $g \in b$ で， $tip g ⊑ tip f$ をみたすものが存在する; $^{\exists} p, q \in S^{1}$ s.t. $tip f = p \cdot tip g \cdot q$ . $0$ -admissible orderの定義(ii)から， $p \cdot tip g \cdot q = tip (ρ_{p} \cdot g \cdot ρ_{q})$ が成り立つ．そこで， $h = f - ρ_{p} \cdot g \cdot ρ_{q}$ とおけば， $h \in a ∖ b$ であり， $tip h < tip f$ である．これは $tip f$ の最小性に矛盾する．従って $a = (G)$ である．