Bessel関数の4乗の積分
今回はBessel関数の4乗に関するNicholsonによる積分
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{1-2\nu}J_{\nu}(t)\,dt=\frac{\Gamma(2\nu)\Gamma(\nu)}{2\pi\Gamma(3\nu)\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)^2}
\end{align}
を示す. まず, 以下のBessel関数の二乗のMellin変換を示す.
\begin{align} \int_0^{\infty}t^{s-1}J_{\nu}(t)^2\,dt&=\frac 12\frac{\Gamma\left(\frac s2+\nu\right)\Gamma\left(\frac 12-\frac s2\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+1-\frac s2\right)\Gamma\left(1-\frac s2\right)} \end{align}
前の記事
で示したBessel関数の積の級数表示において$\mu=\nu$とすると
\begin{align}
J_{\nu}(t)^2&=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m\Gamma(2\nu+2m+1)}{m!\Gamma(2\nu+m+1)\Gamma(\nu+m+1)^2}\left(\frac{t}{2}\right)^{2\nu+2m}
\end{align}
となるから,
Ramanujan's master theorem
より,
\begin{align}
&\int_0^{\infty}t^{s-1}J_{\nu}(t)^2\,dt\\
&=\int_0^{\infty}t^{s-1}\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m\Gamma(2\nu+2m+1)}{m!\Gamma(2\nu+m+1)\Gamma(\nu+m+1)^2}\left(\frac{t}{2}\right)^{2\nu+2m}\,dt\\
&=\frac 12\int_0^{\infty}t^{\frac s2+\nu-1}\sum_{0\leq m}\frac{(-t)^m\Gamma(2\nu+2m+1)}{m! 2^{2\nu+2m}\Gamma(2\nu+m+1)\Gamma(\nu+m+1)^2}\,dt\\
&=\frac 12\frac{2^{s}\Gamma\left(\frac s2+\nu\right)\Gamma(1-s)}{\Gamma\left(\nu+1-\frac s2\right)\Gamma\left(1-\frac s2\right)^2}\\
&=\frac 12\frac{\Gamma\left(\frac s2+\nu\right)\Gamma\left(\frac 12-\frac s2\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+1-\frac s2\right)\Gamma\left(1-\frac s2\right)}\\
\end{align}
示される.
\begin{align}
F(s)&=\int_0^{\infty}t^{s-1}f(t)\,dt\\
G(s)&=\int_0^{\infty}t^{s-1}g(t)\,dt\\
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{s-1}f(t)g(t)\,dt&=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}F(u)G(s-u)\,du
\end{align}
が成り立つ.
Mellin逆変換公式より,
\begin{align}
f(t)=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}t^{-u}F(u)\,du
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{s-1}f(t)g(t)\,dt&=\frac 1{2\pi i}\int_0^{\infty}t^{s-1}\left(\int_{-i\infty}^{i\infty}t^{-u}F(u)\,du\right)g(t)\,dt\\
&=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}F(u)\left(\int_0^{\infty}t^{s-u-1}g(t)\,dt\right)\,du\\
&=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}F(u)G(s-u)\,du
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
$\Re(\nu)>0$のとき,
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{1-2\nu}J_{\nu}(t)^4\,dt=\frac{\Gamma(2\nu)\Gamma(\nu)}{2\pi\Gamma(3\nu)\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)^2}
\end{align}
が成り立つ.
補題2において$f(t),g(t)$を$J_{\nu}(t)^2$とすると, 補題1より
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{s-1}J_{\nu}(t)^4\,dt&=\frac 1{2\pi i}\frac 1{4\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma\left(\frac u2+\nu\right)\Gamma\left(\frac 12-\frac u2\right)}{\Gamma\left(\nu+1-\frac u2\right)\Gamma\left(1-\frac u2\right)}\frac{\Gamma\left(\frac {s-u}2+\nu\right)\Gamma\left(\frac 12-\frac {s-u}2\right)}{\Gamma\left(\nu+1-\frac{s-u}2\right)\Gamma\left(1-\frac{s-u}2\right)}\,du
\end{align}
となる. ここで, $s\mapsto 2-2\nu, u\mapsto 2u$とすると,
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{s-1}J_{\nu}(t)^4\,dt&=\frac 1{2\pi i}\frac 1{2\pi}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma\left(\frac 12-u\right)}{\Gamma\left(\nu+1-u\right)}\frac{\Gamma\left(\nu-\frac 12+u\right)}{\Gamma\left(2\nu+u\right)}\,du
\end{align}
となる. ここで, $0<\Re(u)$における極$u=\frac 12+n,n\geq 0$に関して留数定理を用いてMellin-Barnes積分を展開すると, Gaussの超幾何定理より
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma\left(\frac 12-u\right)}{\Gamma\left(\nu+1-u\right)}\frac{\Gamma\left(\nu-\frac 12+u\right)}{\Gamma\left(2\nu+u\right)}\,du\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\Gamma\left(\nu+n\right)}{n!\Gamma\left(\nu+\frac 12-n\right)\Gamma\left(2\nu+\frac 12+n\right)}\\
&=\frac{\Gamma(\nu)}{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)\Gamma\left(2\nu+\frac 12\right)}\F21{\nu,\frac 12-\nu}{2\nu+\frac 12}1\\
&=\frac{\Gamma(\nu)}{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)\Gamma\left(2\nu+\frac 12\right)}\frac{\Gamma\left(2\nu+\frac 12\right)\Gamma(2\nu)}{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)\Gamma(3\nu)}\\
&=\frac{\Gamma(\nu)\Gamma(2\nu)}{\Gamma(3\nu)\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)^2}
\end{align}
となるから, これを代入して定理を得る.
