「直積」の何たるか #2

　大方の予想どおり，対象を集合，射を写像，合成則を写像の合成とし，射のドメイン・コドメインをそれぞれ写像の始域・終域，恒等射を恒等写像とすると，これは明らかに圏になります．この圏はよく$\Set$と表されます．

　対象を位相空間，射を連続写像，合成則を写像の合成とし，射のドメイン・コドメインをそれぞれ写像の始域・終域，恒等射を恒等写像とすると，連続写像の合成はふたたび連続写像なので，これは圏になります．この圏はよく$\Top$と表されます．
　また，位相空間を基点付き位相空間に，連続写像を基点を保つ連続写像に取りかえると，これらも圏をなします．これはふつう$\bTop$と表されます．

　$K$を体とし，対象を$K$ベクトル空間，射を$K$線形写像，合成則を写像の合成とし，射のドメイン・コドメインをそれぞれ写像の始域・終域，恒等射を恒等写像とすると，$K$線型写像の合成はふたたび$K$線型写像なので，これは圏になります．この圏はふつう$\Vect_K$と表されます．
　また，$K$を環$R$に取り換えてできる左$R$加群とその準同型とも圏をなします．これはふつう$R \text{-} \Mod$や${}_R \Mod$と表されます．右$R$加群なら$\Mod \text{-} R$, $\Mod_R$といった具合です．

　$\Vect_K$と同様に，群と群準同型，（結合的かつ単位的な）環と環準同型，体と体準同型とは圏をなします．これらはよく$\Grp$，$\Ring$, $\Field$と表されます．
　また，群をAbel群に，環を可換環に取りかえたものも当然圏をなします．これらはふつう$\Ab$, $\CRing$と表されます．

　$(P, \leqslant)$を順序集合とします（前順序でも半順序でも全順序でもよいです）．そこで，$P$の元を対象とし，各対象$x$, $y$について，射$x \to y$が存在することを$x \leqslant y$であることとして定め，射$x \to y$は存在するなら1つだけとすると，$(P, \leqslant)$は1つの圏と見なせます．確認してみましょう．
　まず，$(P, \leqslant)$の射$x \to y$, $y \to z$があったときに，これらの合成射$x \to z$が存在しなければなりませんが，これはたしかに存在します．なぜなら，$x \to y$, $y \to z$は$x \leqslant y$, $y \leqslant z$と同値で，順序関係は推移的なので，$x \leqslant z$が成り立ちます．ですから，射$x \to z$があります．この合成則が結合的なのは大丈夫だと思います．
　また，$(P, \leqslant)$の各対象$x$に対して，その恒等射$\id_x \colon x \to x$が存在しなければなりませんが，順序関係は反射的でもあったので，$x \leqslant x$が成り立ちます．なので，$\id_x$はたしかに存在します．これが単位的な射であることもよいでしょう．

　$(G, {\cdot})$を群とします（モノイドでもよいです）．そこで，何かしらの1つのもの$\bullet$を対象とし，$g \in G$たちを射$g \colon \bullet \to \bullet$として，2つの射$g, h \colon \bullet \rightrightarrows \bullet$の合成射$g \circ h \colon \bullet \to \bullet$を$g, h$の積$g \cdot h$とすることにより，$(G, {\cdot})$は1つの圏$\mathcal{G}$をなします．これも確認してみましょう．
　まず，$\mathcal{G}$の任意の射$g, h, k \colon \bullet \to \bullet$について$(g \circ h) \circ k = g \circ (h \circ k)$が成り立たなければなりませんが，これは$(g \cdot h) \cdot k = g \cdot (h \cdot k)$を意味しており，群の演算は結合的なので問題ありません．
　そして，射の合成について単位的である恒等射$\id_\bullet \colon \bullet \to \bullet$が存在しなければなりません．つまり，$\id_\bullet$は$\mathcal{G}$の任意の射$g \colon \bullet \to \bullet$について$g \circ \id_\bullet = \id_\bullet \circ g = g$とならなければなりませんが，これは，任意の$g \in G$について$g \cdot \id_\bullet = \id_\bullet \cdot g = g$となることを意味しており，この条件は$(G, {\cdot})$の単位元$e$のみがみたします．よって，$\id_\bullet$は$e$として存在するのです．

　$\Set$における同型射は，$g \circ f$も$f \circ g$も恒等写像になるような写像$f$, $g$のことですが，これは，$g$が$f$の（$f$が$g$の）逆写像であるということで，つまり，全単射が同型射になります．

　$\Vect_K$における同型射は，$g \circ f$も$f \circ g$も恒等写像になるような線型写像$f$, $g$のことですが，これは結局，線形全単射のことと同値です．$\Grp$・$\Ring$・$\Field$などにおいても，全単射準同型であることが同型射であることと同値になります．

　$\Top$における同型射は，$g \circ f$も$f \circ g$も恒等写像になるような連続写像$f$, $g$のことで，これは連続全単射と同値なものではありません．

　$(P, \leqslant)$を順序集合とし，これを圏をと見なします．そして，$\mathcal{P}$の2つの射$x \rightleftarrows y$が存在したとしましょう．このとき，これらの合成射$x \to x$, $y \to y$が考えられますが，これらはそれぞれ$\id_x$, $\id_y$なので，$x \rightleftarrows y$は同型射になります．つまり，$x \leqslant y$かつ$y \leqslant x$のときに$\mathcal{P}$において$x \cong y$となるのです．
　とくに，$\leqslant$が半順序関係のときは，$x \leqslant y$かつ$y \leqslant x$なら$x = y$なので，$x \cong y$は$x = y$のことになります．

　$(G, {\cdot})$を群とし，これがなす圏を$\mathcal{G}$とします．このとき，$\mathcal{G}$の2つの射$g, h \colon \bullet \rightrightarrows \bullet$に対して合成射$g \cdot h, h \cdot g \colon \bullet \rightrightarrows \bullet$が考えられます．これらが$\id_\bullet = e$になるということは，$(G, {\cdot})$において$g \cdot h = h \cdot g = e$となるということなので，圏$\mathcal{G}$における$g$の逆射$g^{-1}$は，群$(G, {\cdot})$における$g$の逆元$g^{-1}$のことです．群は任意の元が逆元をもつので，群がなす圏における射はすべてが同型射になります．

　$\Set$の対象$X$, $Y$の上の定義の意味での積の1つは，直積集合$X \times Y$と，射影$\pr_X$, $\pr_Y$のペア$(\pr_X, \pr_Y)$との組$(X \times Y, (\pr_X, \pr_Y))$です．頂点$X \times Y$単体ではなく，これと$X$, $Y$とを繋げる脚$(\pr_X, \pr_Y)$もあわせて考えるのです．
　なお，普遍性をもつ錐はみな積なので，$Y \times X$や$X \times Y \times \{0\}$なども，適当な脚を考えればきちんと積になります．

　$\Top$の対象$(X, \mathcal{O}_X)$, $(Y, \mathcal{O}_Y)$の上の定義の意味での積の1つは，直積位相空間$(X \times Y, \mathcal{O})$と$(\pr_X, \pr_Y)$との組$((X \times Y, \mathcal{O}), (\pr_X, \pr_Y))$になります．そもそも，直積位相は脚$(\pr_X, \pr_Y)$をもとに構成されていたので，頂点$(X \times Y, \mathcal{O})$だけではなく，脚も明示的に表したものを「積」とよぶほうが自然で親切な気さえするのは私だけでしょうか．

　$\Vect_K$の対象$(V, +_V, \cdot_V)$, $(W, +_W, \cdot_W)$の上の定義の意味での積の1つは，直積ベクトル空間$(V \times W, +, \cdot)$と$(\pr_X, \pr_Y)$との組$((V \times W, +, \cdot), (\pr_X, \pr_Y))$になります．
　$\Grp$, $\Ring$などにおいても同様です．

　$(P, \leqslant)$を順序集合とし，これを圏と見なします．圏$(P, \leqslant)$の対象$x, y$の積とはいったいどんなものになるのでしょうか．まず，その積の頂点$x \times y$が存在したとすると，その錐の脚は$(x \times y \to x, x \times y \to y)$となるわけで，これは$x \times y \leqslant x$かつ$x \times y \leqslant y$と同値です．また，直積は普遍性をもっていたので，他の錐$(a, (a \to x, a \to y))$に対して，射$a \to x \times y$が存在するわけですが，これは$a \leqslant x$かつ$a \leqslant y$ならば$a \leqslant x \times y$と同値です．つまり，$x \times y$は，$x$, $y$以下である$P$の元の中で最大なものとなり，これは$\inf{\{x, y\}}$のことですね．これは順序集合$(P, \leqslant)$における$x$, $y$の交わり (meet) ともよばれます．

$$ \xymatrix @C=15pt{ & {^{\forall} a} \ar@/_10pt/[ldd] \ar@/^10pt/[rdd] \ar@[red][d]|{\color{red}\exists} & \\ & x \, \times \, y \ar[ld] \ar[rd] & \\ x & & y }$$

　具体例として，$S$を集合とし，その冪集合$\mathcal{P}(S)$に包含関係で順序を入れた$(\mathcal{P}(S), \subseteq)$を考えてみましょう．このとき，この順序集合がなす圏における対象$X$, $Y$の交わりは，集合$X \cap Y$になります．この記号をまねて，先の交わり$\inf{\{x, y\}}$はよく$x \wedge y$と表されます．
　ちなみに，解析学の本などで，2つの関数$f, g \colon \R \rightrightarrows \R$に対して，関数$f \wedge g \colon \R \to \R$を$(f \wedge g)(x) \coloneqq \min{\{f(x), g(x)\}}$（$x \in \R$）により定めるということを見たことがあるかもしれませんが，この記法は上で述べたことに由来しています．
　もう1つの順序集合の例として，$\N$の元$x$, $y$について「$x$が$y$を割りきる」ということを$x \mid y$で表して，この整除関係$\mid$を$\N$に入れた順序集合$(\N, {\mid})$について考えてみます．この順序集合における$x$, $y$の交わり$x \wedge y$は，$x$, $y$を割りきるものの中で最大のものなので，最大公約数$\gcd{(x, y)}$になります．

　$\Set$の終対象$1$は1元集合$\{\ast\}$のことです．実際，任意の集合$A$に対して，写像$A \to \{\ast\}$は$a \mapsto \ast$という対応をとるもののみが存在します．この意味でも，終対象を$1$と表すことは気持ちが良いですね．（実際は，終対象の概念自体は積を持ち出さなくても定義できるので「1元集合が$\Set$の終対象になるから$1$と表す」という説明のほうが妥当です．）
　$\Top$, $\Vect_K$などにおいても同様です．

　$(P, \leqslant)$を順序集合とし，これを圏と見なして，その終対象$1$について考えてみます．定義から，任意の対象$x$に対して射$x \to 1$が（ただ1つ）存在するわけですが，これはつまり，任意の$x \in P$について$x \leqslant 1$が成り立つということなので，$1$は順序集合$(P, \leqslant)$の最大元$\max{P}$になります．最大元は英語だとtopと表されることもあるので，その頭文字tをまねて，$\max{P}$は$\top$と表されることもあります．
　具体例として，$S$を集合とし，その冪集合$\mathcal{P}(S)$に包含関係で順序を入れた$(\mathcal{P}(S), \subseteq)$では，$\top = S$です．
　また，$\N$に整除関係で順序を入れた$(\N, {\mid})$での$\top$は，すべての自然数に割りきられる自然数のことなので，0となります．終対象を$1$と表す記法を使うと「$1 = 0$」となりますね．