D面サイコロをN回振ったときの出目の和が丁度sになる確率

さいころの目の和が$k$の倍数になる確率は既に過去の記事で求めたが, 和が丁度$s$になるような確率（要は確率分布）を求めていなかった.
ので求めておこう.

母関数による導出

$$f(x)=\left\{\frac{1}{D}\sum_{j=1}^{D}x^j\right\}^n$$
と定義すれば, $f(x)$の$x^s$の係数$c_s$は, 出た目の合計がsの倍数である確率と一致する.
$$ \begin{align} f(x) &= \left\{\frac{1}{D}\sum_{j=1}^{D}x^j\right\}^n \\ &= D^{-n}x^n(1-x^D)^n(1-x)^{-n} \\ &= D^{-n}x^n\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{i}x^{Di}\sum_{j=0}^{\infty}\binom{-n}{j}(-1)^{j}x^{j} \\ &= D^{-n}x^n\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{i}x^{Di}\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^{j}(-1)^{j}\binom{j-n-1}{j}x^{j} \\ &= D^{-n}x^n\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{i}x^{Di}\sum_{j=0}^{\infty}\binom{n+j-1}{j}x^{j} \\ &= D^{-n}x^n\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{i}x^{Di}\sum_{j=0}^{\infty}\binom{n+j-1}{n-1}x^{j}. \end{align} $$

なお, 途中で二項級数を用いた（参考文献のWikipedia参照）.

よって, $f(x)$の$x^s$の係数$c_s$, すなわち求めたい確率は
$$ \begin{align} c_s = \begin{cases} \displaystyle D^{-n}\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{s-n}{D}\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{s-Dk-1}{n-1} & \text{if}\quad{s\leq Dn},\\ 0 & \text{if}\quad{s> Dn}.\\ \end{cases} \end{align} $$

試しに$D=6,n=2$とすれば,
$$ \begin{align} \frac{1}{36}\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{s-2}{6}\rfloor}(-1)^k\binom{2}{k}(s-6k-1) =\begin{cases} (s-1)/36 &\text{if}\quad2\leq s\leq7, \\ (13-s)/36 &\text{if}\quad8\leq s\leq12, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} \end{align} $$

となる.