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$$
前の記事
の記法を用いる. $V$を内積を備えたベクトル空間とすると, $v,w\in V$に対し, 正則行列$A\in\mathrm{GL}(V)$は
\begin{align}
\langle v,Aw\rangle=\langle A^{\top}v,w\rangle
\end{align}
を満たす. よって, $n$ベクトル$v=v_1\wedge\cdots\wedge v_n,w=w_1\wedge\cdots\wedge w_n$に対して
\begin{align}
Av&=Av_1\wedge\cdots\wedge Av_n\\
Aw&=Aw_1\wedge\cdots\wedge Aw_n
\end{align}
のように表すとすると, $n$ベクトルに対しても
\begin{align}
\langle v,Aw\rangle=\langle A^{\top}v,w\rangle
\end{align}
が成り立つことが分かる. これと
前の記事
の命題2を合わせると
\begin{align}
v\wedge \star(Aw)=A^{\top}v\wedge \star w
\end{align}
であることが分かる. ここで, 左辺は
\begin{align}
A^T(v\wedge (A^{\top})^{-1}(\star w))&=\det(A)(v\wedge (A^{\top})^{-1}(\star w))\\
&=v\wedge \det(A)((A^{\top})^{-1}(\star w))
\end{align}
となるから, 以下が得られる.
$V$を内積を備えたベクトル空間とする. 正則行列$A\in\mathrm{GL}(V)$と$n$ベクトル$w$に対し,
\begin{align}
\star(Aw)=\det(A)((A^{\top})^{-1}(\star w))
\end{align}
が成り立つ.
Jacobiの補小行列公式
$m\times n$行列$A$と$S\subset[m]$に対し, $A$の$S$に含まれる添字の行を以外を除いた行列を$A^S$と表す. また, $A_S^T=(A_S)^T$のように表すとする.
Jacobiの補小行列公式
$r$次の正則行列$A$と$S,T\subset[r],|S|=|T|=n$に対し,
\begin{align}
\varepsilon(S,S^c)\varepsilon(T,T^c)\det(A^{T}_{S})=\det(A)\det((A^{-1})^{S^c}_{T^c})
\end{align}
が成り立つ.
これは余因子行列と逆行列の関係の一般化を与えている.
$e_1,\dots,e_r$を$V$の標準基底として, 命題1において$w=e_T$とすると, 左辺は
\begin{align}
\star(Aw)&=\star\left(\sum_{\substack{S\subset [r]\\|S|=n}}\det(A_S^T)e_S\right)\\
&=\sum_{\substack{S\subset [r]\\|S|=n}}\det(A_S^T)\varepsilon(S,S^c)e_{S^c}
\end{align}
となる. 一方右辺は
\begin{align}
&\det(A)((A^{\top})^{-1}(\star w))\\
&=\varepsilon(T,T^c)\det(A)((A^{\top})^{-1}e_{T^c})\\
&=\varepsilon(T,T^c)\det(A)\sum_{S\subset[m]}\det(((A^{\top})^{-1})^{T^c}_S)e_S\\
&=\varepsilon(T,T^c)\det(A)\sum_{S\subset[m]}\det((A^{-1})^S_{T^c})e_S\\
\end{align}
となる. よって, 両辺の$e_{S^c}$の係数を比較して示すべき等式を得る.
これを用いると以下のような公式を示すことができる.
$r$次正則行列$A,B$が
\begin{align}
AB^{\top}=C
\end{align}
であり, ある$S,T\subset [r],|S|+|T|=r$に対し, $C_S^T=0$となるものとする. このとき, $R\subset [r],|R|=|T|$に対し,
\begin{align}
\det(A_R^T)&=\frac{\varepsilon(S,S^c)\varepsilon(R^c,R)\det(C^T_{S^c})\det(B_{R^c}^S)}{\det(B)}
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
A_R^T&=(C(B^\top)^{-1})_{R}^T\\
&=C^T((B^{\top})^{-1})_R
\end{align}
あり, $C^T$の$S$に含まれる添字の列は$0$であるから, Cauchy-Binetの公式と定理2を用いて,
\begin{align}
\det(A_R^T)&=\det(C^T_{S^c})\det(((B^\top)^{-1})_R^{S^c})\\
&=\det(C^T_{S^c})\det(B)^{-1}\varepsilon(R^c,R)\varepsilon(S,S^c)\det((B^\top)_{S}^{R^c})\\
&=\frac{\varepsilon(S,S^c)\varepsilon(R^c,R)\det(C^T_{S^c})\det(B_{R^c}^S)}{\det(B)}
\end{align}
と示される.
条件から
\begin{align}
0=C_S^T=(AB^{\top})_S^T=A^T(B^S)^{\top}
\end{align}
であるから, $A^T$の行ベクトルと$B^S$の行ベクトルは直交している. よって,
前の記事
の定理3から
\begin{align}
\det(A^T_R)=c\varepsilon(R^c,R)\det(B^S_{R^c})
\end{align}
を満たす$R$によらない$c$が存在することが分かるが, 上の公式は$C$が分かっている場合に$c$を明示的に表すことができることを意味している.
