左アルティン環の構造と表現論

$\mathbb{C}$の乗法群の部分群$G=\{\pm 1,\pm i\}$を考える．$\mathbb{C}$の元と区別するために，$\mathbb{R}[G]$の元は$a[1]+b[i]+c[-1]+d[-i]\in\mathbb{R}[G]\;(a,b,c,d\in\mathbb{R})$と書くことにする．このとき，$\mathbb{R}$代数としての同型
\begin{array}{rccc}\pi:&\mathbb{R}[G]&\longrightarrow&\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{C}\\&a[1]+b[i]+c[-1]+d[-i]&\longmapsto&(a+b+c+d,\;a-b+c-d,\;a+bi-c-di) \end{array}
がある．終域は$1$次正方行列のなす環の直積$\mathrm{M}_1(\mathbb{R})\times\mathrm{M}_1(\mathbb{R})\times\mathrm{M}_1(\mathbb{C})$とも書けるので，確かに定理10の形になっている．

この表示により，$G$は$k$上で$1$次既約表現を$2$個と，$2$次既約表現を$1$個持つことがわかる．$G$は位数$4$の可換群なので共役類の個数は$4$．既約表現の個数は$3$なので，確かに共役類の個数以下になっている．

また例えば$2$次既約表現$V=\mathbb{C}$は次のように定まっている．

$i^m\in G$と$x\in V=\mathbb{C}$に対して$i^m\cdot x=i^mx$(右辺は$\mathbb{C}$における積)．

ハミルトンの四元数体$\mathbb{H}$を考える．$\mathbb{H}$の乗法群の部分群$G=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$を考える．$\mathbb{H}$の元と区別するために，$\mathbb{R}[G]$の元は$\displaystyle\sum_{g\in G}a_g[g]$ $(a_g\in \mathbb{R})$と書くことにする．このとき，$\mathbb{R}$代数としての同型
\begin{array}{rccc} \pi:&\mathbb{R}[G]&\longrightarrow&\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{H}\\ &\displaystyle\sum_{g\in G}a_g[g]&\longmapsto&\left(\displaystyle\sum_{g\in G}a_g,\;S_i,\;S_j,\;S_k,\;\displaystyle\sum_{g\in G}a_gg\right) \end{array}
がある．ただし$h\in G$に対して$S_h:=\displaystyle\sum_{g\in \langle h\rangle}a_g-\displaystyle\sum_{g\in G\setminus\langle h\rangle}a_g$とおいた．終域は$1$次正方行列のなす環の直積$\mathrm{M}_1(\mathbb{R})\times\mathrm{M}_1(\mathbb{R})\times\mathrm{M}_1(\mathbb{R})\times\mathrm{M}_1(\mathbb{R})\times\mathrm{M}_1(\mathbb{H})$とも書けるので，確かに定理10の形になっている．

この表示により，$G$は$k$上で$1$次既約表現を$4$個と$4$次既約表現を$1$個持つことがわかる．$G$の共役類の個数は$5$，既約表現の個数も$5$で等しい．

また例えば$4$次既約表現$V=\mathbb{H}$は次のように定まっている．
$g\in G$と$x\in V=\mathbb{H}$に対して，$g\cdot x=gx$(右辺は$\mathbb{H}$における積)．

$G=S_3$($3$次対称群)の場合を考える．$S_3$の単位元を$\mathrm{id}$と書く．このとき，$\mathbb{C}$代数の同型
\begin{array}{rccl} &\mathbb{C}[S_3]&\longrightarrow&\mathbb{C}\times\mathbb{C}\times\mathrm{M}_2(\mathbb{C})\\ &\displaystyle\sum_{\sigma\in S_3}a_{\sigma}\sigma&\longmapsto&\left(\displaystyle\sum_{\sigma\in S_3}a_{\sigma},\;\displaystyle\sum_{\sigma\in \langle(123)\rangle}a_{\sigma}-\displaystyle\sum_{\sigma\in S_3\setminus\langle(123)\rangle}a_{\sigma}, \;a_{\mathrm{id}}I_2+a_{(123)}A+a_{(132)}A^2+a_{(12)}B+a_{(23)}BA+a_{(13)}BA^2\right) \end{array}
がある．ただし，$A=\pmatrix{\omega&0\\0&\omega^2},\;B=\pmatrix{0&1\\1&0}$．

$S_3$の共役類の個数と$S_3$の$\mathbb{C}$上の既約表現の個数はともに$3$で等しい．

また，$2$次既約表現$V=\mathbb{C}^2$は次のように定まっている．
$\sigma=(12)^l(123)^m\in S_3$と$v\in V$に対して，$\sigma v=B^lA^mv$．

$k=\mathbb{C}$の場合を考える．例2と同じ群$G=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\;(\subset\mathbb{H})$を考える．$G=\langle i,j\rangle$であることに注意しておく．$G$の共役類の個数を$r$とする．$G$の共役類は$\{1\},\{-1\},\{\pm i\},\{\pm j\},\{\pm k\}$で全てであり，$r=5$である．よって命題16より$G$の$\mathbb{C}$上の既約表現は$5$個存在する．

まず$1$次元既約表現は$4$個存在する．実際，$(s,t)\in\{\pm 1\}\times\{\pm 1\}$ごとに写像
\begin{array}{rccc}\rho_{(s,t)}:&G&\longrightarrow&\mathbb{C}^*=\mathrm{GL}_1(\mathbb{C})\\&i^lj^m&\longmapsto&s^lt^m\end{array}
はwell-definedな群準同型であり，これらが$G$の$\mathbb{C}$上の$1$次既約表現を定める．

また，$2$次元の既約表現$\rho_2$を次のように定める．
\begin{array}{rccc} \rho_2:&G&\longrightarrow&\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\\ &i^lj^m&\longmapsto&\pmatrix{i&0\\0&-i}^l\pmatrix{0&1\\-1&0}^m \end{array}
今，$\rho_2(1)=\pmatrix{1&0\\0&1},\;\rho_2(i)=\pmatrix{i&0\\0&-i},\;\rho_2(j)=\pmatrix{0&1\\-1&0},\;\rho_2(k)=\pmatrix{0&i\\i&0}$が$\mathrm{M}_2(\mathbb{C})$の$\mathbb{C}$上の基底であることが示せるので，命題18で$\rho_2$に対応する$\tau_2:\mathbb{C}[G]\to \mathrm{M}_2(\mathbb{C})$は全射である．よって命題18より$\rho_2$は既約表現である．

以上で$5$個の既約表現が出揃ったので，これらを用いて命題17より次の$k$代数の同型を得る．
$\mathbb{C}[G]\cong \mathbb{C}\times\mathbb{C}\times\mathbb{C}\times\mathbb{C}\times\mathrm{M}_2(\mathbb{C})$．