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左アルティン環の構造と表現論

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はじめに

この記事では群環 $k [G]$ がある種の行列環の直積として書けることについて，半単純左アルティン $k$ 代数の理論を使ってまとめる． $k [G]$ のこの分解に，群 $G$ の全ての既約表現が現れる．

この記事における議論は基本的に『代数の基礎』 1 によるが， 1 では半単純左アルティン「環」について記述しているのに対し，この記事では半単純左アルティン「 $k$ 代数」について記述する． $k [G]$ について考える時は $k$ 代数の理論が必要になるのでこのようにした．しかし証明は， 1 における対応する命題の証明で「環」を「 $k$ 代数」に書き換えるだけで通用するので，この記事では証明は省略する．

記事全体で $G$ は有限群， $k$ は(可換な)体とする．この記事における $k$ 代数 $R$ は，構造射 $k \to R$ の像が $R$ の中心に含まれるとする．また，次のよく使う2つの仮定に名前をつけておく．

仮定(P1)：
$char k = 0$ または， $char k$ は $| G |$ を割らない．

仮定(P2)：
(P1)かつ， $k$ は代数閉体．

半単純左アルティン $k$ 代数の理論

半単純左アルティン $k$ 代数の構造

まずは，半単純左アルティン $k$ 代数の構造理論を用意する．

劣直積

$k$ 代数 $R$ に対して， $k$ 代数の族 $(R_{λ})_{λ \in Λ}$ と $k$ 代数の単射準同型 $ν : R \to \prod_{λ \in Λ} R_{λ}$ が存在して，任意の $λ$ について射影 $p_{λ} : \prod_{λ \in Λ} R_{λ} \to R_{λ}$ との合成 $p_{λ} \circ ν$ が全射であるとき， $R$ は族 $(R_{λ})_{λ \in Λ}$ の劣直積であるという．

加群の劣直積についても同様に定義する．

半単純

k

代数

$k$ 代数 $R$ に対して，単純 $k$ 代数の族 $(R_{λ})_{λ \in Λ}$ が存在して， $R$ が族 $(R_{λ})_{λ \in Λ}$ の劣直積であるとき， $R$ を半単純 $k$ 代数という．

(1 の命題3.5.6の

k

代数バージョン)

左アルティン単純 $k$ 代数 $R$ は，可除 $k$ 代数 $Δ$ 上の有限階数の加群 $M$ の自己準同型のなす $k$ 代数 ${End}_{Δ} (M)$ に $k$ 代数として同型である．このとき $R$ が $k$ 上有限次元なら， $Δ$ も $k$ 上有限次元．

( 1 の命題3.5.20の

k

代数バージョン)

半単純 $k$ 代数 $R$ が両側イデアルについての降鎖律を満たせば $R$ は有限個の単純 $k$ 代数の直積に同型である．

1 の命題3.5.20証明で $R_{i}$ をどのようにして環( $k$ 代数)とみなすのかということについてだけ書いておく．

$R^{e} := R \underset{k}{\otimes} R^{o p}$ は $k$ 代数． $R$ を $(a \otimes b) \cdot r := a r b$ により左 $R^{e}$ 加群とみなす．

1 の命題3.5.20の議論と同様にして，有限個の既約 $R^{e}$ 加群 $R_{1}, . . ., R_{s}$ と $R^{e}$ 加群としての同型

$ϕ : R \to \prod_{i = 1}^{s} R_{i}$

が存在する．各射影と $ϕ$ との合成 $ϕ_{i} : R \to R_{i}$ は全射 $R^{e}$ 加群準同型．この $ϕ_{i}$ を用いて $R_{i}$ における積を定義し， $R_{i}$ を環にしたい．

$x, y \in R_{i}$ に対して， $ϕ_{i}$ の全射より $a, b \in R$ が存在して $ϕ_{i} (a) = x, ϕ_{i} (b) = y$ ．この $a, b$ を用いて $R_{i}$ における積を $x y := ϕ_{i} (a b)$ と定義する．

この定義がwell-definedであることを示す．
もし $x = ϕ_{i} (a) = ϕ_{i} (a^{'}), y = ϕ_{i} (b) = ϕ_{i} (b^{'})$ であれば， $ϕ_{i} (a b) = ϕ_{i} (a^{'} b^{'})$ となることをいう．

今，

$ϕ_{i} (a b) = ϕ_{i} ((a \otimes 1) b) = (a \otimes 1) ϕ_{i} (b)$ ，
$ϕ_{i} (a b) = ϕ_{i} ((1 \otimes b) a) = (1 \otimes b) ϕ_{i} (a)$

であるから，

$\begin{aligned} ϕ_{i} (a b) & = (a \otimes 1) ϕ_{i} (b) \\ = (a \otimes 1) ϕ_{i} (b^{'}) \\ = ϕ_{i} (a b^{'}) \\ = (1 \otimes b^{'}) ϕ_{i} (a) \\ = (1 \otimes b^{'}) ϕ_{i} (a^{'}) \\ = ϕ_{i} (a^{'} b^{'}) . \end{aligned}$

よって上記の $R_{i}$ における積はwell-definedで，この積により $R_{i}$ は環になり， $k$ 代数になる．このとき， $R_{i}$ が $R^{e}$ 加群として既約であることから， $R_{i}$ は単純 $k$ 代数となることを示すことができる．また， $ϕ$ は $k$ 代数の同型となる．

命題1と命題2により，次の定理を得る．

(1の定理3.5.21の

k

代数バージョン)

$k$ 代数 $R$ について，次は同値である．
(1) $R$ は左アルティン $k$ 代数であり， $0$ でないべき零イデアルを持たない．
(2) $R$ は半単純左アルティン $k$ 代数である．
(3) $R$ は左 $R$ 加群として完全可約である．
(4) $R$ は有限個の ${End}_{Δ_{i}} (M_{i})$ $(M_{i}$ は可除 $k$ 代数 $Δ_{i}$ 上の有限階数の加群)という形の $k$ 代数の直積に同型である．

半単純左アルティン $k$ 代数上の加群の構造

定理3の条件を満たす $k$ 代数 $R$ 上の既約加群について見ておく．

可除 $k$ 代数 $Δ$ 上の有限階数加群はある自然数 $n$ を用いて $Δ^{n}$ と書くことができ， $k$ 代数の同型

${End}_{Δ} (Δ^{n}) ≅ M_{n} (Δ)$

が成立する．ただし右辺は $Δ$ 成分の $n$ 次正方行列全体のなす $k$ 代数．よって定理3の条件下で $R = M_{n_{1}} (Δ_{1}) \times \dots \times M_{n_{s}} (Δ_{s})$ と書ける．( $Δ_{i}$ は可除 $k$ 代数， $n_{i}$ は正の整数．)

さて，行列の素朴な操作と 1 の補題3.5.23より，次の命題を得る．

可除環 $Δ$ と自然数 $n$ について，環 $R = M_{n} (Δ)$ を考える．

このとき， $Δ^{n}$ は既約左 $R$ 加群であり，既約左 $R$ 加群はこれに同型なものしかない．

直積環上の加群の一般論( 2 を参照)と命題4により，次の命題を得る．

$R = M_{n_{1}} (Δ_{1}) \times \dots \times M_{n_{s}} (Δ_{s})$ ( $Δ_{i}$ は可除環， $n_{i}$ は正の整数)に対して，既約左 $R$ 加群は同型を除いて $Δ_{1}^{n_{1}}, \dots, Δ_{s}^{n_{s}}$ で全てである．

ただし命題5における $R$ の $Δ_{i}^{n_{i}}$ への作用は次のように定まっている．

$A = (A_{1}, \dots, A_{s}) \in R = M_{n_{1}} (Δ_{1}) \times \dots \times M_{n_{s}} (Δ_{s})$ と列ベクトル $x \in Δ_{i}^{n_{i}}$ に対して，

$A \cdot x := A_{i} x$ ．

(右辺は行列と列ベクトルの積．)

表現論

表現は $k [G]$ 加群

表現は $k [G]$ 上の加群とみなせることについて見る．
可換群 $V$ (と $G$ と $k$ )を固定する．集合 $X, Y$ を次のように定める．

$\begin{aligned} X = X_{V} := {k 上線形空間 V と群準同型 ρ : G \to {GL}_{k} (V) の組 (V, ρ)}, \\ Y = Y_{V} := {k [G] 加群 V} . \end{aligned}$

$X, Y$ は次のように言い換えることができる．
$\begin{aligned} X & = {環準同型 τ : k \to End (V) と群準同型 ρ : G \to Aut (V) の組 (τ, ρ) であって， \\ 任意の a \in k と g \in G に対して τ (a) \circ ρ (g) = ρ (g) \circ τ (a) が成り立つもの}, \\ Y & = {環準同型 τ : k [G] \to End (V)} . \end{aligned}$
この言い換えのもとで， $X$ と $Y$ の間には全単射が存在する．

$ϕ : X \to Y$ を次のように定める．
$(τ, ρ) \in X$ と $\sum_{g \in G} a_{g} g \in k [G]$ に対して， $ϕ ((τ, ρ)) (\sum_{g \in G} a_{g} g) := \sum_{g \in G} τ (a_{g}) \circ ρ (g)$ ．

このとき， $ϕ$ は全単射．

$ϕ$ の逆写像を構成する． $ψ : Y \to X$ を次のように定める．
$\tilde{τ} \in Y$ をとる．

$τ : k \to End (V)$ を $a \in k$ に対して $τ (a) := \tilde{τ} (a 1)$ と定める．(ただし $G$ の単位元を $1$ と書いた．)

$ρ : G \to Aut (V)$ を $g \in G$ に対して $ρ (g) := \tilde{τ} (1 g)$ と定める．

この $τ, ρ$ を用いて， $ψ (\tilde{τ}) = (τ, ρ)$ と定める．

このとき， $ϕ$ と $ψ$ とは互いに逆であることが示せる．

よって $G$ の $k$ 上の表現と左 $k [G]$ 加群との間に1対1の対応が存在することが言えた．

部分表現，既約表現を $k [G]$ 上の加群の言葉で書き直しておく．

$ρ : G \to {GL}_{k} (V)$ は $G$ の $k$ 上の有限次表現とすると，命題6により $V$ は左 $k [G]$ 加群とみなせる．

このとき，部分集合 $W \subset V$ について，次は同値である．
(1) $W$ は $V$ の部分表現．
(2) $W$ は $V$ の部分 $k [G]$ 加群．

命題7により，次の命題が得られる．

命題7の状況下で，次は同値である．
(1) $V$ は既約表現．
(2) $V$ は既約 $k [G]$ 加群．

よって $G$ の $k$ 上の既約表現と既約左 $k [G]$ 加群との間には1対1の対応があることが言えた．

$k [G]$ の構造と既約表現

半単純左アルティン $k$ 代数の理論を用いて $k [G]$ の構造を決定する．次のマシュケの定理が中心的な役割を果たす．

マシュケの定理(1 の定理4.1.12)

仮定(P1)のもとで， $G$ の任意の $k$ 上の有限次元表現は，既約表現の直和に同型である．

特に $k [G]$ は自然に $G$ の $k$ 上の表現であるから， $k [G]$ は既約表現の直和である．このことは，命題8により $k [G]$ は左 $k [G]$ 加群として完全可約であるということを意味する．よって定理3により， $k [G]$ の構造についての次の定理を得る．

仮定(P1)のもとで，可除 $k$ 代数 $Δ_{1}, \dots, Δ_{s}$ と正の整数 $n_{1}, \dots, n_{s}$ が存在して $k$ 代数として， $k [G] ≅ M_{n_{1}} (Δ_{1}) \times \dots \times M_{n_{s}} (Δ_{s})$ ．

命題5，命題8，定理10により，次の命題を得る．

仮定(P1)のもとで，定理10のように $k [G]$ が $s$ 個の行列環の直積として書かれるとき， $G$ の $k$ 上の既約表現は同値を除いて $s$ 個( $Δ_{1}^{n_{1}}, \dots, Δ_{s}^{n_{s}}$ )存在する．

念のため，命題11の既約表現たちがどんな表現なのか見ておこう．

$1 \leq i \leq s$ を1つ固定する．
$V := Δ_{i}^{n_{i}}$ がどんな $G$ の表現になっているか記述する．それは，
(1)どんな環準同型 $τ : k \to End (V)$ により $V$ は $k$ 上線形空間になっているか，
(2)どんな群準同型 $ρ : G \to Aut (V)$ により $G$ は $V$ に作用しているか，
という2点を記述するということである．

まず，定理10の $k$ 代数の同型を $π : k [G] \to M_{n_{1}} (Δ_{1}) \times \dots \times M_{n_{s}} (Δ_{s})$ とおく． $z \in k [G]$ に対して， $π (z) = (π_{1} (z), . . ., π_{s} (z)) (π_{i} (z) \in M_{n_{j}} (Δ_{j}))$ と書くことにする． $π$ は $k$ 代数の準同型であるから， $a \in k$ に対して $π (a 1) = (a I_{n_{1}}, . . ., a I_{n_{s}})$ を満たす．ただし $M_{n_{j}} (Δ_{j})$ における単位行列を $I_{n_{i}}$ と書いた．よって特に $π_{i} (a 1) = a I_{n_{i}}$ である．

ここで命題5のあとに書いた作用を思い出すと， $k [G]$ の左 $k [G]$ 加群 $V$ への作用を表す環準同型 $\tilde{τ} : k [G] \to End (V)$ は， $z \in k [G]$ と $v \in V$ に対して $\tilde{τ} (z) (v) = π_{i} (z) v$ (右辺は行列と列ベクトルの積)により定まっている．

命題6証明中の $ψ$ により $\tilde{τ} \in Y$ に対応する $(τ, ρ) \in X$ を求めれば上記の(1)，(2)が得られる．

(1) $ψ$ の定義より $τ : k \to End (V)$ は $a \in k$ と $v = (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{s} \end{matrix}) \in V = Δ_{i}^{n_{i}}$ に対して $τ (a) (v) = \tilde{τ} (a 1) (v) = π_{i} (a 1) (v) = a I_{n_{i}} v = a v = (\begin{matrix} a v_{1} \\ ⋮ \\ a v_{s} \end{matrix})$ により定まっている．この $τ$ により $V$ は $k$ 上線形空間．

(2) $ψ$ の定義より $ρ : G \to Aut (V)$ は次のように定まる． $g \in G$ ごとに行列 $B (g) := π_{i} (1 g) \in M_{n_{i}} (Δ_{i})$ が定まり， $v = (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{s} \end{matrix}) \in V = Δ_{i}^{n_{i}}$ に対して $ρ (g) (v) = \tilde{τ} (1 g) (v) = π_{i} (1 g) v = B (g) v$ (右辺は行列と列ベクトルの積)．この $τ$ により $G$ は $V$ に作用している．すなわち $g \in G$ と $v \in V$ に対して $g v = B (g) v$ ．

以上で $G$ の表現 $V$ が記述された．

定理10の同型の両辺について中心の次元を比較することで， $G$ の既約表現の個数は $G$ の共役類の個数以下になることを示そう．まず次の命題が成立する．

( 1 の命題4.1.23)

$G$ の共役類の個数を $r$ とする．
このとき， $k [G]$ の中心 $Z (k [G])$ の $k$ 上の次元は $r$ である．

命題12により次の命題を得る．

仮定(P1)のもとで， $G$ の共役類の個数を $r$ ， $G$ の $k$ 上の既約表現の個数を $s$ とする．このとき， $s \leq r$ ．

定理10の $k$ 代数の同型
$k [G] ≅ M_{n_{1}} (Δ_{1}) \times \dots \times M_{n_{s}} (Δ_{s})$
において，両辺の中心を考えることで， $k$ 代数の同型
$Z (k [G]) ≅ Z (M_{n_{1}} (Δ_{1})) \times \dots \times Z (M_{n_{s}} (Δ_{s})) ≅ Z (Δ_{1}) \times \dots \times Z (Δ_{s})$ を得る．特にこの同型は $k$ 上線形空間の同型でもある．命題12により，両辺の $k$ 上の次元を考えることで，

$\begin{aligned} r & = \sum_{i = 1}^{s} \dim_{k} (Δ_{i}) \\ \geq \sum_{i = 1}^{s} 1 \\ = s . \end{aligned}$

$k = R$ の場合について具体例を見てみよう．

$C$ の乗法群の部分群 $G = {\pm 1, \pm i}$ を考える． $C$ の元と区別するために， $R [G]$ の元は $a [1] + b [i] + c [- 1] + d [- i] \in R [G] (a, b, c, d \in R)$ と書くことにする．このとき， $R$ 代数としての同型
$\begin{array}{rccc} π : & R [G] & ⟶ & R \times R \times C \\ a [1] + b [i] + c [- 1] + d [- i] & ⟼ & (a + b + c + d, a - b + c - d, a + b i - c - d i) \end{array}$
がある．終域は $1$ 次正方行列のなす環の直積 $M_{1} (R) \times M_{1} (R) \times M_{1} (C)$ とも書けるので，確かに定理10の形になっている．

この表示により， $G$ は $k$ 上で $1$ 次既約表現を $2$ 個と， $2$ 次既約表現を $1$ 個持つことがわかる． $G$ は位数 $4$ の可換群なので共役類の個数は $4$ ．既約表現の個数は $3$ なので，確かに共役類の個数以下になっている．

また例えば $2$ 次既約表現 $V = C$ は次のように定まっている．

$i^{m} \in G$ と $x \in V = C$ に対して $i^{m} \cdot x = i^{m} x$ (右辺は $C$ における積)．

ハミルトンの四元数体 $H$ を考える． $H$ の乗法群の部分群 $G = {\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k}$ を考える． $H$ の元と区別するために， $R [G]$ の元は $\sum_{g \in G} a_{g} [g]$ $(a_{g} \in R)$ と書くことにする．このとき， $R$ 代数としての同型
$\begin{array}{rccc} π : & R [G] & ⟶ & R \times R \times R \times R \times H \\ \sum_{g \in G} a_{g} [g] & ⟼ & (\sum_{g \in G} a_{g}, S_{i}, S_{j}, S_{k}, \sum_{g \in G} a_{g} g) \end{array}$
がある．ただし $h \in G$ に対して $S_{h} := \sum_{g \in ⟨ h ⟩} a_{g} - \sum_{g \in G ∖ ⟨ h ⟩} a_{g}$ とおいた．終域は $1$ 次正方行列のなす環の直積 $M_{1} (R) \times M_{1} (R) \times M_{1} (R) \times M_{1} (R) \times M_{1} (H)$ とも書けるので，確かに定理10の形になっている．

この表示により， $G$ は $k$ 上で $1$ 次既約表現を $4$ 個と $4$ 次既約表現を $1$ 個持つことがわかる． $G$ の共役類の個数は $5$ ，既約表現の個数も $5$ で等しい．

また例えば $4$ 次既約表現 $V = H$ は次のように定まっている．
$g \in G$ と $x \in V = H$ に対して， $g \cdot x = g x$ (右辺は $H$ における積)．

なおこの表現 $H$ が既約表現であることは， $H$ が可除環であることを用いて次のように素朴に示すこともできる．(例1の $C$ の既約も同様に示せる．)

$0 \neq W \subset V$ は部分表現とする． $0 \neq z \in V$ を $1$ つとる．
任意に $x \in V$ をとる． $x z^{- 1} = a + b i + c j + d k (a, b, c, d \in R)$ とおく．
環 $H$ の演算で
$\begin{aligned} x & = x z^{- 1} z \\ = (a + b i + c j + d k) z \\ = a z + i (b z) + j (c z) + k (d z) . \end{aligned}$
ここで， $W$ は $H$ の $R$ 上部分線形空間であることから， $a z, b z, c z, d z \in W$ ．また， $W$ は $G$ の元の作用で閉じていることから， $i (b z), j (c z), k (d z) \in W$ がわかる．よって $x \in W$ であり， $V \subset W$ が言えた．よって $W = V$ であり， $V$ は既約表現．

代数閉体の場合

$k$ が代数閉体の場合を見る．
次の命題が成立する．

$k$ は代数閉体とする．
このとき， $k$ 上有限次元の可除 $k$ 代数は同型を除いて $k$ のみである．

$Δ$ は可除 $k$ 代数で $k$ 上有限次元とする． $k \subset Δ$ とみなす．
$a \in Δ$ を任意にとる． $k [a] \subset Δ$ は(可換な)整域であり， $k$ 上有限次元．よって $a$ は $k$ 上代数的であり， $k$ は代数閉体であることから， $a \in k$ を得る．よって $Δ = k$ ．

定理10(と命題11)と命題14から， $k$ が代数閉体のとき， $k [G]$ は，次のように表せる．

仮定(P2)のもとで，正の整数 $n_{1}, \dots, n_{s}$ が存在して $k$ 代数として， $k [G] ≅ M_{n_{1}} (k) \times \dots \times M_{n_{s}} (k)$ が成立する．
またこのとき， $G$ の $k$ 上の既約表現は同値を除いて $s$ 個( $V_{1} = k^{n_{1}}, \dots, V_{s} = k^{n_{s}}$ )存在する． $k [G]$ は既約表現の直和として $k [G] ≅ V_{1}^{\oplus n_{1}} \oplus \dots \oplus V_{s}^{\oplus n_{s}}$ と書かれる．

定理15の同型において両辺の $k$ 上の次元を比較することで， $| G | = n_{1}^{2} + \dots + n_{s}^{2}$ が成り立つこともわかる．

命題13の証明を見返すことで， $k$ が代数閉体のときは， $G$ の共役類の個数と既約表現の個数が等しくなることがわかる．

仮定(P2)のもとで， $G$ の共役類の個数を $r$ ， $G$ の $k$ 上の既約表現の個数を $s$ とする．このとき， $s = r$ ．

よって，定理15で $k [G]$ は， $G$ の共役類の個数の行列環の直積になっている．
( $k [G] ≅ M_{n_{1}} (k) \times \dots \times M_{n_{r}} (k)$ ． $r$ は $G$ の共役類の個数．)

$k = C$ の場合について具体例を見てみよう．

$G = S_{3}$ ( $3$ 次対称群)の場合を考える． $S_{3}$ の単位元を $id$ と書く．このとき， $C$ 代数の同型
$\begin{array}{rccl} C [S_{3}] & ⟶ & C \times C \times M_{2} (C) \\ \sum_{σ \in S_{3}} a_{σ} σ & ⟼ & (\sum_{σ \in S_{3}} a_{σ}, \sum_{σ \in ⟨ (123) ⟩} a_{σ} - \sum_{σ \in S_{3} ∖ ⟨ (123) ⟩} a_{σ}, a_{id} I_{2} + a_{(123)} A + a_{(132)} A^{2} + a_{(12)} B + a_{(23)} B A + a_{(13)} B A^{2}) \end{array}$
がある．ただし， $A = (\begin{matrix} ω & 0 \\ 0 & ω^{2} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ ．

$S_{3}$ の共役類の個数と $S_{3}$ の $C$ 上の既約表現の個数はともに $3$ で等しい．

また， $2$ 次既約表現 $V = C^{2}$ は次のように定まっている．
$σ = (12)^{l} (123)^{m} \in S_{3}$ と $v \in V$ に対して， $σ v = B^{l} A^{m} v$ ．

定理15は，左アルティン環の構造理論を用いて $k [G]$ の行列環への分解を得ることにより， $G$ の $k$ 上の既約表現が得られるというものであるが，逆に何らかの方法で $G$ の既約表現を全て見つけられれば，そこから定理15のような $k [G]$ の分解が得られる．

$G$ の共役類の個数を $r$ とする．
仮定(P2)のもとで， $G$ の $k$ 上の既約表現は同値を除いて $ρ_{1}^{'}, \dots, ρ_{r}^{'}$ で全てであるとする．ただし $V_{i}^{'}$ は $k$ 上線形空間で $ρ_{i}^{'} : G \to {GL}_{k} (V_{i}^{'})$ は群準同型とする．

このとき，次は $k$ 代数の同型になる．
$\begin{array}{rccc} τ : & k [G] & ⟶ & {End}_{k} (V_{1}^{'}) \times \dots \times {End}_{k} (V_{r}^{'}) \\ \sum_{g \in G} a_{g} g & ⟼ & (\sum_{g \in G} a_{g} ρ_{1}^{'} (g), \dots, \sum_{g \in G} a_{g} ρ_{r}^{'} (g)) \end{array}$

$π : k [G] ≅ M_{n_{1}} (k) \times \dots \times M_{n_{s}} (k)$ を定理15の同型とする．必要なら順番を入れ替えることで， $k [G]$ 加群として $\forall i, k^{n_{i}} ≅ V_{i}^{'}$ となる．

この同型が $k$ 代数の同型 $M_{n_{i}} (k) ≅ {End}_{k} (V_{i}^{'})$ を誘導し，これらが $k$ 代数の同型 $f : M_{n_{1}} (k) \times \dots \times M_{n_{s}} (k) \to {End}_{k} (V_{1}^{'}) \times \dots \times {End}_{k} (V_{r}^{'})$ を誘導する． $τ = f \circ π$ となることを示すことができ，これは同型の合成なので，同型になる．

もし何らかの方法で $| G | = \sum_{i = 1}^{r} (\dim_{k} V_{i}^{'})^{2}$ が得られていれば，定理15を使わずとも，マシュケの定理から命題17を示せるので，別証明を書いておく．

(命題17の別証明)

$| G | = \sum_{i = 1}^{r} (\dim_{k} V_{i}^{'})^{2}$ より， $τ$ の始域と終域の $k$ 上の次元は等しいので，単射が言えれば同型が言える．そこで， $τ$ の単射を示す．

$z \in k [G]$ は $τ (z) = 0$ を満たすとする．このとき，任意の $i (1 \leq i \leq r)$ に対して $\sum_{g \in G} a_{g} ρ_{i}^{'} (g) = 0$ ．命題6の対応を思い出すと，これは， $V_{i}$ を左 $k [G]$ 加群と見たときの $z$ 倍写像 $V_{i} \to V_{i}$ が零写像であることを意味する．今，定理9(マシュケの定理)より， $k [G]$ は左 $k [G]$ 加群として $V_{i}$ たちの直和であるから， $z$ 倍写像 $k [G] \to k [G], x \mapsto z x$ も零写像である．よって特に $x = 1$ の場合を考えることで， $z = z 1 = 0$ を得る．よって $τ$ は単射．

命題17の具体例を見てみよう．そのためにまず既約表現の特徴づけを見ておく．

仮定(P2)のもとで， $V$ は $k$ 上線形空間で $ρ : G \to {GL}_{k} (V)$ は $G$ の表現とする． $ρ$ が誘導する $k$ 代数の準同型を $τ : k [G] \to {End}_{k} (V)$ とする．このとき次は同値．
(1) $ρ$ は既約表現．
(2) $τ$ は全射．

$k [G] ≅ M_{n_{1}} (k) \times \dots \times M_{n_{s}} (k)$ を定理15の同型とする．
(1) $\Rightarrow$ (2)を示す．
ある $i$ について $k [G]$ 加群として $V ≅ k^{n_{i}}$ なので，命題17の1つ目の証明と同様の議論で $τ$ の全射が言える．

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す．
$0 \neq W \subset V$ は部分表現とする． $W$ は $V$ の部分 $k [G]$ 加群． $w \in W$ を $1$ つとる．命題4により， $V$ は左 ${End}_{k} (V)$ 加群として既約なので， ${End}_{k} (V) w = V$ となる．よって $v \in V$ を任意にとると， $f \in {End}_{k} (V)$ が存在して $f (w) = v$ となる． $τ$ の全射より， $z \in k [G]$ が存在して $τ (z) = f$ ．よって $W$ が部分 $k [G]$ 加群であることより $v = f (w) = τ (z) (w) \in W$ ． $V \subset W$ が得られた．よって $W = V$ であり， $V$ は既約表現である．

命題17の具体例を見よう．

$k = C$ の場合を考える．例2と同じ群 $G = {\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k} (\subset H)$ を考える． $G = ⟨ i, j ⟩$ であることに注意しておく． $G$ の共役類の個数を $r$ とする． $G$ の共役類は ${1}, {- 1}, {\pm i}, {\pm j}, {\pm k}$ で全てであり， $r = 5$ である．よって命題16より $G$ の $C$ 上の既約表現は $5$ 個存在する．

まず $1$ 次元既約表現は $4$ 個存在する．実際， $(s, t) \in {\pm 1} \times {\pm 1}$ ごとに写像
$\begin{array}{rccc} ρ_{(s, t)} : & G & ⟶ & C^{*} = {GL}_{1} (C) \\ i^{l} j^{m} & ⟼ & s^{l} t^{m} \end{array}$
はwell-definedな群準同型であり，これらが $G$ の $C$ 上の $1$ 次既約表現を定める．

また， $2$ 次元の既約表現 $ρ_{2}$ を次のように定める．
$\begin{array}{rccc} ρ_{2} : & G & ⟶ & {GL}_{2} (C) \\ i^{l} j^{m} & ⟼ & {(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{matrix})}^{l} {(\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})}^{m} \end{array}$
今， $ρ_{2} (1) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), ρ_{2} (i) = (\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{matrix}), ρ_{2} (j) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}), ρ_{2} (k) = (\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix})$ が $M_{2} (C)$ の $C$ 上の基底であることが示せるので，命題18で $ρ_{2}$ に対応する $τ_{2} : C [G] \to M_{2} (C)$ は全射である．よって命題18より $ρ_{2}$ は既約表現である．

以上で $5$ 個の既約表現が出揃ったので，これらを用いて命題17より次の $k$ 代数の同型を得る．
$C [G] ≅ C \times C \times C \times C \times M_{2} (C)$ ．

参考文献

[1]

清水勇二, 代数の基礎, 共立出版, 2024

[2]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Fri Jan 31 2025

投稿日：1月31日

更新日：1月31日

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