Bhargava-Adigaによる2ψ2の和公式
Dougallの${}_2H_2$和公式
\begin{align}
{}_2H_2\left[\begin{matrix}a,b\\c,d\end{matrix};1\right]&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)\Gamma(c+d-a-b-1)}{\Gamma(c-a)\Gamma(d-a)\Gamma(c-b)\Gamma(d-b)}
\end{align}
の左辺の素朴な$q$類似である
\begin{align}
\BQ22{a,b}{c,d}{z}
\end{align}
は積の形で表せないと考えられている. しかし, 特別な場合に${}_2\psi_2$が積で表されるようなものもあり, 次はその例である.
\begin{align} \BQ22{q/a,b}{d,bq}{a}&=\frac{(d/b,ab,q,q;q)_{\infty}}{(q/b,a,d,bq;q)_{\infty}} \end{align}
Baileyの${}_2\psi_2$変換公式
\begin{align}
\BQ22{a,b}{c,d}{x}&=\frac{(ax,bx,cq/abx,dq/abx;q)_{\infty}}{(q/a,q/b,c,d;q)_{\infty}}\BQ22{abx/c,abx/d}{ax,bx}{\frac{cd}{abx}}
\end{align}
において, $a\mapsto q/a, c\mapsto bq, x\mapsto a$とすると,
\begin{align}
\BQ22{q/a,b}{bq,d}{a}&=\frac{(q,ab,q,d/b;q)_{\infty}}{(a,q/b,bq,d;q)_{\infty}}\BQ22{1,bq/d}{q,ab}{d}\\
&=\frac{(q,ab,q,d/b;q)_{\infty}}{(a,q/b,bq,d;q)_{\infty}}
\end{align}
となって定理を得る.
特に, $a\mapsto q/a, d\mapsto aq$とすると, 以下の系を得る.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{1}{(1-aq^n)(1-bq^n)}\left(\frac qa\right)^n&=\frac{(q,q,bq/a,aq/b;q)_{\infty}}{(a,b,q/a,q/b;q)_{\infty}} \end{align}
特に, $a=b$のときは以下のようになる.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{1}{(1-aq^n)^2}\left(\frac qa\right)^n&=\frac{(q;q)_{\infty}^4}{(a,q/a;q)_{\infty}^2} \end{align}
これらの等式は, 様々なテータ関数の積のLambert級数表示を得ることに応用できる. 例を挙げると
\begin{align}
\frac{(q^2;q^2)_{\infty}^8}{(q;q)_{\infty}^4}&=\sum_{n\in\ZZ}\frac{q^n}{(1-q^{2n+1})^2}\\
\frac{(q^3;q^3)_{\infty}^6}{(q;q)_{\infty}^2}&=\sum_{n\in\ZZ}\frac{q^n}{(1-q^{3n+2})^2}
\end{align}
などを導くことができる.
