Dougallの5H5和公式

Whippleの${}_7F_6$変換公式
\begin{align} &\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,-N}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a+N}1\\ &=\frac{(1+a,1+a-d-e)_N}{(1+a-d,1+a-e)_N}\F43{1+a-b-c,d,e,-N}{1+a-b,1+a-c,d+e-a-N}1 \end{align}
において, $a\mapsto a-2N, b\mapsto b-N,c\mapsto c-N,d\mapsto d-N,e\mapsto e-N, N\mapsto 2N$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a-2N)(a-2N,b-N,c-N,d-N,e-N,-2N)_n}{(a-2N)(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+a-e-N,1+a)_n}\\ &=\frac{(1+a-2N,1+a-d-e)_N}{(1+a-d-N,1+a-e-N)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(1+a-b-c,d-N,e-N,-2N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,d+e-a-N)_n} \end{align}
これは
\begin{align} &\frac{(1+N,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a+N)_{-N}}{(a-N,b,c,d,e,-N)_{-N}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a-2N)(a-N,b,c,d,e,-N)_{n-N}}{(a-2N)(1+N,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a+N)_{n-N}}\\ &=\frac{(1+a-2N,1+a-d-e)_{2N}}{(1+a-d-N,1+a-e-N)_{2N}}\frac{(1+N,1+a-b,1+a-c,d+e-a-N)_{-N}}{(1+a-b-c+N,d,e,-N)_{-N}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(1+a-b-c+N,d,e,-N)_{n-N}}{(1+N,1+a-b,1+a-c,d+e-a-N)_{n-N}} \end{align}
と書き換えられ, 整理すると,
\begin{align} &\sum_{-N\leq n}\frac{(2n+a)(a-N,b,c,d,e,-N)_{n}}{a(1+N,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a+N)_{n}}\\ &=\frac{(1+a,1-a,1+a-b-c,1+a-d-e)_N}{(1-b,1-c,1+a-d,1+a-e)_{N}}\\ &\qquad\cdot\sum_{-N\leq n}\frac{(1+a-b-c+N,d,e,-N)_{n}}{(1+N,1+a-b,1+a-c,d+e-a-N)_{n}} \end{align}
つまり,
\begin{align} &\H77{a-N,1+\frac a2,b,c,d,e,-N}{1+N,\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a+N}1\\ &=\frac{(1+a,1-a,1+a-b-c,1+a-d-e)_N}{(1-b,1-c,1+a-d,1+a-e)_{N}}\H44{1+a-b-c+N,d,e,-N}{1+N,1+a-b,1+a-c,d+e-a-N}1 \end{align}
を得る. ここで, $N\to\infty$とすると,
\begin{align} &\H55{1+\frac a2,b,c,d,e}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e}1\\ &=\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-d-e)}\H22{d,e}{1+a-b,1+a-c}1 \end{align}
ここで, Dougallの${}_2H_2$和公式 より,
\begin{align} \H22{d,e}{1+a-b,1+a-c}1&=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1-d)\Gamma(1-e)\Gamma(1+2a-b-c-d-e)}{\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-b-e)\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1+a-c-e)} \end{align}
であるからこれを代入して定理を得る.