L^p正則関数の可除特異点定理
以前 Liouvilleの定理の$L^p$版 を紹介しましたが, 今回は Riemannの可除特異点定理 の$L^p$版を紹介します.
$D \subset \mathbb{C}$を単位円盤とする. ある$p\geq1$について, 正則関数$f: D \setminus \{0\} \to \mathbb{C}$が$L^p$可積分ならば, $f$は原点$0$に正則に延長できる.
よくよく考えると「そらそうやろ」という感じがしますね. $f$の原点の周りでのLaurent展開を考えると, 原点での特異性は少なくとも$z^{-1}$のオーダーで, これは$L^p$可積分ではありませんから. この直感をもとにしてきちんと証明してみましょう.
証明
Laurent展開
証明にあたって, 正則関数のLaurent展開について復習しておきましょう.
穴あき単位円盤$D \setminus \{0\}$上の正則関数$f$は次のような冪級数展開を持つ:
\begin{align*}
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n.
\end{align*}
ここで, 展開係数$a_n$は次のようにして計算できる:
\begin{align}
a_{-n} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r}f(z)z^{n-1} \,dz, \quad n=1, 2, \ldots, \\
a_n &= \frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r} \frac{f(z)}{z^{n+1}} \,dz, \quad n=0, 1, \ldots.
\end{align}
展開係数のうち, $a_{-n}$が$0$になることを示せば証明完了です.
関数$|f|^p$の劣調和性
続いて, 関数$|f|^p$が劣調和関数であることを示します.
$\Omega \subset \mathbb{R}^n$上の関数$f$が劣調和であるとは, $f$が不等式
\begin{align}
\Delta f \geq 0
\end{align}
を満たすことをいう. ここで, $\Delta=\sum_{j=1}^n\partial_{x_i}^2$は(Euclid計量に関する)Laplacianである.
劣調和関数の有用な性質のひとつが, 次の平均値不等式です.
$f: \Omega \to \mathbb{R}$を非負な劣調和関数とすると, $B_R(x) \subset \Omega$をみたす任意の$x\in\Omega$, $R>0$に対し
\begin{align}
f(x) \leq \frac{1}{\omega_n R^n}\int_{B_R(x)}f
\end{align}
が成り立つ. ここで, $\omega_n$は$n$次元単位球体の体積.
複素平面$\mathbb{C}$上のLaplacianに対しては, 簡単な計算により次が成り立つことがわかります.
$\mathbb{C}$上のLaplacian$\Delta$に対して
\begin{align}
\Delta = 4\frac{\partial^2}{\partial{z}\partial{\bar{z}}}
\end{align}
が成り立つ.
$\Omega \subset \mathbb{C}$を領域とし, $f: \Omega \to \mathbb{C}$を正則関数とする. このとき, 任意の$p \geq 1$に対し, $|f|^p$は劣調和である.
\begin{align}
\Delta |f|^p &= \Delta (|f|^2)^{\frac{p}{2}} = 4\frac{\partial^2}{\partial{z}\partial{\bar{z}}}(|f|^2)^{\frac{p}{2}} \\
&= 2p \frac{\partial}{\partial{z}}\left((|f|^2)^{\frac{p}{2} - 1} \frac{\partial}{\partial{\bar{z}}}|f|^2\right)\\
&= p(p-2)|f|^{p - 2}\frac{\partial}{\partial{z}}|f|^2\frac{\partial}{\partial{\bar{z}}}|f|^2 + 2p |f|^{p - 2}\frac{\partial^2}{\partial{z}\partial{\bar{z}}}|f|^2
\end{align}
ここで, $f$の正則性より
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial{\bar{z}}}|f|^2 = \frac{\partial}{\partial{\bar{z}}}(f\bar{f}) = f \frac{\partial{\bar{f}}}{\partial{\bar{z}}} = f \overline{\frac{\partial{f}}{\partial{z}}}
\end{align}
同様に
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial{z}}|f|^2 &= \bar{f}\frac{\partial{f}}{\partial{z}}, \\
\frac{\partial^2}{\partial{z}\partial{\bar{z}}}|f|^2 &= \left|\frac{\partial{f}}{\partial{z}} \right|^2.
\end{align}
したがって,
\begin{align}
\Delta |f|^p &= p(p-2)|f|^{p-4}|f|^2\left|\frac{\partial{f}}{\partial{z}} \right|^2 + 2p |f|^{p-2}\left|\frac{\partial{f}}{\partial{z}} \right|^2 \\
& = p^2|f|^{p-2}\left|\frac{\partial{f}}{\partial{z}} \right|^2 \\
& \geq 0
\end{align}
となるので, $|f|^p$は劣調和.
補題5および平均値不等式より, 任意の$z \in D \setminus \{0\}$および$D_{r}(z) \subset D$をみたす任意の$r>0$に対し,
\begin{align}
|f(z)|^p \leq \frac{1}{\pi r^2}\int_{D_r(z)} |f|^p \leq \frac{\|f\|_p^{p}}{\pi r^2}
\end{align}
が成り立つ. したがって, 任意の$0<\eps<1/2$に対し, $|z|=\eps$ならば$D_{1-\eps}(z) \subset D$に注意して
\begin{align}
|a_{-n}| \leq \frac{1}{2\pi}\int_{|z|=\eps} |f(z)||z|^{n-1}|dz|\leq \pi^{-\frac{1}{p}}(1-\eps)^{-\frac{2}{p}}\|f\|_p\eps^n\leq \left(\frac{4}{\pi}\right)^{\frac{1}{p}}\|f\|_p\eps^n.
\end{align}
$\eps>0$は任意だったので, これは任意の$n = 1, 2, \ldots$に対して$a_{-n}=0$であることを意味する. よって$f$は原点に正則に延長できる.
おわりに
平均値不等式はやはり便利ですね. ちなみに本記事の手法を精密化すると, エネルギー有限な調和写像の可除特異点定理が示せます(Sacks-Uhlenbeckの定理).
複素解析って楕円型PDE論なんやなぁって.
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