[DLMF: 5.14.1](https://dlmf.nist.gov/5.14.E1)
&&&def
$\beginend{alignat}{2
    &\boldsymbol x_{a\nearrow b} &\acoloneqq x_a,\range x{a+1}b \\
    &\boldsymbol x &\acoloneqq \boldsymbol x_{1\nearrow n}
}$
&&&

&&&thm
$\displaystyle \int_{\substack{0\le \boldsymbol t \\ \land \sum \boldsymbol t \le1}}
    \prod_{k=1}^n t_k^{s_k-1}dt_k =
    \frac{\prod_{k=1}^n \Gamma(s_k)}{\Gamma(\sum \boldsymbol s +1)}$
&&&

&&&prf
$\beginend{align}{
    I(\boldsymbol s) \acoloneqq
        \int_{\substack{0\le \boldsymbol t \\ \land \sum \boldsymbol t \le1}}
            \prod_{k=1}^n t_k^{s_k-1}dt_k \\ \\
\asupplement{-24pt}{$n=1$を開始地点に帰納法を使う。} \\
\asupplement{-24pt}{$n=1$において、} \\
    I(s_1) &=
        \int_{0\le t_1\le1} t_1^{s_1-1} dt_1 =
        \frac1{s_1} =
        \frac{\Gamma(s_1)}{\Gamma(s_1+1)} \\
\asupplement{-24pt}{$n>1$において、} \\
    I(\boldsymbol s) &=
        \int_{0\le t_n\le1} t_n^{s_n-1}
            \int_{\substack{0\le \boldsymbol t_{\nearrow n-1} \\ \land \sum \boldsymbol t_{\nearrow n-1} \le1-t_n}}
                \lr({\prod_{k=1}^{n-1} t_k^{s_k-1}dt_k}) dt_n \\&\quad
        \boldsymbol u_{\nearrow n-1} \coloneqq \frac{\boldsymbol t_{\nearrow n-1}}{1-t_n} \\&=
        \int_{0\le t_n\le1} t_n^{s_n-1}(1-t_n)^{\sum \boldsymbol s_{\nearrow n-1}} dt_n
        \int_{\substack{0\le \boldsymbol u_{\nearrow n-1} \\ \land \sum \boldsymbol u_{\nearrow n-1} \le1}}
            \prod_{k=1}^{n-1} u_k^{s_k-1}du_k \\&=
        {\rm B}\!\lr({s_n,\sum \boldsymbol s_{\nearrow n-1} +1})I(\boldsymbol s_{\nearrow n-1}) \\&=
        \frac{\Gamma(s_n)\Gamma(\sum \boldsymbol s_{\nearrow n-1} +1)}{\Gamma(\sum \boldsymbol s +1)}I(\boldsymbol s_{\nearrow n-1})

}$
&&&

多変数ベータ関数 DLMF: 5.14.1

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