ある2F1の接続公式のq類似
前の記事
で${}_2F_1$の接続公式
\begin{align}
\F21{a,b}cx&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c)\Gamma(a+b-c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}(1-x)^{c-a-b}\F21{c-a,c-b}{1+c-a-b}{1-x}
\end{align}
を得た. この右辺の${}_2F_1$は$0,\infty$における接続公式により
\begin{align}
\F21{a,b}{c}{x}&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(b-a)}{\Gamma(b)\Gamma(c-a)}(1-x)^{-a}\F21{a,c-b}{1+a-b}{\frac 1{1-x}}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c)\Gamma(a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-b)}(1-x)^{-b}\F21{b,c-a}{1+b-a}{\frac 1{1-x}}\\
\end{align}
と書き換えられる. 今回はこの$q$類似である以下の等式を示す.
\begin{align} \Q21{a,b}cx&=\frac{(b,c/a,ax;q)_{\infty}}{(b/a,c,x;q)_{\infty}}\Q32{a,c/b,0}{aq/b,ax}q\\ &\qquad+\frac{(a,c/b,bx;q)_{\infty}}{(a/b,c,x;q)_{\infty}}\Q32{b,c/a,0}{bq/a,bx}q \end{align}
$q$二項定理
より,
\begin{align}
&\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q32{a,c/b,0}{aq/b,ax}q\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,c/b;q)_n}{(q,aq/b;q)_n}q^n\frac{(axq^n;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\\
&=\sum_{0\leq n,k}\frac{(a,c/b;q)_n}{(q,aq/b;q)_n}q^n\frac{(aq^n;q)_k}{(q;q)_k}x^k\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}x^k\Q21{aq^k,c/b}{aq/b}q
\end{align}
であるから, 右辺の$x^k$の係数は
\begin{align}
&\frac{(b,c/a;q)_{\infty}}{(b/a,c;q)_{\infty}}\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}\Q21{aq^k,c/b}{aq/b}q\\
&\qquad+\frac{(a,c/b;q)_{\infty}}{(a/b,c;q)_{\infty}}\frac{(b;q)_k}{(q;q)_k}\Q21{bq^k,c/a}{bq/a}q\\
&=\frac{(b,c/a;q)_{\infty}}{(b/a,c;q)_{\infty}}\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}\\
&\qquad\cdot\left(\Q21{aq^k,c/b}{aq/b}q+\frac{(aq^k,c/b,b/a;q)_{\infty}}{(bq^k,c/a,a/b;q)_{\infty}}\Q21{bq^k,c/a}{bq/a}q\right)\\
&=\frac{(b,c/a;q)_{\infty}}{(b/a,c;q)_{\infty}}\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}\frac{(b/a,cq^k;q)_{\infty}}{(bq^k,c/a;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(a,b;q)_k}{(c,q;q)_k}
\end{align}
となって示すべきことが従う. ここで, 最後から2つ目の等号は
non-terminating $q$-Vandermondeの恒等式
による.
$0,1,\infty$を入れ替える変換は$x,\frac 1x,1-x,\frac 1{1-x},\frac{x}{x-1},\frac{x-1}x$があるが, 前の記事 で$1-x$の場合の$q$類似を得て, 今回は$\frac{1}{1-x}$の場合の$q$類似を得た. $\frac{x-1}x$の場合だけ$q$類似があるかどうかを知らないので, その場合の$q$類似があるかどうかは気になるところである.
