命題論理 ③
Prop & Proof
命題 $P\Rightarrow Q$ と命題 $\neg P\lor Q$ は同値である。すなわち
$$
P\Rightarrow Q \equiv \neg P\lor Q
$$
が成り立つ。
$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
$\Rightarrow,\neg,\lor$ の定義より次の真理表を得る。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
P & Q & P\Rightarrow Q & \neg P & \neg P\lor Q \\
\hline
T & T & T & F & T \\
T & F & F & F & F \\
F & T & T & T & T \\
F & F & T & T & T \\
\hline
\end{array}
$$
表より、全ての場合に $P\Rightarrow Q$ と $\neg P\lor Q$ の真偽は一致する。
従って全ての評価において $P\Rightarrow Q$ と $\neg P\lor Q$ は同じ真偽値をとるので、両者は同値である。
$$ \Box$$
$2$つの命題 $P$ と $Q$ に対し、次のド・モルガンの法則が成り立つ。
$$
\neg(P\land Q)\equiv (\neg P)\lor(\neg Q)
$$
$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
$\land,\lor,\neg$ の定義より次の真理表を得る。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
P & Q & P\land Q & \neg(P\land Q) & \neg P & \neg Q & (\neg P)\lor(\neg Q) \\
\hline
T & T & T & F & F & F & F \\
T & F & F & T & F & T & T \\
F & T & F & T & T & F & T \\
F & F & F & T & T & T & T \\
\hline
\end{array}
$$
表より、全ての場合に $\neg(P\land Q)$ と $(\neg P)\lor(\neg Q)$ の真偽は一致する。
従って全ての評価において両者は同じ真偽値をとるので、
$$
\neg(P\land Q)\equiv (\neg P)\lor(\neg Q)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$2$つの命題 $P$ と $Q$ に対し、次のド・モルガンの法則が成り立つ。
$$
\neg(P\lor Q)\equiv (\neg P)\land(\neg Q)
$$
$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
$\lor,\land,\neg$ の定義より次の真理表を得る。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
P & Q & P\lor Q & \neg(P\lor Q) & \neg P & \neg Q & (\neg P)\land(\neg Q) \\
\hline
T & T & T & F & F & F & F \\
T & F & T & F & F & T & F \\
F & T & T & F & T & F & F \\
F & F & F & T & T & T & T \\
\hline
\end{array}
$$
表より、全ての場合に $\neg(P\lor Q)$ と $(\neg P)\land(\neg Q)$ の真偽は一致する。
従って全ての評価において両者は同じ真偽値をとるので、
$$
\neg(P\lor Q)\equiv (\neg P)\land(\neg Q)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
命題 $P,Q$ について次が成り立つ。
$$
\neg(P\Rightarrow Q)\equiv P\land \neg Q
$$
$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
$\Rightarrow,\neg,\land$ の定義より次の真理表を得る。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
P & Q & P\Rightarrow Q & \neg(P\Rightarrow Q) & \neg Q & P\land \neg Q \\
\hline
T & T & T & F & F & F \\
T & F & F & T & T & T \\
F & T & T & F & F & F \\
F & F & T & F & T & F \\
\hline
\end{array}
$$
表より、全ての場合に $\neg(P\Rightarrow Q)$ と $P\land \neg Q$ の真偽は一致する。
従って全ての評価において両者は同じ真偽値をとるので、
$$
\neg(P\Rightarrow Q)\equiv P\land \neg Q
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$P,Q,R$ を命題とするとき次が成り立つ。
$$
P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)
$$
$P,Q,R$ の真偽の組 $(P,Q,R)$ は $2^3=8$ 通りである。
$\lor,\land$ の定義より次の真理表を得る。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
P & Q & R & Q \lor R & P \land (Q \lor R) & P \land Q & P \land R & (P \land Q) \lor (P \land R) \\
\hline
T & T & T & T & T & T & T & T \\
T & T & F & T & T & T & F & T \\
T & F & T & T & T & F & T & T \\
T & F & F & F & F & F & F & F \\
F & T & T & T & F & F & F & F \\
F & T & F & T & F & F & F & F \\
F & F & T & T & F & F & F & F \\
F & F & F & F & F & F & F & F \\
\hline
\end{array}
$$
表より、全ての場合に $P \land (Q \lor R)$ と $(P \land Q)\lor(P \land R)$ の真偽は一致する。
従って全ての評価において両者は同じ真偽値をとるので、
$$
P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$P,Q,R$ を命題とするとき次が成り立つ。
$$
P \lor (Q \land R) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor R)
$$
$P,Q,R$ の真偽の組 $(P,Q,R)$ は $2^3=8$ 通りである。
$\lor,\land$ の定義より次の真理表を得る。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
P & Q & R & Q \land R & P \lor (Q \land R) & P \lor Q & P \lor R & (P \lor Q) \land (P \lor R) \\
\hline
T & T & T & T & T & T & T & T \\
T & T & F & F & T & T & T & T \\
T & F & T & F & T & T & T & T \\
T & F & F & F & T & T & T & T \\
F & T & T & T & T & T & T & T \\
F & T & F & F & F & T & F & F \\
F & F & T & F & F & F & T & F \\
F & F & F & F & F & F & F & F \\
\hline
\end{array}
$$
表より、全ての場合に $P \lor (Q \land R)$ と $(P \lor Q)\land(P \lor R)$ の真偽は一致する。
従って全ての評価において両者は同じ真偽値をとるので、
$$
P \lor (Q \land R) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor R)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
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