物理で使用する数学をなんとなしに書いていきます。

気になる物理数学

## ３成分ベクトル
&&&def 標記
$$
\TextCenter
\vec{A} = \boldsymbol{A}  = (A_x, \, A_y, \,  A_z) = (A_1, \, A_2, \,  A_3) 
$$
&&&


とし、ある成分について $A_i\,\,(i=1,2,3)$ と書きます。
&&&def 内積
$$
\TextCenter
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = \sum_{i=1}^3 A_iB_i = A_iB_i
$$
&&&
のようにして、同じ文字が繰り返される場合は和を取ることとします。したがって**同じ文字が3回以上繰り返されることはありません**。またこの時は和を取ってしまい、特別な方向を持つ意味がなくなるので、ダミー添え字と言ったりします。

&&&def レビ・チビタ記号
$$
\TextCenter
\epsilon_{ijk} = \left\{
\begin{array}{ll}
+1&\quad(\rm{even\,permutation})\\
-1&\quad(\rm{odd\,permutation})
\end{array}
\right.
$$ 
 
&&&


even permutation（偶置換）とodd permutation（奇置換）は$\epsilon_{123}=+1$を基準として添え字を偶数回交換するか、奇数回交換するかの違いです。数字を１回交換するごとに符号が反転します。例えば $\epsilon_{321}$ は $\epsilon_{123}$ の１と３を交換すると出来るので、$\epsilon_{321}=-1$ です。一方、 $\epsilon_{312}$は $\epsilon_{321}$からさらに１と２を交換すると出来るので、 $\epsilon_{312}=+1$となります。
$$
\TextCenter
\epsilon_{123} = +1\,\, \rightarrow\,\, \epsilon_{321} = -1 \,\, \rightarrow\,\, \epsilon_{312} = +1
$$
### 反対称性
また、上記の定義により、反対称性を持つので同じ数字が2つ以上ある場合はゼロです。例えば、
$$
\TextCenter
\epsilon_{112} = - \epsilon_{112} = 0
$$
最初の等号は1つ目と2つ目の添え字を入れ替えることで起こる符号の反転。　$a  = -a$ が成り立つときは $a=0$ であるため。

&&&def 外積
$$
\TextCenter
\begin{equation}
(\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B})_k = \epsilon_{ijk}A_iB_j\qquad (*)
\end{equation}
$$
&&&
レビ・チビタ記号を用いて外積を上記のように表記できます。
もし、$k=1$である場合は $x$ 方向の事を言っているので、
$$
\TextCenter
\begin{align*}
(\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B})_1 &= A_2B_3 - A_3B_2\\
 (\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B})_x &= A_yB_z - A_zB_y
 \end{align*}
$$
となります。
### 確認
実際にレビ・チビタ記号を使って外積を表現出来ているか確認しましょう。
$$
\TextCenter
 \epsilon_{ij1}A_iB_j =  A_2B_3 - A_3B_2\qquad(**)
$$
となっているかということです。実際に書き下してみましょう。並んだ添え字は和を取るルールだったことを思い出し、まずは $i$ について和を取ると、
$$
\TextCenter
\begin{align*}
\epsilon_{ij1} A_iB_j &= \epsilon_{1j1} A_1B_j + \epsilon_{2j1} A_2B_j + \epsilon_{3j1} A_3B_j\\
&=  \epsilon_{2j1} A_2B_j + \epsilon_{3j1} A_3B_j\\
\end{align*}
$$
と書けます。ここで、$\epsilon_{1j1}$は添え字の１が２つあるので、反対称性から０となることを使っています。さらに $j$について和を取ると、反対称性を考慮しながら書くと、
$$
\TextCenter
\begin{align*}
\epsilon_{2j1} A_2B_j + \epsilon_{3j1} A_3B_j
&=\epsilon_{231} A_2B_3 + \epsilon_{321} A_3B_2\\
&=A_2B_3 - A_3B_2\\
\end{align*}
$$
となり、確かに $(**)$ が成り立っています。同様にして $y$、$z$方向それぞれに証明できるので、外積について、$(*)$と書けることがわかります。

ベクトルの成分表示記法


## レビ・チビタ記号に関する公式

&&&fml 
$$
\TextCenter
\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}
$$
&&&
上記公式を考えます。
まずは$k$で和をとります。
$$
\TextCenter
\begin{align}
\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} =
\epsilon_{ij1}\epsilon_{1lm} + \epsilon_{ij2}\epsilon_{2lm}
+ \epsilon_{ij3}\epsilon_{3lm}\,.
\end{align}
$$
ここで少し考えましょう。$i,j,l,m$はそれぞれ１から３のいずれかの値をとることが出来ます。仮に第１項目を残すように考えると、$i=2,j=3$または$i=3,j=2$を選ばなければなりません。しかしこうすると第2，3項目はゼロになります。このようにどこかの項を残すように考えると、それ以外の項はゼロになります。これは$l,m$についても同様です。
上記から、どれか１つの項に注目すればよいことがわかったので、第１項目について考えます。第１項目がゼロとならないパターンは
$$
\TextCenter
\begin{align}
i=2,j=3,l=2,m=3\\
i=2,j=3,l=3,m=2\\
i=3,j=2,l=2,m=3\\
i=3,j=2,l=3,m=2
\end{align}
$$
の4パターンです。これら4つのパターン
$$
\TextCenter
\begin{array}{ll}
i=l\,,&j=m\\
i=m\,,&j=l
\end{array}
$$の２パターンであると言えます。今、
$$
\TextCenter
\epsilon_{ij1}\epsilon_{1lm} = \epsilon_{1ij}\epsilon_{1lm}
$$
であることから、$i=l,j=m$であれば、$\epsilon_{1ij}\epsilon_{1lm}=1$、$i=m,j=l$であれば、$\epsilon_{1ij}\epsilon_{1lm}=-1$です。これをうまく表現したのが公式１右辺です。

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