レビ・チビタ記号に関する公式

レビ・チビタ記号に関する公式

上記公式を考えます。
まずは$k$で和をとります。
$$ \begin{align} \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} = \epsilon_{ij1}\epsilon_{1lm} + \epsilon_{ij2}\epsilon_{2lm} + \epsilon_{ij3}\epsilon_{3lm}\,. \end{align} $$
ここで少し考えましょう。$i,j,l,m$はそれぞれ１から３のいずれかの値をとることが出来ます。仮に第１項目を残すように考えると、$i=2,j=3$または$i=3,j=2$を選ばなければなりません。しかしこうすると第2，3項目はゼロになります。このようにどこかの項を残すように考えると、それ以外の項はゼロになります。これは$l,m$についても同様です。
上記から、どれか１つの項に注目すればよいことがわかったので、第１項目について考えます。第１項目がゼロとならないパターンは
$$ \begin{align} i=2,j=3,l=2,m=3\\ i=2,j=3,l=3,m=2\\ i=3,j=2,l=2,m=3\\ i=3,j=2,l=3,m=2 \end{align} $$
の4パターンです。これら4つのパターン
$$ \begin{array}{ll} i=l\,,&j=m\\ i=m\,,&j=l \end{array} $$の２パターンであると言えます。今、
$$ \epsilon_{ij1}\epsilon_{1lm} = \epsilon_{1ij}\epsilon_{1lm} $$
であることから、$i=l,j=m$であれば、$\epsilon_{1ij}\epsilon_{1lm}=1$、$i=m,j=l$であれば、$\epsilon_{1ij}\epsilon_{1lm}=-1$です。これをうまく表現したのが公式１右辺です。