標準脆弱分解と層係数コホモロジー

開集合$U$に対して$\varepsilon_U(s)=(s_x)_{x \in U}$と定めたのであった．よって，$\varepsilon_U(s)=0$は任意の$x \in U$に対して$s_x=0$を意味するから， 第1節 の補題1より$s=0$である．

(i) 任意に$u \in H(X)$を取り，$\mathcal S:=\{ (t,U) \mid \text{$U$は開集合で$t \in G(U), \psi_U(t)=u|_{U}$} \}$と定める．$\psi$は全射だから$\mathcal S \neq \emptyset$である．$\mathcal S$に
$$ (t_1, U_1) \le (t_2,U_2) : \Leftrightarrow U_1 \subset U_2, t_1=t_2|_{U_2} $$
として順序を入れる．すると$G,H$が層であることから$\mathcal S$はこの順序に関して帰納的順序集合になることが分かる．よって，Zornの補題により$\mathcal S$の極大元$(t_0,U_0)$が存在する．$U_0=X$を示す．$U \subsetneq X$であると仮定すると$x \in X \setminus U_0$が存在する．すると，$x$の開近傍$U_x$と$t_{U_x} \in G(U_x)$が存在して$\psi_{U_x}(t_{U_x})=u|_{U_x}$を満たす．よって，$\psi_{U_0 \cap U_x}(t_0|_{U_0 \cap U_x} - t_{U_x}|_{U_0 \cap U_x})=0$で
$$ 0 \to F(U_0 \cap U_x) \xrightarrow{\varphi_{U_0 \cap U_x}} G(U_0 \cap U_x) \xrightarrow{\psi_{U_0 \cap U_x}} H(U_0 \cap U_x) $$
は完全だから，ある$s \in F(U_0 \cap U_x)$が存在して$\varphi_{U_0 \cap U_x}(s)=t_0|_{U_0 \cap U_x} - t_{U_x}|_{U_0 \cap U_x}$を満たす．$F$は脆弱層なので$s' \in F(X)$を用いて$s=s'|_{U_0 \cap U_x}$と書ける．この$s'$を使って$t_{U_x}$を少し修正して$t'_{U_x}:=t_{U_x}+\varphi_{U_x}(s'|_{U_x})$と定めると$t'|_{U_0 \cap U_x}=t_0|_{U_0 \cap U_x}$となる．$G$は層だから，ある$\hat t \in G(U_0 \cup U_x)$が存在して$\hat t|_{U_0}=t_0, \hat t|_{U_x}=t_{U_x}$となる．すると$H$が層であることから$\psi_{U_0 \cup U_x}(\hat t)=u|_{U_0 \cup U_x}$も分かる．これは極大性に反する．
(ii) $F$は脆弱層だから上の議論より$\psi_U \colon G(U) \to H(U)$は全射であり，$G$は脆弱層だから$\rho^G_{U,X} \colon G(X) \to G(U)$も全射である．よって，$\rho^H_{U,X} \circ \psi_X = \psi_U \circ \rho^G_{U,X}$も全射であるから$\rho^H_{U,X} \colon H(X) \to H(U)$は全射である．

$F$の標準脆弱分解$0 \to F \xrightarrow{\varepsilon} C^0(F) \xrightarrow{d^0} C^1(F) \xrightarrow{d^1} C^2(F) \xrightarrow{d^2} \cdots$を取る．すると，層の完全列$0 \to F \xrightarrow{\varepsilon} C^0(F) \xrightarrow{d^0} C^1(F)$に左完全函手$\Gamma(X;\ast)$を施して，アーベル群の完全列
$$ 0 \to F(X) \xrightarrow{\varepsilon_X} C^0(F)(X) \xrightarrow{d^0_X} C^1(F)(X) $$
が得られる．したがって，$H^0(X;F)=\Ker d^0_X \simeq F(X)$である．自然性は核の自然性から分かる．

$F,G,H$の標準脆弱分解を取ると，次の図式は函手性により可換である：
\begin{xy} \xymatrix{ F \ar[r]^{\varphi} \ar[d]^{\varepsilon(F)} & G \ar[r]^{\psi} \ar[d]^{\varepsilon(G)} & H \ar[d]^{\varepsilon(H)} \\ C^0(F) \ar[r]^{C^0(\varphi)} \ar[d] & C^0(G) \ar[r]^{C^0(\psi)} \ar[d] & C^0(H) \ar[d] \\ C^1(F) \ar[r]^{C^1(\varphi)} \ar[d]& C^1(G) \ar[r]^{C^1(\psi)} \ar[d] & C^1(H) \ar[d] \\ C^2(F) \ar[r]^{C^2(\varphi)} \ar[d] & C^2(G) \ar[r]^{C^2(\psi)} \ar[d] & C^2(H) \ar[d] \\ \vdots & \vdots & \vdots } \end{xy}
ここで各$k \in \bbZ$に対して$0 \to C^k(F) \xrightarrow{C^k(\varphi)} C^k(G) \xrightarrow{C^k(\psi)} C^k(H) \to 0$は層の完全列である．実際，茎を取る函手の完全性と不連続切断の層の定義により$k=0$のときは完全である．さらに可換図式
\begin{xy} \xymatrix{ & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & \\ 0 \ar[r] & F \ar[r]^{\varphi} \ar[d] & G \ar[r]^{\psi} \ar[d] & H \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] &C^0(F) \ar[r]^{C^0(\varphi)} \ar[d] & C^0(G) \ar[r]^{C^0(\psi)} \ar[d] & C^0(H) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \Coker \varepsilon(F) \ar[r] \ar[d]& \Coker \varepsilon(H) \ar[r] \ar[d] & \Coker \varepsilon(H) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ & 0 & 0 & 0 & } \end{xy}
において三つの列は完全で上二つの行も完全だから三行目の列も完全である．この列の不連続切断の層を取れば$k=1$でも完全である．以下，帰納的に一般の$k$で完全性が分かる．すると各$k$に対して$C^k(F)$は脆弱層だから命題2(i)より次の各行が完全な可換図式が得られる：
\begin{xy} \xymatrix{ 0 \ar[r] & C^0(F)(X) \ar[r]^{C^0(\varphi)_X} \ar[d] & C^0(G)(X) \ar[r]^{C^0(\psi)_X} \ar[d] & C^0(H)(X) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & C^1(F)(X) \ar[r]^{C^1(\varphi)_X} \ar[d]& C^1(G)(X) \ar[r]^{C^1(\psi)_X} \ar[d] & C^1(H)(X) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & C^2(F)(X) \ar[r]^{C^2(\varphi)_X} \ar[d] & C^2(G)(X) \ar[r]^{C^2(\psi)_X} \ar[d] & C^2(H)(X) \ar[d] \ar[r] & 0. \\ & \vdots & \vdots & \vdots & } \end{xy}
ゆえに連結準同形$\delta^n=(F \to G \to H) \colon H^n(X;H) \to H^{n+1}(X;F)$が定まり，ほしい長い完全列が得られる．後半の主張は$C^k(\ast)$が函手的に振る舞うことと連結準同形の自然性から従う．

$k \in \bbZ_{\ge 0}$に対して$Z^n:=\Ker d^k \in \Sh(X)$として定めると，層の完全列$0 \to Z^k \to L^k \to Z^{k+1} \to 0$が得られる．この短完全列のコホモロジー長完全列を考えれば，完全列
$$ H^n(X;L^k) \to H^n(X;Z^{k+1}) \to H^{n+1}(X;Z^k) \to H^{n+1}(X;L^k) $$
が得られる．$n \ge 1$ならば完全列の両端は$0$だから$H^n(X;Z^{k+1}) \simeq H^{n+1}(X;Z^k)$である．$k=0$ならば補題3から完全列
$$ L^k(X) \xrightarrow{d^k_X} Z^{k+1}(X) \to H^1(X;Z^k) \to 0 $$
が得られるので，ここから
$$ H^1(X;Z^k) \simeq Z^{k+1}(X) / \Image d^k_X \simeq \Ker(d^n_X \colon L^n(X) \to L^{n+1}(X))/ \Image(d^{n-1}_X \colon L^{n-1}(X) \to L^{n}(X)) $$
を得る．これらを合わせれば，$n \ge 0$に対して
$$ \begin{align} \Ker(d^n_X \colon L^n(X) \to L^{n+1}(X))/ \Image(d^{n-1}_X \colon L^{n-1}(X) \to L^{n}(X)) & \simeq H^{1}(X;Z^n) \\ & \simeq H^{2}(X;Z^{n-1}) \\ & \simeq \dots \simeq H^{n+1}(X;Z^0) \simeq H^{n+1}(X;F) \end{align} $$
である．$\Gamma(X;F) \simeq \Ker(d^n_X \colon L^0(X) \to L^{n+1}(X))$は補題1と同様に大域切断函手の左完全性から従う（補題1では脆弱性はどこにも使っていない）．

$0 \to \bbR_X \to \cA_X^0 \xrightarrow{d^0} \cA_X^1 \xrightarrow{d^1} \cA_X^2 \xrightarrow{d^2} \cdots$は$\bbR_X$の分解で各$\cA^k_X$は非輪状だから上の定理から従う．

層の完全列$0 \to \cO_X \to \cM_X \to \cM_X/\cO_X \to 0$に対するコホモロジー長完全列を考えれば
$$ 0 \to \cO_X(X) \to \cM_X(X) \to (\cM_X/\cO_X)(X) \to H^1(X;\cO_X) \to \cdots $$
が得られる．よって，定理を示すには$H^1(X;\cO_X)=0$を示せば十分である．このパートでは長完全列を用いることで有理型函数の問題が正則函数の問題に帰着されたのである．

さて，$X$の標準的な座標$z$を$z=x + \sqrt{-1}y$と書くと，正則函数は$C^\infty$級函数であってディーバー方程式
$$ \frac{\partial}{\partial \bar z} f =\frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x}+ \sqrt{-1} \frac{\partial}{\partial y} \right) f=0 $$
を満たすものとして特徴づけられる．微分は局所的なので層の射$\partial/\partial \bar z \colon C^\infty_X \to C^\infty_X$を誘導して，$\cO_X$はこの射の核である．このとき，次が言える（証明は例えばRungeの近似定理を用いる）．

事実
$X$を$\bbC$の任意の領域として，$g \in C^\infty_X(X)$を$X$上の任意の$C^\infty$級函数とする．このとき，ある$f \in C^\infty_X(X)$が存在して$\partial f/\partial \bar z =g$を満たす．

これを認めると次の二つが分かる．一つ目は層の完全列$0 \to \cO_X \to C^\infty_X \xrightarrow{\partial/\partial \bar z} C^\infty_X \to 0 \to 0 \to \cdots$は$\cO_X$の非輪状分解であるということである．実際，上の事実を各点の近傍で考えることにより列が完全であることが分かり，$C^\infty_X$は非輪状であったから良い．二つ目はこの列の大域切断を取った列$0 \to \cO_X(X) \to C^\infty_X(X) \xrightarrow{\partial/\partial \bar z} C^\infty_X(X) \to 0 \to 0 \to \cdots$も完全であるということである．一つ目と非輪状分解でコホモロジーが計算できるという定理より
$$ H^1(X;\cO_X) = C^\infty_X(X)/\Image \partial/\partial \bar z $$
であることが分かるが，二つ目は右辺が$0$であることを意味する．こうして正則函数に関する問題が$C^\infty$級函数の微分方程式の可解性の問題に帰着されて証明ができた．