層とその導来圏について解説します．前層・層の定義から始めて層のアーベル圏と層係数コホモロジーについて述べ，それらの利点を解説します．またコホモロジー函手の抽象化である導来函手についても説明します．次に層に対する様々な演算を導入してそれらの性質を見ます．導来圏のインフォーマルな説明の後，導来圏の枠組みを層理論に用いると何が得られるかを詳しく解説します．特に，Poincaré双対性の一般化である上付きびっくりの存在について詳しく述べます．最後に層の導来圏を通してホモロジーや特性類がどのように解釈されるかを見ます．

層理論と導来圏

前層と層・層化

# 層のアーベル圏

ここでは層の圏$\Sh(X)$について調べます．

## 層の核と像

さて$\PSh(X)$は前層の射に対して開集合ごとに核や像を定義することでアーベル圏になるのでした．層の場合にも同じことができるかを見てみましょう．

&&&lem 層の射の開集合ごとの核は層
$\varphi \colon F \to G$を層の射とする．$K(U):=\Ker \varphi_U$と定めると$K$は層である．
&&&

&&&prf 
開集合の組$U \subset V$に対して，核の普遍性により次の図式を可換にする写像$\Ker \varphi_V \to \Ker \varphi_U$が定まる：
\begin{xy}
\TextCenter
\xymatrix{
    0 \ar[r] & \Ker \varphi_V \ar[r] \ar@{-->}[d] & F(V) \ar[r] \ar[d] & G(V) \ar[d] \\
    0 \ar[r] & \Ker \varphi_U \ar[r] & F(U) \ar[r] & G(U)
}
\end{xy}
これを制限写像として$K$は前層になる．貼り合わせ条件を確かめよう．開集合$U$と$U$の開被覆$\{U_i\}_{i \in I}$に対して$s_i \in K(U_i)$が与えられ任意の$i,j \in I$に対して$s_i|_{U_i \cap U_j}=s_j|_{U_i \cap U_j} \in K(U_i \cap U_j)$を満たすとする．これらを$s_i \in F(U_i)$とみなせば，上の可換図式から$K$の制限写像は$F$のそれと可換なので$F$で貼り合わせ条件の仮定を満たすことが分かる．$F$は層だから，一意的に$s \in F(U)$が存在して任意の$i \in I$に対して$s|_{U_i}=s_i$を満たす．すると，任意の$i \in I$に対して$s_i \in K(U_i)$であったから$\varphi_U(s)|_{U_i}=\varphi_{U_i}(s|_{U_i})=\varphi_{U_i}(s_i)=0$である．$G$は層だから，これは$\varphi_U(s)=0$を意味する．ゆえに$s \in K(U)$である．
&&&

&&&rem 層化の随伴との関係
層化函手は埋め込み函手$\iota \colon \Sh(X) \to \PSh(X)$の左随伴であった．上の補題は右随伴函手$\iota$が核を保つということからも分かる．
&&&

核については開集合ごとに考えることでめでたく層になりましたが，残念なことに像については次の例が示すように一般には層にはなりません．

&&&ex 層の射の開集合ごとの像は層とは限らない
$X=\bbC$として$X$上の正則函数のなす層$\cO_X$を考える．$f \in \cO_X(U)$に対して$(d/dz)_U(f)=df/dz$と定めると$d/dz \colon \cO_X \to \cO_X$は層の射である（微分は局所的！）．$I(U)=\Image (d/dz)_U$とすると，$I$は前層であるが層ではない．
前層であることは上の補題のように普遍性から定まる写像を考えればよい．$U=\bbC \setminus \{0\}, U_0=\bbC \setminus (-\infty,0], U_1=\bbC \setminus [0,+\infty)$とすると$\{U_0,U_1\}$は$U$の開被覆である．$U_0.U_1$は単連結だから$1/z$は$U_0,U_1$上原始函数をもつ．つまり$1/z \in I(U_i) \ (i =0,1)$である．しかし$1/z \not\in I(U)$である．
&&&

層の射に対して開集合ごとの像の対応は層ではないですが，我々は前層に対して「一番近い層」を対応される層化という道具を手に入れていたのでした．これを使って層の射の像を定義します．

&&&def 層の核・像
$\varphi \colon F \to G$を層の射とする．$K(U):=\Ker \varphi_U$で定義した層を$\Ker \varphi$と書き，$\varphi$の**核**と呼ぶ．さらに，$I(U):=\Image \varphi_U$で定義した前層$I$の層化$I^+$を$\Image \varphi$と書き，$\varphi$の**像**と呼ぶ．
&&&

次は茎を取る函手が完全であることと層化で茎は変わらないことから得られます．

&&&lem 核・像の茎は茎ごとの核・像
層の射$\varphi \colon F \to G$に対して，$(\Ker \varphi)_x \simeq \Ker \varphi_x, (\Image \varphi)_x \simeq \Image \varphi_x$である．
&&&

層化の普遍性から，このように定義した核と像が満たしてほしい普遍性を満たすこともチェックできます．こうして次が分かりました．

&&&thm 層の圏はアーベル圏
$\Sh(X)$はアーベル圏である．
&&&

ここで後のために部分層・商層について準備しておきます．

&&&def 商層
$F,G \in \Sh(X)$とする，$F$が$G$の**部分層**であるとは任意の開集合$U$に対して$F(U) \subset G(U)$であり任意の開集合の組$U \subset V$$\rho^F_{U,V}=\rho^G_{U,V}|_{F(V)}$であることを言う．単射な層の射$i \colon F \to G$が存在すると言ってもよい．このとき，$G/F$を$U$に$G(U)/F(U)$を対応させる前層の層化として定めて$G$の$F$による**商層**と呼ぶ．$G/F =\Coker i$と言ってもよい．
&&& 

## 層の完全列

層の圏$\Sh(X)$がアーベル圏であることが分かったので次のように層の完全列を考えることができます．

&&&def 層の完全列
層の射の列$F \xrightarrow{\varphi} G \xrightarrow{\psi} H$が**完全**であるとは$\Ker \psi = \Image \varphi$を満たすことをいう．さらに長い列が完全であるとは任意の連続する三つの射の列が完全であることをいう．
&&&

次は命題1と補題3から従います．

&&&prop 層の列が完全であることは茎が完全であることと同値
層の射の列$F \xrightarrow{\varphi} G \xrightarrow{\psi} H$が完全$\Leftrightarrow$任意の$x \in X$に対して$F_x \xrightarrow{\varphi_x} G_x \xrightarrow{\psi_x} H_x$が完全．
&&&

上の命題は非常に役立つものです．実際，層の列が完全であることを知るには任意の点の近傍だけを見れば良いからです．これを使って次のような層の完全列を得ることができます．

&&&ex 層の完全列の例
(i) $F$を$G$の部分層とすると$0 \to F \to G \to G/H \to 0$は完全である．
(ii) $X$を$\bbC$の領域とする．このとき正則函数の層$\cO_X$は有理型函数の層$\mathcal M_X$の部分層である．したがって，上の例の特殊な場合として$0 \to \cO_X \to \mathcal M_X \to \mathcal M_X /\cO_x \to 0$は完全である．
(iii) 再び$X$を$\bbC$の領域とする．$\cO^*$を$0$を取らない正則函数のなす層として乗法に関してアーベル群の層とみなす．層の射$\psi \colon \cO_X \to \cO_X^*$を$\psi_U(f):=\exp(2\pi \sqrt{-1} f)$と定めると$0 \to \bbZ_X \to \cO_X \xrightarrow{\psi} \cO_X^* \to 0$は層の完全列である．実際，命題5より完全性を示すには任意の点の十分小さい開円盤での完全性を言えばよいが，このときは$\log$が取れるのでよい．
(iv) $X$を$C^\infty$級多様体として$\mathcal A^k_X \ (k \in \bbZ_{\ge 0})$を$k$次微分形式のなす層とする．外微分の写像$d^k \colon \mathcal A^k_X \to \mathcal A^{k+1}_X$は層の射である．また$\bbR$に付随する定数層$\bbR_X$は$\mathcal A^0_X$の部分層とみなせる．このとき，
$$
\TextCenter
0 \to \bbR_X \to \mathcal A^0_X \xrightarrow{d^0} \mathcal A^1_X \xrightarrow{d^1} \mathcal A^2_X \to \cdots
$$
は層の完全列である．実際，命題5より完全性を示すには任意の点の十分小さい開円盤での完全性を言えばよいが，これはポアンカレの補題より正しい．
(v) $P$を正則函数係数の線形微分作用素として層の射$P \colon \cO_X \to \cO_X$とみなす．このとき，$\cO_X \xrightarrow{P} \cO_X \to 0$が完全，すなわち$P$が全射であることは微分方程式$Pf=g$が任意の$g$に対して局所可解であることと同値である．これはCauchy–Kovalevskayaの定理などに現れる状況である．
&&&

上の例のように層の列が完全であるという状況はよく起こりチェックが容易いですが，それを$U$上の切断にすると完全かどうか分からなくなってしまいます．実際，上の例の(iii)では$X$が単連結でなければ$\psi_X \colon \cO_X(X) \to \cO^*_X(X)$は全射ではありません．一般に層の射$\varphi \colon F \to G$が全射$\Leftrightarrow$任意の開集合$U$と任意の$t \in G(U)$に対して，$U$の開被覆$\{U_i\}_{i \in I}$が存在して$t|_{U_i} \in \Image \varphi_{U_i}$しか分からないのです．まとめておくと，切断を取る函手については一般には次の左完全性しか分かりません．

&&&prop 切断函手の左完全性
任意の開集合$U$に対して，$U$上の切断を与える函手$\Gamma(U;\ast) \colon \Sh(X) \to Ab$は左完全函手である．すなわち，層の完全列$0 \to F \xrightarrow{\varphi} G \xrightarrow{\psi} H \to 0$に対して，$0 \to F(U) \xrightarrow{\varphi_U} G(U) \xrightarrow{\psi_U} H(U)$は完全である．
&&& 

この命題は命題1と同様の議論で元を取ることで証明できます．別のやり方として埋め込み函手$\iota \colon \Sh(X) \to \PSh(X)$は層化函手の右随伴なので左完全で$\PSh(X)$の完全性は開集合ごとの完全性であることからも従います．
命題の最後$\psi_U$の全射性が分からないのはなんだか悲しいことです．例えば上の例での$(\mathcal M_X/\cO_X)(X)$の元が$\mathcal M_X(X)$で大域的に書けるかや局所的には常に可解な微分方程式$Pf=g$が大域的に解けるかは興味があることだからです．これがいつ全射になるかの条件が分かるようになれば嬉しいですが判定する道具はあるのでしょうか？実はこれが**（層係数）コホモロジー**というものです．次回やるように左完全でしかなかった列の右側に$H^1(U;F), H^1(U;G), H^1(U;H), H^2(U;F),\dots$と付け足していって
$$
\TextCenter
0 \to F(U) \xrightarrow{\varphi_U} G(U) \xrightarrow{\psi_U} H(U) \to H^1(U;F) \to H^1(U;G) \to H^1(U;H) \to H^2(U;F) \to \cdots
$$
が完全になるようにできます．すると，$H^1(U;F)$を見ることで$\psi_U$の「全射でない具合」を見ることができます．嬉しいですね！次節でやりましょう．

# まとめ

この節では
- 層の射が同形であることは茎で同形であること
- 層の核・像を定義して層の圏がアーベル圏になること
- 層の列が完全であることは比較的チェックが容易いこと
- 切断函手は左完全でしかないこと

について説明しました．

層のアーベル圏と完全列

標準脆弱分解と層係数コホモロジー

導来函手と層係数コホモロジー

# 内部Homと内部テンソル積

この節からは層に対する様々な演算について説明したいと思います．これらの演算はGrothendieckの六演算と呼ばれるものの一部で，これらを組み合わせることで層をいろいろな形に変形して様々な結果を引き出すことができます．

まず内部演算と呼ばれる位相空間$X$上の層たちから$X$上の層を作る操作を説明します．以下では$X$を位相空間とします．

## 内部Hom

まずは内部Homと呼ばれる$\Hom$に関する層を考えます．

&&&lem Homの対応は層
$F,G \in \Sh(X)$とする．開集合$U$に対して$\Hom_{\Sh(U)}(F|_U,G|_U)$を対応させる対応は層である．
&&&

&&&prf
開集合の組$U \subset V$と$\varphi \in \Hom_{\Sh(V)}(F|_V,G|_V)$に対して，$U$内の開集合だけに対して射を考えることにより$\varphi|_U \in \Hom_{\Sh(U)}(F|_U,G|_U)$が定まるので，これを制限写像とする．これらが前層の条件を満たすことはよい．

貼り合わせ条件を調べる．開集合$U$とその開被覆$\{U_i\}_{i \in I}$および$\varphi_i \in \Hom_{\Sh(U_i)}(F|_{U_i},G|_{U_i})$なる族で$\varphi_i|_{U_i \cap U_j}=\varphi_j|_{U_i \cap U_j}$を満たす族を任意に取る．$\varphi \in \Hom_{\Sh(U)}(F|_U,G|_U)$であって$\varphi|_{U_i}=\varphi_i$となるものを定めたいが，これには$U$の任意の開部分集合$V$に対して$\varphi_V \colon F(V) \to G(V)$を定めなければならない．$s \in F(V)$に対して$\{V \cap U_i\}_{i \in I}$は$V$の開被覆であり，$t_i:=\varphi_{i, V \cap U_i}(s|_{V \cap U_i}) \in G(V \cap U_i)$たちは$t_i|_{V \cap U_i \cap U_j}=t_j|_{V \cap U_i \cap U_j}$を満たす．$G$は層だから$t \in G(V)$が一意的に存在して$t_{V \cap U_i}=t_i$を満たす．$\varphi_V(s):=t$として$\varphi_V \colon F(V) \to G(V)$を定めると$\varphi=\{\varphi_V\}_{V \subset U} \colon F|_U \to G|_U$は制限写像たちと可換になるので層の射$\varphi \in \Hom_{\Sh(U)}(F|_U,G|_U)$である．作り方から任意の$i \in I$に対して$\varphi|_{U_i}=\varphi_i$を満たしている．作り方をたどればこのように作る必要があることも分かるが，一意性を直接見よう．$\psi \in \Hom_{\Sh(U)}(F|_U,G|_U)$もこの条件を満たすならば，任意の$i$に対して$\varphi|_{U_i}=\psi|_{U_i}$であるから，任意の$U$の開部分集合$V$と$s \in F(V)$に対して
$$
\TextCenter
\varphi_{V}(s)|_{V \cap U_i}
= \varphi_{V \cap U_i}(s)
= \psi_{V \cap U_i}(s)
= \psi_{V}(s)|_{V \cap U_i}
$$
である．$G$が層であることから$\varphi_V(s)=\psi_V(s)$であり，$s$と$V$は任意だったので結局$\varphi=\psi$である．
&&&

&&&def 層の内部Hom
$F,G \in \Sh(X)$に対して$U \mapsto \Hom_{\Sh(U)}(F|_U,G|_U)$の対応で定まる層を$\cHom(F,G) \in \Sh(X)$と書く．$\cHom \colon \Sh(X)^\op \times \Sh(X) \to \Sh(X)$を**内部Hom函手**とも呼ぶ．
&&&

$\cHom$のことを**sheaf Hom**と呼んだりもしますが，日本語で適切な訳語があるかは筆者は知りません．$X$上のsheaf Homであることを強調したいときには$\cHom_X$と書くことにします．証明をよく見ると$G$が層であることしか使っていないので$F$は前層でも層$\cHom(F,G)$が定まることが分かりますが，それは使いません．定義から
$$
\TextCenter
\Gamma(X;\cHom(F,G)) = \Hom_{\Sh(X)}(F,G)
$$
となります．これはうれしいことで，層の射の集合を調べるにはまず$\cHom$という層を調べればよいからです．層にしてしまうと様々な強力な道具を使って調べることができます．

&&&ex 
$F \in \Sh(X)$に対して，$\cHom(\bbZ_X,F) \simeq F$である．連結な開部分集合$U$と$\varphi_U \colon \bbZ_X(U) =\bbZ \to F(U)$に対して$\varphi_U(1) \in F(U)$を対応させる射が同形を引き起こす．
&&&

## 内部テンソル積

次にテンソル積について考えます．$F,G \in \Sh(X)$として，開集合$U$に対して$F(U) \otimes_\bbZ G(U)$を対応させることを考えてみましょう．すると，$F$と$G$の制限写像により開集合の組$U \subset V$に対して$F(V) \otimes_\bbZ G(V) \to F(U) \otimes_\bbZ G(U)$が定まり，これで前層になることが分かります．残念ながらこの対応は一般には層ではありません．

&&&ex 層の開集合ごとのテンソルの対応が層にならない例
$X=\{0,1\}$に離散位相を入れて，$F=G=\bbZ_X$を定数層とする．$U=X, U_0=\{0\}, U_1=\{1\}$とすると
$$
\TextCenter
F(U) \otimes_\bbZ G(U) = \bbZ^4, \quad F(U_0) \otimes_\bbZ G(U_0) = \bbZ = F(U_1) \otimes_\bbZ G(U_1)
$$
となるので貼り合わせ条件が成り立たない．
&&&

そこでこの対応の層化としてテンソル積を定めます．

&&&def 層のテンソル積
$F,G \in \Sh(X)$に対して$U \mapsto F(U) \otimes_\bbZ G(U)$の対応で定まる前層の層化を$F \otimes_\bbZ G$と書き，$F$と$G$の**テンソル積**と呼ぶ．$\otimes_\bbZ \colon \Sh(X)^\op \times \Sh(X) \to \Sh(X)$を**内部テンソル積函手**とも呼ぶ．
&&&

加群のテンソルと同様に層のテンソル積についても結合法則や（可換環上では）交換法則が成り立ちます．
層化が茎を保つことと帰納極限がテンソル積と交換する（両方帰納極限をとっても交換する）ことから次が分かります．

&&&lem 層のテンソル積の茎は茎のテンソル積
$F,G \in \Sh(X)$と$x \in X$に対して同形$(F \otimes_\bbZ G)_x \simeq F_x \otimes_\bbZ G_x$が成り立つ．
&&&

&&&ex
$F \in \Sh(X)$に対して，$\bbZ_X \otimes_\bbZ F \simeq F$である．
&&&

## 内部テンソル積と内部Homとの随伴

上で定義した層のテンソル積とsheaf Homは随伴の関係になっています．今後は記号を簡単にするために，明らかな場合は$\Hom_{\Sh(X)}$を単に$\Hom$と書いたり$\otimes_\bbZ$を単に$\otimes$と書いてしまいます．

&&&prop 層のテンソル積とsheaf Homは随伴
$F,G,H \in \Sh(X)$に対して自然な同形
$$
\TextCenter
\Hom(F \otimes G, H) \simeq \Hom(F, \cHom(G,H))
$$
が成り立つ．
&&&

&&&prf
各開集合$U$に対して
$$
\TextCenter
\Hom_{Ab}(F(U) \otimes G(U), H(U))
\simeq 
\Hom_{Ab}(F(U), \Hom_{Ab}(G(U),H(U)))
$$
が成り立つ．よって，$U \mapsto F(U) \otimes G(U)$の対応で定まる前層を$F \, \check{\otimes} \, G$と書くと，同形
$$
\TextCenter
\Hom_{\PSh(X)}(F \, \check{\otimes} \, G, H) \simeq \Hom(F,\cHom(G,H))
$$
が成り立つことが分かる．ゆえに結論は層化の普遍性から従う．
&&&

随伴の性質を使うと次が得られます．

&&&lem 層のテンソル積の右完全性とsheaf Homの左完全性
内部テンソル積函手$\otimes \colon \Sh(X) \times \Sh(X) \to \Sh(X)$は右完全であり，内部Hom函手$\cHom \colon \Sh(X)^\op \times \Sh(X) \to \Sh(X)$は左完全である．
&&&

# まとめ

この節では
- 層のテンソル積とsheaf Hom・それらの随伴

について説明しました．

層に対する演算1（内部演算）

層に対する演算2（順像と逆像）

# 固有順像

ここでは順像とは少し異なるやり方で層を押し出す方法を定義します．そこでは固有写像の概念を扱う必要があるのですが，扱いを簡単にするために以下では断らない限り位相空間はすべて**局所コンパクトハウスドルフ空間**であると仮定します．このとき，連続写像$f \colon X \to Y$が**固有**であるとは$Y$の任意のコンパクト部分集合$K$に対して逆像$f^{-1}(K)$が$X$のコンパクト部分集合となることでした．連続写像$f \colon X \to Y$に対して，ある$Y$の開被覆$\{U_i\}_{i \in I}$が存在して，任意の$i \in I$に対して$f|_{f^{-1}(U_i)} \colon f^{-1}(U_i) \to U_i$が固有ならば$f$は固有になることがチェックできます．

## 固有順像の定義

さて，$f \colon X \to Y$を（固有とは限らない）連続写像とします．このとき，$F \in \Sh(X)$に対して，その順像は$(f_*F)(V):=F(f^{-1}(V))=\Gamma(f^{-1}(V);F)$と定義されたのでした．これを少し細工して，$Y$の開部分集合$V$に対して
$$
\TextCenter
(f_!F)(V):=\{ s \in \Gamma(f^{-1}(V);F) \mid \text{$f|_{\supp(s)} \colon \supp(s) \to V$は固有} \}
$$
と定めると，$f_!F$は$f_*F$の部分前層として$Y$上の前層を定めます．上で説明したように固有写像であることは局所的な性質なので，$f_!F$は実際に層になることが分かります．

&&&def 固有順像
$f \colon X \to Y$を連続写像，$F \in \Sh(X)$とする．このとき，
$$
\TextCenter
(f_!F)(V):=\{ s \in \Gamma(f^{-1}(V);F) \mid \text{$f|_{\supp(s)} \colon \supp(s) \to V$は固有} \}
$$
により定まる$Y$上の層$f_!F \in \Sh(Y)$を$F$の$f$による**固有順像**と呼ぶ．また，函手$f_! \colon \Sh(X) \to \Sh(Y)$を**固有順像函手**と呼ぶ．特に，$f=a_X \colon X \to \pt$が一点への写像のとき，
$$
\Gamma_c(X;F):={a_X}_!F=\{ s \in \Gamma(X;F) \mid \text{$\supp(s)$はコンパクト} \}
$$
とあらわし，**コンパクト台切断**とも呼ぶ．
&&&

この函手$f_!$がGrothendieckの六演算の五つ目です．もし$f$が$\Supp(F)$上固有であれば$f_!F \simeq f_*F$であることに注意しましょう．固有順像が順像の部分であることを用いると，連続写像$f \colon X \to Y$に対して，固有順像函手$f_! \colon \Sh(X) \to \Sh(Y)$は左完全函手であることが分かります．また，連続写像$f \colon X \to Y, g \colon Y \to Z$に対して，自然同値$g_! \circ f_! \simeq (g \circ f)_! \colon \Sh(X) \to \Sh(Z)$が成り立ちます．特に，$F \in \Sh(X)$に対して自然な同形
$$
\TextCenter
\Gamma_c(Y;f_!F) \simeq \Gamma_c(X;F)
$$
が成り立ちます．$f_!$は左完全函手なのでその導来函手である高次固有順像$R^nf_!$が考えられます．特に$f=a_X \colon X \to \pt$を考えれば，**コンパクト台コホモロジー**函手$H^n_c(X;\ast) \colon \Sh(X) \to Ab$が得られます．導来函手は$\delta$函手なので層の短完全列に対してコホモロジー長完全列があることにも注意しましょう．普通のコホモロジーの長完全列とコンパクト台コホモロジーの長完全列をうまく使い分けることによって様々なコホモロジーを計算することができます（下の例3も参照）．

固有順像の嬉しい性質の一つは茎が計算できることです．順像では茎が計算できないのに固有順像では茎が計算できるのは，切断の台に写像に対する固有性を課して暴れ具合を統制しているからと考えられます．

&&&prop 固有順像の茎は逆像のコンパクト台切断
$f \colon X \to Y$を連続写像，$F \in \Sh(X)$とする．このとき，任意の$y \in Y$に対して，自然な同形
$$
\TextCenter
\alpha \colon (f_!F)_y \simto \Gamma_c \left( f^{-1}(y);F|_{f^{-1}(y)} \right)
$$
が存在する．
&&&

&&&prf 概略
写像$\alpha$は$i \colon f^{-1}(y) \hookrightarrow X$としたときの$F \to i_*i^{-1}F$から定まるものである．
$\alpha$が単射であることを示す．$V$を$Y$内の$y$の開近傍として$t \in (f_!F)(V)$とする．すると，$t$は$s \in \Gamma(f^{-1}(V);F)$で$f|_{\supp(s)} \colon \supp(s) \to V$が固有であるもので定まる．$\alpha(t)=0$とすると$y \not\in f(\supp(s))$であり，固有写像は閉写像だから，ある$y$の近傍$V'$が存在して$V' \cap f(\supp(s))=\emptyset$となる．ゆえに，$V'$上$t=0$である．
$\alpha$が全射であることを示す．$s \in \Gamma_c \left( f^{-1}(y);F|_{f^{-1}(y)} \right)$として，$K:=\supp(s) \subset f^{-1}(y)$とする．実は，$K$がコンパクトであることから，ある$K \subset U$となる$X$の開部分集合$U$と$t \in \Gamma(U;F)$が存在して$s|_{U \cap f^{-1}(y)}=t|_{U \cap f^{-1}(y)}$となる．$V$を$K$の相対コンパクトな開近傍で$\overline{V} \subset U$を満たすものとすると，$y \not\in f(\overline{V} \cap \supp(t) \setminus V)$となる．よって，$y$の開近傍$W$であって$W \cap f(\overline{V} \cap \supp(t) \setminus V) = \emptyset$となるものが存在する．ゆえに，$s' \in \Gamma(f^{-1}(W);F)$を
$$
\TextCenter
\begin{cases}
s'|_{f^{-1}(W) \cap V} = t|_{f^{-1}(W) \cap V} \\
s'|_{f^{-1}(W) \setminus (\supp(t) \cap \overline{V})} = 0
\end{cases}
$$
と定めることが出来る．$\supp(s') \subset f^{-1}(W) \cap \supp(t) \cap \overline{V}$より，$f|_{\supp(s')} \colon \supp(s') \to W$は固有であり，作り方から$s'|_{f^{-1}(y)}=s$を満たす．
&&&

次のように固有順像を包含写像に用いることで茎が$0$でない部分を増やさないように全体に延ばすことができます．

&&&ex ゼロ拡張
$i \colon Z \hookrightarrow X$を局所閉部分集合の包含写像とする．このとき，上の命題より$F \in \Sh(Z)$に対して，同形
$$
\TextCenter
(j_!F)_x \simeq
\begin{cases}
    F_x & (x \in Z) \\
    0 & (x \in X \setminus Z)
\end{cases}
$$
が成り立つ．これは$Z$が開集合であっても成立することに注意せよ（$\{x \in X \mid (i_!F)_x \neq 0 \} \subsetneq \Supp(i_!F)$である）．開集合の包含写像$j \colon U \hookrightarrow X$と普通の順像$j_*F$に対して一般にはこのような茎の同形は成り立たなかったことを思い出そう．$i_!F$を$F$の**ゼロ拡張**とも呼ぶ．$Z$が閉部分集合の場合は自然に$i_!F \simeq i_*F$である．
&&&

上の茎の計算より次が得られます．

&&&lem 局所閉部分集合からのゼロ拡張は完全函手
$i \colon Z \hookrightarrow X$を局所閉部分集合の包含写像とする．このとき，ゼロ拡張の函手$i_! \colon \Sh(Z) \to \Sh(X)$は完全函手である．
&&&

&&&rem 
$i \colon Z \hookrightarrow X$を局所閉部分集合の包含写像とする．このとき，(1) $i_!$が完全函手であること，(2) $i_!$が入射的層をc-柔軟層 (c-soft sheaf) にうつすこと，(3) コンパクト台コホモロジーは柔軟分解で計算できることの三つから，$F \in \Sh(Z)$に対して
$$
H^n_c(X;i_!F) \simeq H^n_c(Z;F)
$$
となることが分かる．一般には$f_!$が完全でないので上で$i$を一般の連続写像$f$に取り替えると成立しないが，前節も少し述べたように導来圏とその間の導来函手を考えると正しくなる．
&&&

開集合からのゼロ拡張については次の制限との随伴の関係が成り立ちます．

&&&lem 開集合からのゼロ拡張と制限は随伴
$j \colon U \hookrightarrow X$を開部分集合の包含写像とする．このとき，$F \in \Sh(U), G \in \Sh(X)$に対して自然な同形
$$
\TextCenter
\Hom_{\Sh(X)}(j_!F,G) \simeq \Hom_{\Sh(U)}(F,G|_U)
$$
が成り立つ．また，これらに対して自然な同形
$$
\TextCenter
\cHom_X(j_!F,G) \simeq j_* \cHom_U(F,j^{-1}G)
$$
が成り立つ．
&&&

&&&prf
後半は各開集合で考えれば良いので，前半だけ示す．
$V \subset U$なる開部分集合$V$に対して$(j_!F)(V)=F(V)$なので，層の射$\varphi \colon j_!F \to G$に対して$\{\varphi_V \}_{V \subset U}$は層の射$F \to G|_U$を定める．
逆に，層の射$\psi \colon F \to G|_U$が与えられたとする．このとき，$X$の開部分集合$V$に対して
$$
\TextCenter
(j_!F)(V)=\{ s \in F(U \cap V) \mid \text{$\supp(s)$は$V$の閉部分集合} \}
$$
である（雑にいうと$s$の台は$U$の境界からちゃんと離れている）．上のように見たとき$s \in (j_!F)(V)$に対して$\psi_{U \cap V}(s) \in G(U \cap V)$の台は$\supp(s)$に含まれているので，$V$の開部分集合$V \setminus \supp(s)$上で$0$として貼り合わせて$G(V)$の切断が作れる．この対応で定まる写像を$\varphi_V \colon (j_!F)(V) \to G(V)$とすると，$\varphi=\{ \varphi_V \}_V$は層の射$j_!F \to G$を定める．
上記の対応は互いに逆なので同形が示せた．
&&&

上の随伴を使うと入射的層の開部分集合への制限が入射的であることが次のように分かります．これも随伴がえらい証明です．

&&&lem 入射的層の開集合への制限は入射的
$I \in \Sh(X)$を$X$上の入射的層，$U$を$X$の開部分集合とする．このとき，$I|_U \in \Sh(U)$は$U$上の入射的層である．特に，$\cHom(\ast,I) \colon \Sh(X) \to \Sh(X)$は完全函手である．
&&&

&&&prf
$j \colon U \hookrightarrow X$を包含写像とする．任意の$U$上の層$F \in \Sh(U)$に対して，上の随伴から
$$
\TextCenter
\Hom_{\Sh(U)}(F,I|_U) \simeq \Hom_{\Sh(X)}(j_!F,I)
$$
である．右辺は$F$に対する函手としてみれば，完全函手$j_!$と完全函手$\Hom_{\Sh(X)}(\ast,I)$の合成として完全函手である．したがって，左辺もそうであり，$I|_U$は入射的である．後半は各開集合について考えればよい．
&&&

上の補題を使って次も得られます．これは入射的層は脆弱ということの脆弱層への埋め込みを使わない証明にもなっています．

&&&lem 後ろに入射的層を入れたsheaf Homは脆弱
$I \in \Sh(X)$を$X$上の入射的層，$F \in \Sh(X)$を$X$上の層とする．このとき，$\cHom(F,I)$は脆弱層である．特に，$I$は脆弱層である．
&&&

&&&prf 
$j \colon U \hookrightarrow X$を開部分集合の包含写像とすると，随伴から自然な層の射$j_!F|_U \to F$が得られる．茎を考えるとこの射は単射であるので，完全函手$\Hom(\ast,I)$を施すと$\Hom(F,I) \to \Hom(j_!F|_U, I) \simeq \Hom(F|_U,I|_U)$は全射である．これが$\cHom(F,I)$の制限写像と一致するので，$\cHom(F,I)$は脆弱である．後半は$F=\bbZ_X$とすれば$\cHom(\bbZ_X,I) \simeq I$であることから従う．
&&&

次は命題1の相対版で**固有基底変換** (proper base change) と呼ばれることもあります．証明は逆像と順像の随伴を使って射を作って，命題1で茎の同形をチェックすることでできます．

&&&prop 固有基底変換
位相空間のファイバー積の図式
\begin{xy}
\TextCenter
\xymatrix{
    X' \ar[r]^-{f'} \ar[d]_-{g'} & Y' \ar[d]^-{g} \\
    X \ar[r]_-{f} & Y
}
\end{xy}
すなわち，$X'=X \times_Y Y'=\{ (x,y') \in X \times Y' \mid f(x)=g(y') \}$となるものに対して，自然同値
$$
\TextCenter
g^{-1} \circ f_! \simto f'_! \circ g'^{-1} \colon \Sh(X) \to \Sh(Y')
$$
が成り立つ．
&&&

固有順像・逆像・テンソル積に関する同形$f_!(F \otimes f^{-1}G) \simeq f_!F \otimes G$（射影公式と呼ばれます）もある条件のもとで成立するのですが，これは導来圏で述べたほうがすっきりするので後回しにします．

## 固有順像の右随伴函手？

さて，少し天下り的ですが次の問いを立ててみましょう．

&&& 
**問**：一般の連続写像$f \colon X \to Y$に対して，固有順像函手$f_! \colon \Sh(X) \to \Sh(Y)$の右随伴函手は存在するか？すなわち，函手$f^! \colon \Sh(Y) \to \Sh(X)$（随伴にしたいので$f^!$と書いた）であって，$F \in \Sh(X), G \in \Sh(Y)$に対して自然な同形
$$
\TextCenter
\Hom_{\Sh(Y)}(f_!F,G) \simeq \Hom_{\Sh(X)}(F,f^!G)
$$
が成り立つものは存在するか？
&&&

これを期待する理由は少なくとも二つあります．
一つ目は開部分集合の包含写像$j \colon U \hookrightarrow X$に対しては右随伴が制限として存在するので，一般にも随伴の存在を期待したいという安直なものです．しかし，もしこれができると一つずつ随伴で解きほぐしてやることでテンソル積・逆像・固有順像の組合せで定義された層に対する演算の右随伴を作ることができます．これは嬉しいことです．
二つ目は積分のようなことをしたいというものです．コンパクトな台を持つ函数があったら積分をしたくなるのが人情というものではないでしょうか？より一般にはファイバー方向にコンパクトな切断をファイバーに沿って積分したくなります．もし上のような右随伴函手が存在すれば，自然な写像$f_!f^!G \to G$が$f$のファイバーに沿った積分と思えそうです．特に一点への写像$f=a_X \colon X \to \pt$と$G=\bbR$を考えれば，$\Gamma_c(X;a_X^!\bbR) \to \bbR$となって積分のような写像ができます．

さて，この問いに対する答えは残念ながら一般にはNoです．Noである理由はやってみると分かるのですが，$f_! \colon \Sh(X) \to \Sh(Y)$が完全ではないことに起因します．実際，局所閉部分集合の包含写像$i \colon Z \hookrightarrow X$に対しては$i_!$は完全で$i^! \colon \Sh(X) \to \Sh(Z)$を作ることができます（開部分集合の包含写像は特殊な場合）．これは非常に残念ですが，枠組みを広げることで回避できるというのが**上付きびっくり**と呼ばれている$f^!$の構成のアイデアです．ある意味で$f_!$が完全に振る舞うような層のクラスに「同形」で取り替えるという操作ができれば議論がうまく進むのですが，これは層のアーベル圏のレベルでは不可能です．しかし，**導来圏**ではそこでの「同形」で良い層に取り替えることができて$f^!$が作れるのです！こうしてできたものがGrothendieckの六演算の最後の上付きびっくりと呼ばれるものです．これが導来圏の二つ目の良さなのです．詳細についてはまたの機会に説明します．



# まとめ

この節では
- 固有順像の定義と性質・開部分集合からのゼロ拡張と制限との随伴
- 固有順像の右随伴函手があったら嬉しいこと

について説明しました．

層理論と導来圏

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