層の導来圏とホモロジー・特性類
この節では，ホモロジーと関連する演算・特性類を層の導来圏から見るとどうなるかについて簡単に説明します．
話し忘れていてこの節で使うものについて説明します．
一つ目はコホモロジー類の引き戻しについてです．$f \colon Y \to X$を連続写像として$G \in \Dp(\bfk_X)$とすると，随伴から標準的な射$G \to Rf_*f^{-1}G$が定まりました．ここに大域切断$\RG(X;\ast)$を施して$n$次のコホモロジーをとると，射$f^* \colon H^n(X;G) \to H^n(Y;f^{-1}G)$が得られます．特に，$G=\bfk_X$のときは，これはコホモロジー類の引き戻し
$$
f^* \colon H^n(X;\bfk_X) \to H^n(Y;\bfk_Y)
$$
のことです．
二つ目は定数層のコホモロジーのホモトピー普遍性です．$h \colon Y \times [0,1] \to X$を連続写像として$f_0:=h(\ast,0), f_1:=h(\ast,1) \colon Y \to X$としたとき，上で定義した引き戻しの射に関して
$$
f_0^*=f_1^* \colon H^n(X;\bfk_X) \to H^n(Y;\bfk_Y)
$$
が成り立つことが層理論だけで示せます．特に，ホモトピー同値な二つの空間の定数層コホモロジーは同形になります．ここでは証明は述べませんが，より一般の主張も含めた証明はSheaves on Manifoldsの命題2.7.5を参照してください．
この節では定数層のコホモロジーがたくさん出てくるので記号を簡単にするために，定数層のコホモロジー$H^n(X;\bfk_X)$をしばしば単に$H^n(X;\bfk)$と書くことにします．相対コホモロジーについても同様の記法を使います．
Borel-Mooreホモロジー・カップ積・キャップ積
ここではホモロジーを層の導来圏を用いて解釈することについて説明します．
Borel-Mooreホモロジー
層理論ではコホモロジーが自然に現れるというのをこれまで見てきましたが，Poincaré双対性は普通はホモロジーとコホモロジーの間の双対性として主張されていました．そこで層理論からもホモロジーを作れないかという疑問が出てきます．これはかなりずるいですが，双対化複体をつかって「余コホモロジー」を考えることでできます．以降，全ての空間は有限のコホモロジー次元を持つと仮定します．
$n \in \bbZ$に対して，
$$
H_n^{\mathrm{BM}}(X;\bfk):=H^{-n} \RG(X;\omega_X)
$$
と定めて，$n$次のBorel-Mooreホモロジーと呼ぶ．誤解がないときは単に$H_n(X;\bfk)$と書く．
Borel-Mooreホモロジーは以下のように固有写像に関して函手的になります．$f \colon X \to Y$を連続写像とすると，標準的な射$Rf_!\omega_X \simeq Rf_!f^!\omega_Y \to \omega_Y$が定まります．$f$が固有写像ならば$f_!=f_*$なので，これは射
$$
\RG(X;\omega_X) \to \RG(Y;\omega)
$$
を引き起こし，結果としてBorel-Mooreホモロジーの間の射
$$
f_* \colon H_n(X;\bfk) \to H_n(Y;\bfk)
$$
を誘導します．二つの固有写像$f \colon X \to Y, g \colon Y \to Z$に対して，$(g \circ f)_*=g_* \circ f_*$が成り立つこともチェックできます．
コンパクト空間に対してはBorel-Mooreホモロジーと通常のホモロジーは一致する．また，さらに追加の条件のもとでBorel-Mooreホモロジーは局所有限なチェインから定まるホモロジーと同形である．
カップ積
次に
第11節
のPoincaré双対性のところでも出てきたカップ積を層の導来圏で解釈するという話を説明します．以前も見たように$F \in \Dp(\bfk_X)$に対して$\RG(X;F) \simeq \RHom(\bfk_X,F)$なので，$n$次のコホモロジーを取れば
$$
H^n(X;F) \simeq \Hom_{\Dp(\bfk_X)}(\bfk_X,F[n])
$$
とコホモロジーを導来圏における射の集合として書くことができます．右辺は$\alpha \mapsto \alpha[-n]$の対応で$\Hom_{\Dp(\bfk)}(\bfk_X[-n], F)$とも同形であることに注意しましょう．特に$F=\bfk_X$と定数層を取れば$H^n(X;\bfk_X) \simeq \Hom_{\Dp(\bfk_X)}(\bfk_X,\bfk_X[n])$が得られます．
さて，$F, G \in \Dp(\bfk)$として，$\alpha \in H^j(X;F), \beta \in H^k(X;G)$をコホモロジー類とします．上で見たようにこれらは導来圏$\Dp(\bfk_X)$の射
$$
\alpha \colon \bfk_X \to F[j], \quad
\beta \colon \bfk_X \to G[k]
$$
とみなすことができます．これらのテンソル積を考えて$\bfk_X \lten \bfk_X \simeq \bfk_X$を用いると，射
$$
\alpha \lten \beta \colon \bfk_X \to (F \lten G)[j+k]
$$
が得られます．これをもう一度コホモロジーに戻して考えると$H^{j+k}(X;F \lten G)$の元が得られています．この対応をカップ積だとみなそうというのです．
$F, G \in \Dp(\bfk)$とする．コホモロジー類$\alpha \in H^j(X;F), \beta \in H^k(X;G)$に対して，上の対応で定まるコホモロジー類を$\alpha \cup \beta \in H^{j+k}(X;F \lten G)$と書き，$\alpha$と$\beta$のカップ積と呼ぶ．
標準的な同形$F \lten G \simto G \lten F$を通して，$\alpha \in H^j(X;F), \beta \in H^k(X;G)$に対して
$$
\alpha \cup \beta = (-1)^{jk} \beta \cup \alpha
$$
が成り立つことがチェックできます（複体のテンソル積の符号を真面目に計算してみてください）．カップ積は相対コホモロジーにも拡張されます．すなわち，$Z,W$を$X$の局所閉部分集合としたとき，$\bfk_Z \lten \bfk_W \simeq \bfk_{Z \cap W}$を使えば
$$
H^j_Z(X;F) \times H^k_W(X;G) \to H^{j+k}_{Z \cap W}(X;F \lten G), \ (\alpha, \beta) \mapsto \alpha \cup \beta
$$
が定まることが分かります．さらに，$F=G=\bfk_X$と定数層の場合は，$\alpha \in H^j(X;\bfk_X) \simeq \Hom_{\Dp(\bfk_X)}(\bfk_X,\bfk_X[j])$と$\beta \in H^k(X;G) \simeq \Hom_{\Dp(\bfk_X)}(\bfk_X,\bfk_X[k])$のカップ積$\alpha \cup \beta \in H^{j+k}(X;\bfk_X) \simeq \Hom_{\Dp(\bfk_X)}(\bfk_X,\bfk_X[j+k])$は射の合成
$$
\alpha[k] \circ \beta \colon \bfk_X \to \bfk_X[k] \to \bfk_X[j+k]
$$
とも同一視されることがチェックできます．これが前節のPoincaré双対性のところで使ったものでした．
キャップ積
層の導来圏を通してカップ積を構成してホモロジーも得たので，キャップ積も層理論で作れるのではないかという期待が持てますが，もちろんそれもできます．実際のところ上のカップ積の構成で$F=\bfk_X, G=\omega_X$とすればもう作っていたのです．すなわち，$\xi \in H_n(X;\bfk) = H^{-n}\RG(X;\omega_X) \simeq \Hom_{\Dp(\bfk_X)}(\bfk_X,\omega[-n])$なので，射のテンソル積により
$$
\Hom_{\Dp(\bfk_X)}(\bfk_X, \omega_X[-n]) \times \Hom_{\Dp(\bfk_X)}(\bfk_X,\bfk_X[j]) \to \Hom_{\Dp(\bfk_X)}(\bfk_X,\omega_X[j-n])
$$
が定まって，同一視により
$$
H_n(X;\bfk) \times H^j(X;\bfk_X) \to H_{n-j}(X;\bfk)
$$
が誘導されます．
$\xi \in H_n(X;\bfk), \alpha \in H^j(X;\bfk_X)$に対して，上の対応で定まる$(\xi,\alpha)$の像を$\xi \cap \alpha \in H_{n-j}(X;\bfk)$と書き，$\xi$と$\alpha$のキャップ積と呼ぶ．
カップ積・キャップ積の定義とテンソル積の結合性からから$\xi \in H_n(X;\bfk), \alpha \in H^j(X;\bfk_X), \beta \in H^k(X;\bfk_X)$に対して
$$
\xi \cap (\alpha \cup \beta) = (\xi \cap \alpha) \cap \beta
$$
が成り立つことが分かります．
せっかくなので多様体の向き付けとBorel-Mooreホモロジーに定まる基本類についても説明しておきます．$X$を$d$次元の位相多様体とします．上や 第11節 のPoincaré双対性のところでも見たように，$X$の双対化複体$\omega_X$は$H^k(\omega_X)=0 \ (k \neq -d)$で$H^{-d}(\omega_X)$は局所的に定数層$\bfk_X$と同形（階数$1$の局所定数層）になるのでした．そこで$\or_X:=H^{-d}(\omega_X)$とおいて，$X$の向き付け層と呼びました．環$\bfk$上で考えていることを強調したいときは$\or_X^\bfk$と書きます．$X$の向き付けはこの層を使って定義できます．
$X$の$\bfk$-向き付けとは同形$\mu \colon \bfk_X \to \or_X^\bfk$のことである．$X$の$\bfk$-向き付けが存在するとき$X$は$\bfk$-向き付け可能であるという．
$\bbZ/2\bbZ$上の階数$1$の局所定数層は定数層なので，位相多様体は常に$\bbZ/2\bbZ$-向き付け可能です．前節でも述べたように実は$C^\infty$級多様体$X$が普通の意味で向き付け可能であることと$\bbZ$-向き付け可能であることは同値です．
$\mu \colon \bfk_X \simto \or_X$を$X$の$\bfk$-向き付けとすると，これは$\Gamma(X;\or_X) \simeq \Hom(\bfk_X,\or_X)$の元と同一視できます．$\or_X \simeq \omega[-d]$なので，これはさらに$\Hom_{\Dp(\bfk_X)}(\bfk_X,\omega[-d]) \simeq H_d(X;\bfk)$の元と同一視されます．
$\bfk$-向き付け$\mu \colon \bfk_X \simto \or_X$に対して，上のように定義されるホモロジー類を$[X] \in H_d(X;\bfk)$と書き，$X$の$\bfk$-向き付け$\mu$に関する基本類と呼ぶ．
向き付けの定義から次も得られます．
$X$を$\bfk$-向き付けが与えられた$d$次元位相多様体として，$[X] \in H_d(X;\bfk)$を対応する基本類とする．このとき，$j \in \bbZ$に対して基本類とのキャップ積は同形
$$
[X] \cap (\ast) \colon H^j(X;\bfk_X) \simto H_{n-j}(X;\bfk)
$$
を誘導する．
この双対性を使うと次の二つが定まります．これは普通のトポロジーの議論と平行です．
(i) コホモロジー類をPoincaré双対性でホモロジー類にもっていきBorel-Mooreホモロジーの順像を施してまたコホモロジー類に双対で戻すことで，Gysin写像
$$
f_! \colon H^j(X;\bfk_X) \to H^{j+d_Y-d_X}(Y;\bfk_Y)
$$
が定まる．ここで$d_X,d_Y$はそれぞれ向き付けられた位相多様体$X,Y$の次元である．すなわち，$\alpha \in H^j(X;\bfk_X)$に対して$f_!(\alpha)$を$[Y] \cap f_!(\alpha)=f_*([X] \cap \alpha)$を満たすように定める．
(ii) ホモロジー類をPoincaré双対性でコホモロジー類に持っていきキャップ積を取ってまたホモロジー類に戻すことで，交叉積
$$
(\ast) \cdot (\ast) \colon H_n(X;\bfk) \times H_m(X;\bfk) \to H_{n+m-d}(X;\bfk)
$$
が定まる．
このようにして普通のトポロジーでの操作や双対性を層理論を使って解釈することができました．
Thom類とEuler類
$\pi \colon E \to X$を階数$r$の実ベクトル束として，$i \colon X \to E$をゼロ切断とします．このとき，$\omega_{X/E}=i^!\bfk_E$は$r$次に集中していて，向き付け層$\or_{X/E}=H^r(\omega_{X/E})$は階数$1$の局所定数層となるのでした．このとき，Verdier双対性から
$$
\Gamma(X;\or_{X/E})
\simeq
\Hom_{\Dp(\bfk_X)}(\bfk_X,\omega_{X/E}[r])
\simeq
\Hom_{\Dp(\bfk_E)}(i_! \bfk_X,\bfk_E[r])
\simeq
H^r_X(E;\bfk)
$$
となります．実ベクトル束$E$の$\bfk$-向き付け，すなわち同形$\bfk_X \simto \or_{X/E}$は$\Gamma(X;\or_{X/E})$の元とみなせます．
$\pi \colon E \to X$を$\bfk$-向き付け可能な階数$r$の実ベクトル束として，$\mu_{X/E} \colon \bfk_X \simto \or_{X/E}$を$X$上の$\bfk$-向き付けとする．同形
$$
\Hom(\bfk_X,\or_{X/E}) \simeq \Gamma(X;\or_{X/E}) \simto H^r_X(E;\bfk)
$$
による$\mu_{X/E}$の像を$\tau_{E} \in H^r_X(E;\bfk)$と書き，向き付け$\mu_{X/E}$に付随する$E$のThom類と呼ぶ．
Thom類の定義とVerdier双対性から，向き付けられた実ベクトル束に関するThom同形は次の形で与えられることが分かります．
$\pi \colon E \to X$を$\bfk$-向き付けが与えられた階数$r$のベクトル束として，向き付けに対応するThom類を$\tau_E$とする．このとき，任意の$n \in \bbZ$に対して，射
$$
H^n(X;\bfk) \to H^{n+r}_X(E;\bfk), \ \alpha \mapsto \pi^* \alpha \cup \tau_E
$$
は同形である．
さて，Thom類をゼロ切断で底空間に引き戻すことでEuler類が定義されます．
$E$を$X$上の$\bfk$-向き付けが与えられたベクトル束として$i \colon X \to E$をゼロ切断とする．合成射
$$
H^r_X(E;\bfk) \to H^r(E;\bfk) \xrightarrow{i^*} H^r(X;\bfk)
$$
によるThom類$\tau_E$の像を$e_E$と書き，$E$のEuler類と呼ぶ．
Euler類を使って底空間とベクトル束からゼロ切断を除いた空間のコホモロジーをつなぐ次のGysin完全列が得られます．ベクトル束$\pi \colon E \to X$に対して，$\mathring{E}:=E \setminus X$でゼロ切断を除いた空間をあらわし，$\mathring{\pi}:=\pi|_{\mathring{E}}$と定めます．
$E$を$X$上の$\bfk$-向き付けが与えられたベクトル束とする．このとき，次の完全列が存在する：
\begin{xy}
\xymatrix@C=35pt{
\cdots \ar[r] & H^{n-r}(X;\bfk) \ar[r]^-{\cup e_E} & H^n(X;\bfk) \ar[r]^-{\mathring{\pi}^*} & H^n(\mathring{E};\bfk) \ar `[rd] `[l] `[dlll] `^r[dlll] [dll] & \\
& H^{n+1-r}(X;\bfk) \ar[r]^-{\cup e_E} & H^{n+1}(X;\bfk) \ar[r]^-{\mathring{\pi}^*} & H^{n+1}(\mathring{E};\bfk) \ar[r] & \cdots.
}
\end{xy}
完全三角
$$
\RG_X(E;\bfk_X) \to \RG(E;\bfk) \to \RG(\mathring{E};\bfk_{\mathring{E}}) \to \RG_X(E;\bfk_X)[1]
$$
のコホモロジーを取ると長完全列
\begin{xy}
\xymatrix@C=35pt{
\cdots \ar[r] & H^{n}_X(E;\bfk) \ar[r] & H^n(X;\bfk) \ar[r] & H^n(\mathring{E};\bfk) \ar `[rd] `[l] `[dlll] `^r[dlll] [dll] & \\
& H^{n+1}_X(E;\bfk) \ar[r] & H^{n+1}(X;\bfk) \ar[r] & H^{n+1}(\mathring{E};\bfk) \ar[r] & \cdots.
}
\end{xy}
が得られる．ここで1列目と2列目を次の同形で取り替えることを考える：
\begin{align}
\pi^*(\ast) \cup \tau_E & \colon H^{n-r}(X;\bfk) \simto H_X^n(E;\bfk), \\
i^* & \colon H^n(E;\bfk) \simto H^n(X;\bfk).
\end{align}
ここで，一つ目の同形はThom同形であり，二つ目の同形は定数層のホモトピー普遍性から得られる同形である．これらの同形を通してみると，合成射
$$
H^{n-r}(X;\bfk) \xrightarrow{\pi^*(\ast) \cup \tau_E} H^n_X(E;\bfk) \to H^n(E;\bfk) \xrightarrow{i^*} H^n(X;\bfk)
$$
は$\cup e_E$と等しい．また，合成$H^n(X;\bfk) \simto H^n(E;\bfk) \to H^n(\mathring{E};\bfk)$は$\mathring{\pi}^*$と等しいことも分かる．
Gysin完全列の応用として複素射影空間のコホモロジーを計算してみましょう．複素ベクトル束は実ベクトル束として見て標準的な$\bbZ$-向き付けを持つので，$\bbZ$係数のEuler類が定まることに注意します．簡単のため，以下ではカップ積$\alpha \cup \beta$をしばしば省略して$\alpha \beta$とも書いてしまいます．
$\CP^d$を$d$次元複素射影空間，$\U_d$を$\CP^d$上のトートロジー的複素直線束として，$e:=e_{\U_d} \in H^2(\CP^d;\bbZ)$をそのEuler類とする．このとき，次数付き環としての同形
$$
H^\bullet(\CP^d;\bbZ) \simeq \bbZ \oplus \bbZ e \oplus \dots \oplus \bbZ e^d
$$
が存在する．
$\CP^d$は$2d$次元の実多様体だから$n>2d$に対して$H^n(\CP^d;\bbZ)=0$である．Gysin完全列を考えると，任意の$n \in \bbZ$に対して完全列
$$
H^{n-1}(\mathring{\bbU}_d;\bbZ) \to H^{n-2}(\CP^d;\bbZ) \xrightarrow{\cup e} H^n(\CP^d;\bbZ) \xrightarrow{\mathring{\pi}^*} H^{n}(\mathring{\bbU}_d;\bbZ)
$$
が得られる．$\mathring{\bbU}_d$は$S^{2d+1}$とホモトピー同値なので
$$
H^n(\mathring{\bbU};\bbZ) \simeq
\begin{cases}
\bbZ & (n=0, 2d+1) \\
0 & (\text{otherwise})
\end{cases}
$$
となる．完全列と合わせると，射$H^{n-2}(\CP^d;\bbZ) \xrightarrow{\cup e} H^n(\CP^d;\bbZ)$は$2 \le n \le 2d$に対して同形である．さらに完全列
$$
0=H^{-1}(\CP^d;\bbZ) \to H^1(\CP^d;\bbZ) \to H^1(\mathring{\bbU}_d;\bbZ)=0
$$
から$H^1(\CP^d;\bbZ)=0$であり，連結性から$H^0(\CP^d;\bbZ) \simeq \bbZ$となる．ゆえに，上で見た$e$とのカップ積が誘導する同形を考えれば結論が得られる．
任意の上と同様の議論で次が示せる．
$\RP^d$を$d$次元実射影空間，$\U_d$を$\RP^d$上のトートロジー的実直線束として，$e:=e_{\U_d} \in H^1(\RP^d;\bbZ/2\bbZ)$をそのEuler類とする．このとき，次数付き環としての同形
$$
H^\bullet(\RP^d;\bbZ/2\bbZ) \simeq \bbZ/2\bbZ \oplus \bbZ/2\bbZ e \oplus \dots \oplus \bbZ/2\bbZ e^d
$$
が存在する．
さて，ベクトル束の向き付けおよびEuler類に関する性質を証明なしに述べておきます．
(i) $E$を$X$上のベクトル束，$f \colon Y \to X$を連続写像とする．このとき，同形$f^{-1} \or_{X/E} \simto \or_{Y/f^*E}$が存在し，$X$上の$E$の$\bfk$-向き付けは$Y$上の$f^*E$の$\bfk$-向き付けを誘導する．この向き付けのもとで，等式
$$
e_{f^*E}=f^*e_E
$$
が成り立つ．
(ii) $E,E'$を$X$上のベクトル束とする．このとき，同形$\or_{X/E} \otimes \or_{X/E'} \simto \or_{X/E \oplus E'}$が存在し，$X$上の$E$と$E'$の$\bfk$-向き付けは$E \oplus E'$の$\bfk$-向き付けを誘導する．この向き付けのもとで，等式
$$
e_{E \oplus E'}=e_E \cup e_{E'}
$$
が成り立つ．
Leray-Hirschの定理
位相空間$X$に対して
$$
H^\bullet(X;\bfk):=\bigoplus_{n \in \bbZ} H^n(X;\bfk)
$$
と定めて，次数付き環とみなします．次のLeray-Hirschの定理は，コホモロジー類たちが各ファイバー$f^{-1}(x)$においてコホモロジーの$\bfk$加群としての基底をなしているならば大域的にも$H^\bullet(X;\bfk)$加群としての基底をなすという主張です．これは局所から大域という主張なのでいかにも層理論と相性が良さそうですが，実際に層の導来圏における議論で簡単に証明が得られます．
$f \colon Y \to X$を固有写像とし，$\beta_1 \in H^{n_1}(Y;\bfk), \dots, \beta_k \in H^{n_k}(Y;\bfk)$をコホロモジー類とする．任意の$x \in X$に対して$\beta_1|_{f^{-1}(x)}, \dots, \beta_k|_{f^{-1}(x)}$が$\bfk$上の加群$H^\bullet(f^{-1}(x);\bfk)$の基底をなすと仮定する．このとき，$\beta_1,\dots,\beta_k$は左$H^\bullet(X;\bfk)$加群$H^\bullet(Y;\bfk)$の基底をなす．ここで左$H^\bullet(X;\bfk)$加群の構造は
$$
H^\bullet(X;\bfk) \times H^\bullet(Y;\bfk) \to H^\bullet(Y;\bfk), \ (\alpha, \beta) \mapsto f^*\alpha \cup \beta
$$
で定まる．
$H^n(Y;\bfk) \simeq \Hom_{\Dp(\bfk_X)}(\bfk_X[-n], Rf_*\bfk_Y)$であるから，$\beta_i$は射
$$
\varphi_i \colon \bfk_X[-n_i] \to Rf_* \bfk_Y
$$
と同一視される．これらの直和として射
$$
\varphi \colon \bigoplus_{i=1}^k \bfk_X[-n_i] \to Rf_* \bfk_Y
$$
が定まる．$f$が固有写像であることから，任意の$x \in X$に対して$(Rf_*\bfk_Y)_x \simeq \RG(f^{-1}(x);\bfk_{f^{-1}(x)})$であり，茎に誘導される射
$$
\varphi_x \colon \bigoplus_{i=1}^k \bfk[-n_i] \to \RG(f^{-1}(x);\bfk_{f^{-1}(x)})
$$
はコホモロジーを取ると成分ごとに$\beta_1|_{f^{-1}(x)}, \dots, \beta_k|_{f^{-1}(x)}$に対応する射である．仮定から任意の$x \in X$に対して$\varphi_x$は導来圏$\Dp(\Mod(\bfk))$における同形なので，$\varphi$は$\Dp(\bfk_X)$における同形である．大域切断を取れば，同形
$$
\RG(X;\varphi) \colon \bigoplus_{i=1}^k \RG(X;\bfk_X)[-n_i] \simto \RG(X;Rf_* \bfk_Y) \simeq \RG(Y;\bfk_Y)
$$
が得られる．コホモロジーを取ると，この射は符号を除いて
$$
\bigoplus_{i=1}^k H^{\bullet-n_i}(X;\bfk) \simto H^\bullet(Y;\bfk), (\alpha_1,\dots,\alpha_k) \mapsto f^*\alpha_1 \cup \beta_1 + \dots f^*\alpha_k \cup \beta_k
$$
なる次数付きの射と一致することがチェックできるので結論が得られる．
証明では層の話にすることで茎での同形から大域的な同形を簡単に得ることができました．この定理がどのように使われるかは次の節で見てみましょう．
Chern類
$E$を$X$上の階数$r$の複素ベクトル束とします．このとき，$E$の射影化$P(E)$を
$$
P(E) :=
\{(x,l) \mid x \in X, \text{$l$は$E_x$内の複素直線} \}
$$
により定めます．$p \colon P(E) \to X$を標準的な射影とすると，$p$は固有写像でファイバーが$\CP^{r-1}$の射影束になります．さらに，$p^*E=P(E) \times_X E$の部分ベクトル束$U(E)$を
$$
U(E) := \{ (x,l,e) \mid \pi(e)=x, e \in l \}
$$
により定めて$q \colon U(E) \to P(E)$を標準的な射影とすると，これは$P(E)$上の複素直線束（トートロジー的複素直線束）となります．複素ベクトル束は$\bbZ$-向き付けを持つので，$U(E)$のEuler類$e_{U(E)} \in H^2(P(E);\bbZ)$が定まっています．特に，$X$上の複素直線束$L$に対しては$U(E) \simeq p^*L$であり，$q \colon U(L) \to P(L)$は$\pi \colon L \to X$と同形になることがチェックできるので，このときは$e_{U(L)}=p^*e_L$となることに注意しましょう．
$E$を$X$上の階数$r$の複素ベクトル束として，$\xi:=e_{U(E)} \in H^2(P(E);\bbZ)$を$U(E)$のEuler類とする．このとき，$H^\bullet(P(E);\bbZ)$は$H^\bullet(X;\bbZ)$上の階数$r$の自由加群であり，$1,\xi,\dots,\xi^{r-1}$がその基底をなす．
複素射影空間のコホモロジー環の計算（命題3）から，$e=e_{\bbU_{r-1}}$を$\CP^{r-1}$上のトートロジー的複素直線束$\bbU_{r-1}$のEuler類として次数付き環の同形
$$
H^\bullet(\CP^{r-1};\bbZ) \simeq \bbZ \oplus \bbZ e \dots \oplus \bbZ e^{r-1}
$$
が得られる．$x \in X$に対して標準的な同形$U(E)|_{p^{-1}(x)} \simeq \bbU_{r-1}$を通して，$\xi|_{p^{-1}(x)}=e_{\bbU_{r-1}}$が成り立つ．ゆえに，任意の$x \in X$に対して$1,\xi|_{p^{-1}(x)}, \dots, \xi^{r-1}|_{p^{-1}(x)}$は$\bbZ$上の加群$H^\bullet(p^{-1}(x);\bbZ)$の基底をなす．ゆえに，Leray-Hirschの定理（定理5）により結論が得られる．
上の命題により$\xi^r \in H^{2r}(P(E);\bbZ)$は$1,\xi,\dots,\xi^{r-1}$の$H^\bullet(X;\bbZ)$上の線形結合として一意的にあらわせるので次のように定義することができます．
$E$を$X$上の階数$r$の複素ベクトル束として，$\xi:=e_{U(E)} \in H^2(P(E);\bbZ)$を$U(E)$のEuler類とする．このとき，コホモロジー類$c_n(E) \in H^{2n}(X;\bbZ) \ (n=1,\dots r)$を
$$
\xi^r-p^* c_1(E) \xi^{r-1} + p^*c_2(E) \xi^{r-2} - \dots +(-1)^r p^* c_r(E) =0
$$
により定めて，$c_0(E)=1, c_n(E)=0 \ (n \not\in [0,r])$と約束する．このコホモロジー類$c_n(E)$を$E$の$n$次Chern類と呼ぶ．また，
$$
c(E):=\sum_{n \in \bbZ} c_n(E) \in H^\bullet(X;\bbZ)
$$
と定めて，これを$E$の全Chern類と呼ぶ．
$c(E)$は$H^\bullet(X;\bbZ)$の可換部分代数$H^\mathrm{ev}(X;\bbZ):=\bigoplus_{n \in \bbZ} H^{2n}(X;\bbZ)$の元となっています．
実ベクトル束に対しても同様にしてStiefel-Whitney類が定義される．実際，以下のように向き付けを得るために係数を$\bbZ/2\bbZ$にして構成すればよい．
任意の$\bbZ/2\bbZ$係数の階数$1$の局所定数層は定数層であることから，任意の階数$r$の実ベクトル束$E$は$\bbZ/2\bbZ$-向き付け可能であり，$\bbZ/2\bbZ$係数の$E$のトートロジー的実直線束$U(E)$のEuler類$\xi:=e^{\bbZ/2\bbZ}_U(E) \in H^1(P(E);\bbZ/2\bbZ)$が定まる．上の議論と全く同様にして$H^\bullet(P(E);\bbZ/2\bbZ)$は$H^\bullet(X;\bbZ/2\bbZ)$上の階数$r$の自由加群であり，$1,\xi, \dots, \xi^{r-1}$がその基底をなすので
$$
\xi^r+p^* w_1(E) \xi^{r-1} + p^*w_2(E) \xi^{r-2} + \dots + p^* w_r(E) =0
$$
によってコホモロジー類$w_n(E) \in H^n(X;\bbZ/2\bbZ)$が定まる．
さて，Chern類の性質について調べていきましょう．最初の二つはベクトル束の引き戻しと直和に関してChern類がうまく振る舞うという主張です．
(i) 自然性：$E$を$X$上のベクトル束，$f \colon Y \to X$を連続写像とする．このとき，等式
$$
c(f^*E)=f^*c(E)
$$
が成り立つ．
(ii) Whitney和公式：$E,E'$を$X$上のベクトル束とする．このとき，等式
$$
c(E \oplus E') = c(E) \cup c(E')
$$
が成り立つ．すなわち，任意の$n \in \bbZ$に対して
$$
c_n(E \oplus E') = \sum_{k=0}^n c_k(E) \cup c_{n-k}(E')
$$
が成立する．
(i) ファイバー積
\begin{xy}
\xymatrix{
f^*E \ar[r]^-{\tilde{f}} \ar[d] & E \ar[d] \\
Y \ar[r]_-{f} & X
}
\end{xy}
から，射影化の間の射$P(\tilde{f}) \colon P(f^*E) \to P(E)$およびトートロジー的直線束の間の射$U(\tilde{f}) \colon U(f^*E) \to U(E)$が誘導される．このとき，同形$U(f^*E) \simeq U(\tilde{f})^*U(E)$が成立することがチェックできる．したがって，等式
$$
\xi_{f^*E}=e_{U(f^*E)}=e_{U(\tilde{f})^*U(E)}=P(\tilde{f})^*e_{U(E)} = P(\tilde{f})^*\xi_E
$$
が成り立つ．Chern類の定義より
$$
\xi_E^r-p_X^*c_1(E) \xi_E^{r-1}+p_X^*c_2(E)\xi_E^{r-2}-\dots+(-1)^r p_X^* c_r(E)=0
$$
であるが，この両辺に$P(\tilde{f})^*$を作用させて$p_X \circ P(\tilde{f})=f \circ p_Y$を用いると
$$
\xi_{f^*E}^r-p_Y^* f^* c_1(E) \xi_{f^*E}^{r-1}+p_Y^* f^* c_2(E)\xi_{f^*E}^{r-2}-\dots+(-1)^r p_Y^* c_r(E)=0
$$
が成り立つ．よって，Chern類の定義より$c_n(f^*E)=f^*c_n(E)$が成り立つ．
(ii) $E$の階数を$r$，$E'$の階数を$s$として$H^\bullet(P(E \oplus E');\bbZ)$の元$\alpha, \beta$を
\begin{align}
\alpha & := \sum_{j=0}^r (-1)^j p^* c_j(E) \xi_{E \oplus E'}^{r-j} \\
\beta & := \sum_{k=0}^s (-1)^k p^* c_k(E') \xi_{E \oplus E'}^{s-k}
\end{align}
と定める．すると，Chern類の定義により$\alpha$を$P(E)$に引き戻すと$0$であり，$\beta$を$P(E \oplus E') \setminus P(E)$に引き戻すと$0$であることがチェックできる．よって，
\begin{align}
0 & = \alpha \cup \beta \\
& =
\sum_{j=0}^r \sum_{k=0}^s (-1)^{j+k} p^*(c_j(E) \cup c_k(E')) \xi_{E \oplus E'}^{r+s-j-k} \\
& =
\sum_{n=0}^{r+s}(-1)^{n} p^* \left( \sum_{k=0}^n c_n(E) \cup c_{n-k}(E') \right) \xi_{E \oplus E'}^{r+s-n}
\end{align}
となるから，Chern類の定義より結論が得られる．
次のようにChern類は自明な部分ベクトル束を持つかに関係します．
$E$を$X$上の階数$r$の複素ベクトル束とする．$E$が階数$s$の自明な部分ベクトル束$E'$を持つならば，$c_n(E)=0 \ (n>r-s)$である．特に，$E$が自明なベクトル束ならば$c(E)=1$である．
まず，$E$が自明なベクトル束の場合を考える．このとき，$a_X \colon X \to \pt$を一点への射として$E \simeq a_X^* \bbC^r$なので，自然性より$c(E)=a_X^*c(\bbC^r)$となる．$H^\bullet(\CP;\bbZ)$において$(e_{\bbU_{r-1}})^r=0$であるから，定義から$c(\bbC^r)=1$が得られる．
次に命題の条件を仮定する．このとき，直和分解$E \simeq E' \oplus E/E'$が成立するので，Whitney和公式から
$$
c(E)=c(E') \cup c(E/E')
$$
が得られる．よって，$c(E')=1$であることと$E/E'$が階数$r-s$のベクトル束であることから結論が得られる．
次に最高次のChern類がEuler類に等しいことを示したいのですが，これは次の分裂原理によって複素直線束の場合に帰着して示すことができます．
$E$を$X$上の階数$r$の複素ベクトル束とする．このとき，固有写像$f \colon Y \to X$であって次の二つの条件を満たすものが存在する：
(1) $f^* \colon H^\bullet(X;\bbZ) \to H^\bullet(Y;\bbZ)$は単射である．
(2) $Y$上の複素直線束$L_1,\dots,L_r$が存在して，$f^*E \simeq L_1 \oplus \dots \oplus L_r$を満たす．
$r$に関する帰納法で示す．$r=1$の場合は示すことはない．階数が$r-1$の場合に正しいと仮定する．$p \colon P(E) \to X$は固有写像であり，命題6から$p^* \colon H^\bullet(X;\bbZ) \to H^\bullet(P(E);\bbZ)$は単射である．構成からトートロジー的複素直線束$U(E)$は$p^*E=E \times_X P(E)$の部分直線束であり，$E':=p^*E/U(E)$とすると$P(E)$上のベクトル束としての直和分解
$$
p^*E \simeq E' \oplus U(E)
$$
が得られる．$E'$は$P(E)$上の階数$r-1$の複素ベクトル束であるから帰納法の仮定により，固有写像$g \colon Y \to P(E)$であって命題の二条件を満たすものが存在する．よって，$f:=p \circ g$とすればよい．
この分裂原理の何がうれしいかは次の命題の証明を見ると理解できます．一言で言うと初めから複素ベクトル束が複素直線束の直和になっているとしてよいということです．
$E$を$X$上の階数$r$の複素ベクトル束とする．このとき，$E$の$r$次のChern類は$E$を実ベクトル束として見たときのEuler類に一致する：
$$
c_r(E)=e_E \ \in H^{2r}(X;\bbZ).
$$
分裂原理により固有写像$f \colon Y \to X$であって次の二つの条件を満たすものが存在する：
(1) $f^* \colon H^\bullet(X;\bbZ) \to H^\bullet(Y;\bbZ)$は単射である．
(2) $Y$上の複素直線束$L_1,\dots,L_r$が存在して，$f^*E \simeq L_1 \oplus \dots \oplus L_r$を満たす．
すると，Chern類の自然性とWhitney和公式より
$$
f^*c(E) = c(f^*E) = c(L_1 \oplus \dots \oplus L_r) = c(L_1) \cdots c(L_r)
$$
となる．一方で，Euler類の引き戻しに関する自然性と和の公式により
$$
f^*e_E = e_{f^*E} = e_{L_1} \cdots e_{L_r}
$$
である．$f^* \colon H^\bullet(X;\bbZ) \to H^\bullet(Y;\bbZ)$は単射なので，複素直線束に対して命題の主張を確かめればよい．$L$を$X$上の複素直線束とすると，$e_{U(E)}=p^*e_L$だったので，Chern類の定義から$c_1(L)=e_L$である．
最後にChern類の公理についても述べておきます．
上で見たようにChern類は次の公理を満たす．
(i) 自然性：$X$上の複素ベクトル束$E$と連続写像$f \colon Y \to X$に対して，
$$
c(f^*E)=f^*c(E).
$$
(ii) 加法性：$X$上の複素ベクトル束$E$と$E'$に対して，
$$
c(E \oplus E') = c(E) \cup c(E').
$$
(iii) 正規化：$X$上の複素直線束$L$に対して，
$$
c(L)=1+e_L.
$$
逆にベクトル束に対してコホモロジーを対応させる写像$c$が上の三つの公理を満たすならば$c(E)$は$E$の全Chern類である．
（一意性の証明）$c$と$c'$を上の公理を満たす写像とする．$E$を$X$上の階数$r$の複素ベクトル束とすると，分裂原理により固有写像$f \colon Y \to X$であって次の二つの条件を満たすものが存在する：
(1) $f^* \colon H^\bullet(X;\bbZ) \to H^\bullet(Y;\bbZ)$は単射である．
(2) $Y$上の複素直線束$L_1,\dots,L_r$が存在して，$f^*E \simeq L_1 \oplus \dots \oplus L_r$を満たす．
これより，
\begin{align}
f^*c(E)
& = c(f^*E) \\
& = c(L_1 \oplus \dots \oplus L_r) \\
& = c(L_1) \cdots c(L_r) \\
& = (1+e_{L_1}) \cdots (1+e_{L_r}) \\
& = c'(L_1) \cdots c'(L_r) \\
& = \dots = f^*c'(E)
\end{align}
が得られる．ここで，一つ目の等式に自然性，三つめの等式に加法性，四つめの等式に正規化の条件を用いた．$f^*$の単射性により$c(E)=c'(E)$を得る．
上で何回か使った議論のように，$f^*$の単射性を用いて初めから$E$は複素直線束の直和$L_1 \oplus \dots \oplus L_r$となっているとしてよいわけです．このとき，全Chern類は
$$
(1+c_1(L_1)) \cdots (1+c_1(L_r))
$$
となっていますが，$c_1(L_i) \ (i =1,\dots, r)$たちは$E$のChern根と呼ばれます．つまり，$c_n(E)$は$\prod_{i=1}^r(1+x_i)$の$n$次斉次部分$S_{r,n}(x_1,\dots,x_r)$において$x_i$にChern根$c_1(L_i)$を代入したものです．べき級数$P(x_1,\dots,x_r) \in \bbQ[[x_1,\dots,x_r]]$は$x_1,\dots,x_r$について対称のとき$S_{r,n}(x_1,\dots,x_r)$の多項式で一意的にあらわせるので，$P$において$x_i$にChern根$c_1(L_i)$を代入してコホモロジー類$c_P(E)$を定めることができます．このようにして，$e^{x_1}+\dots+e^{x_r}$や$\frac{x_1}{1-e^{x_1}} \cdots \frac{x_r}{1-e^{x_r}}$にChern根を代入してChern指標やTodd類が得られます．これらがHirzebruch–Riemann–Rochの定理やGrothendieck–Riemann–Rochの定理につながっていきますが，これ以上はここでは説明しません．興味のある方は参考文献にあるSchneidersの"Introduction to characteristic classes and index theory"や「層の導来圏と特性類」などを参照してください．
まとめ
この節では層理論の観点から
- Borel-Mooreホモロジー・カップ積・キャップ積
- Thom類・Euler類
- Leray-Hirschの定理
- Chern類・分裂原理
について説明しました．
参考文献
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