層に対する演算4（台の切り落としと相対コホモロジー）

台の切り落としと相対コホモロジー

この節ではGrothendieckの六演算には含まれていないものの便利な二つの演算について説明しておきましょう．

台の切り落とし操作

局所閉部分集合の包含写像の固有順像を考えることで，茎が全く染み出さないように全体に広げるゼロ拡張が考えられたのでした．これを制限と合成することで次を定義します．

特異空間$S$があったとき，これを多様体$X$に$i \colon S \hookrightarrow X$と閉に埋め込んで$\bbZ_S = i_*\bbZ_S \in \Sh(X)$を考えれば，$H^n(X;\bbZ_S) \simeq H^n(S;\bbZ_S)$なので$X$上の層のコホモロジーとして$S$のコホモロジーを取り出すことができます．実際，$0 \to \bbZ_S \to I^\bullet$を$\Sh(S)$における入射分解（または脆弱分解）とすると，$0 \to \bbZ_S \to i_*I$は$\Sh(X)$における入射分解（または脆弱分解）だから上の同形が成り立ちます．

例えば固有基底変換を使うことで，二つの$X$の局所閉部分集合$Z, Z'$に対して$(F_Z)_{Z'} \simeq F_{Z \cap Z'}$となることが分かります．閉部分集合の包含写像$i \colon Z \hookrightarrow X$に対しては$F_Z \simeq i_*i^{-1}F$なので，随伴から定まる自然な層の射$F \to F_Z$が存在します．この射は$Z$上の茎では恒等写像を誘導するものです．一方で開部分集合の包含写像$j \colon U \hookrightarrow X$に対しては，ゼロ拡張と制限の随伴から定まる自然な層の射$F_U \to F$が存在します．これも$U$上の茎では恒等写像を誘導します．つまり，閉の場合は大きい方から小さい方に射があり，開の場合は小さい方から大きい方に射があります．これらの閉・開と射の向きはプロもときどき間違えるものですが，どちらかの随伴を思い出してやることですぐにどっち向きか判断できます（ちなみに筆者は閉の場合の随伴を思い出して開は逆だとやっています）．これらの誘導された射について次の完全列たちが存在します．一つ目は切除・二つ目と三つ目はMayer-Vietorisの層理論版だと思うことができます．

こうして，層のレベルで切除やMayer-Vietorisを考えることで，ある意味で「仮想的に」空間を切ったり貼ったりというような操作ができることが層理論の良いところの一つだと思います．

相対（局所）コホモロジー

ここでは位相空間の対のコホモロジーの層バージョンである相対コホモロジーというものについて説明します．まずモチベーションについて話します．

$X$の開部分集合$U$，$F \in \Sh(X)$を$X$上の層とします．このとき，制限写像$\Gamma(X;F) \to \Gamma(U;F)$に興味があるとしましょう．例えば，$U$上の切断を$X$上に延ばせるか？・延ばせる際にそれは一意か？などに興味があることがあります．もっと一般に任意の$n \in \bbZ_{\ge 0}$に対して，コホモロジーの間に写像$H^n(X;F) \to H^n(U;F)$が誘導されています．実際，$F$の入射分解$0 \to F \to I^\bullet$を取れば，補題4より$0 \to F|_U \to I^\bullet|_U$は$F|_U$の入射分解で，制限写像$\Gamma(X;I^\bullet) \to \Gamma(U;I^\bullet|_U)$がコホモロジーにも制限写像を引き起こします．$U$上のコホモロジー類を$X$上に延ばせるか？・それは一意か？を調べるためにこれらの写像に興味があるとします．これは写像に関する問いですが，この問いを調べることができる対象があったら嬉しいと思いませんか？これを可能にするのが相対コホモロジーというものです．結論からいうと$Z=X \setminus U$として$H^n_Z(X;F)$というアーベル群を定めて，長完全列
\begin{xy} \xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0_Z(X;F) \ar[r] & \Gamma(X;F) \ar[r] & \Gamma(U;F) \ar `[rd] `[l] `[dlll] `^r[dll]^{\delta^0} [dll] & \\ & H^1_Z(X;F) \ar[r] & H^1(X;F) \ar[r] & \cdots & \\ & & \cdots \ar[r] & H^{n-1}(U;F) \ar `[rd] `[l] `[dlll] `^r[dll]^{\delta^{n-1}} [dll] & \\ & H^n_Z(X;F) \ar[r] & H^n(X;F) \ar[r] & H^n(U;F) \ar `[rd] `[l] `[dlll] `^r[dlll]^{\delta^n} [dll] & \\ & H^{n+1}_Z(X;F) \ar[r] & \cdots & & } \end{xy}
が得られます．すると，$H^n_Z(X;F)$たちを見ることでコホモロジーに誘導される制限写像が単射・全射・同形かが分かるという仕組みになります．このように射に関する情報をエンコードする対象があると嬉しいわけです．

より一般に$Z$を$X$の局所閉部分集合，$F \in \Sh(X)$として，$H^n_Z(X;F)$を定義しましょう．まず$0$次について$\Gamma_Z(X;F)$を定めて，その右導来函手として$H^n_Z(X;F)$を定めます．$Z$を閉部分集合として含む$X$の開部分集合$U$を取って，
$$ \Gamma_Z(U;F) := \Ker (\rho_{U \setminus Z, U} \colon \Gamma(U;F) \to \Gamma(U \setminus Z;F)) $$
と定めます．すなわち，$U$上の$F$の切断$s$であって$\supp(s) \subset Z$となるものです．上で見た長完全列の最初の部分がほしいので，このように定義しました．$Z$を閉部分集合として含む$V \subset U$を取ってくると，制限写像から誘導される自然な写像$\Gamma_Z(U;F) \to \Gamma_Z(V;F)$は同形になります．実際，単射は切断の台が$Z$に含まれていることから，全射は$U \setminus Z$で$0$として貼り合わせれば良いからです．したがって，$\Gamma_Z(U;F)$は$Z$を閉部分集合として含む$X$の開部分集合$U$の取り方によらないので，これを$\Gamma_Z(X;F)$と書きます．$\Gamma_Z(X;F)$は$\Gamma(U;F)$の部分加群であることから，函手$\Gamma_Z(X;\ast) \colon \Sh(X) \to Ab$は左完全函手です．また，$U \mapsto \Gamma_{Z \cap U}(U;F)$という対応は$X$上の層を定めることがチェックできます．

定義から$\Gamma(X;\Gamma_Z(F)) \simeq \Gamma_Z(X;F)$となります．函手$\Gamma_Z \colon \Sh(X) \to \Sh(X), F \to \Gamma_Z(F)$も左完全函手となることが分かるので，その右導来函手$R^n\Gamma_Z$も考えることができ$H^n_Z:=R^n\Gamma_Z$と書きます．これらの函手について基本的な性質をまとめておきましょう．

脆弱層に対しては次もすぐにチェックできます．

上の補題の(i)を使えば，(ii)-(iv)の大域切断を取ったものも完全列となることに注意しましょう．台の切り落としのときとは逆で，閉の場合は小さい方から大きい方に射があり，開の場合は大きい方から小さい方に射があることにも注意します．

さて，左完全函手の右導来函手は入射分解を取って，そこに函手を施してコホモロジーを取るのでした．入射的層は脆弱なので，$F \in \Sh(X)$に対して入射分解$0 \to F \to I^\bullet$を取り，例えば上の補題の(ii)を使うと
$$ 0 \to \Gamma_{Z'}(X;I^\bullet) \to \Gamma_Z(X;I^\bullet) \to \Gamma_{Z \setminus Z'}(X;I^\bullet) \to 0 $$
は複体の完全列になります．ここから，相対コホモロジーの長完全列
\begin{xy} \xymatrix{ 0 \ar[r] & \Gamma_{Z'}(X;F) \ar[r] & \Gamma_Z(X;F) \ar[r] & \Gamma_{Z \setminus Z'}(X;F) \ar `[rd] `[l] `[dlll] `^r[dll]^{\delta^0} [dll] & \\ & H^1_{Z'}(X;F) \ar[r] & H^1_Z(X;F) \ar[r] & \cdots & \\ & & \cdots \ar[r] & H^{n-1}_{Z \setminus Z'}(X;F) \ar `[rd] `[l] `[dlll] `^r[dll]^{\delta^{n-1}} [dll] & \\ & H^n_{Z'}(X;F) \ar[r] & H^n_Z(X;F) \ar[r] & H^n_{Z \setminus Z'}(X;F) \ar `[rd] `[l] `[dlll] `^r[dlll]^{\delta^n} [dll] & \\ & H^{n+1}_{Z'}(X;F) \ar[r] & \cdots & & } \end{xy}
が得られます．$Z=X$の場合が最初にほしいと言った長完全列でした．(iii), (iv)を使えばMayer-Vietoris長完全列の類似が得られます．

さて，相対コホモロジーの層を使うことで上で得た切断の長完全列を局所的に見ることもできます．例えば$X=\bbR^2, Z=\{ (x,y) \in \bbR^2 \mid y \ge 0 \}, U:=X \setminus Z$，$F \in \Sh(X)$としてみます．もし，相対コホモロジーの層$H^n_Z(F)$の$0 =(0,0) \in X$での茎が$H^n_Z(F)_0 =0 \ (n \in \bbZ_{\ge 0})$を満たしたとしましょう．すると，長完全列で帰納極限を取ることで
$$ 0= \varinjlim_{0 \in B} H^n_Z(B;F) \to \varinjlim_{0 \in B} H^n(B;F) \simto \varinjlim_{0 \in B} H^n(U \cap B;F) \to \varinjlim_{0 \in B} H^{n+1}_Z(B;F)=0 $$
という同形が得られます．これは何を言っているかというと$U=\{(x,y) \in \bbR^2 \mid y <0\}$上の任意のコホモロジー類は$0$の近傍に一意に拡張できるということです．これは$0$において$(0,1)$の方向に一意に拡張できると思うことができます（$(0,1)$の方向に「解析接続できる」という気持ち）．それなら$Z$を他の半空間にすれば色々な方向への一意拡張可能性を調べられると思いませんか？これが超局所層理論で重要な道具であるマイクロ台の考え方そのものなのです！詳しくはまた今度説明します．

まとめ

この節では

• 台の切り落とし
• 相対コホモロジー
• 台の切り落とし函手と相対コホモロジー函手の随伴

について説明しました．