ふと気になる電磁波にまつわる話を書いていきます。

電磁波とは何がどのように振動する波なのか？

電磁波をざっくり説明すると、電場や磁場が波のように進む現象です。
あぁそうなのかで終わらず、そもそも「波」とは何かについて考えましょう。


# 波とは？
水を例にとって考えましょう。
例えばお風呂の水に何も変化がないとき、ただ平坦な液体があるだけです。

そこに指をちょんとつければ、うねうねした水が広がりますね。
このうねうねが波です。

このように、波は振動している様子が伝わっているだけであって、
新しい物質が突然出現しているわけではないのです。

つまり「波」とは**物質**ではなく**現象**ですよね。

これと同様に電磁波は電磁波という物質はでなく電磁気における波という**現象**なんです。

電磁波には大きな特徴があります。
それは媒質がないことです。

先ほどの水の波で言えば、媒質は水、
地震であれば大地、
音であれば空気ですよね。
これらの物質の振動が伝播していきます。

しかし、電磁波は振動している物質と言うものはありません。
では何が振動しているのかというと、先ほど言った電場や磁場なのです。

# 場とは？
ここで新しい**場**というものが出てきました。
我々になじみ深い重力を例にとってこの場について考えましょう。

重力は何も触れていないのに力が働きます。
ではなぜ力が働くのでしょうか。
物理学ではこの問いに答えるために**場**と言う概念を導入しました。

「場」の中に「その場を感じ取るもの」があれば、「力」をそれが受けます。
「重力場」の中に「質量を持つ物体」があれば、「重力」をその物体が受けます。

重力場というものを皆さんの目で直接確認することは出来ませんが、
その重力場内に質量のある物体を置けば、その物体は重力を受けるので落下するので、
そこで初めてそこに重力場があると認識できます。

電場も同様です。
電場もそこに電荷を持つ物体を置けば静電気力を受けます。
ただし目には見えません。

場とは力を発生させるフィールド、まさに**場**なのです。


# 電波とは？
ここで電磁波の話に戻りましょう。
電磁波とは電場・磁場の振動の伝播でした。

電波に的を絞って話をすると、
何か目には見えないけれども、電場というものが波打って伝播してくる
そして、そこに電荷を持つ物体があればそれが突然力を受ける
そういった現象を引き起こすものが電波です。

詳細は省きますが、電波は磁波を伴って振動するので、電磁波とまとめて言ったりします。


# 電磁波の利用
電磁波を利用したものに電子レンジがあります。
電子レンジは内部に電磁波を飛ばし、
その振動が食品の水分子に影響を及ぼし水分子が振動します。
その振動が熱に変換され食品が温まります。

*<span style="font-size:75%;">※水分子は極性（電気的な偏り）を持つので、分子単体で電場の影響を受けます。
例えば水道水をゆっくり流して、その水流に静電気を持った棒を近づけると水流が曲がります。</span>*

通信技術に利用されます。
情報を電波の振動に変換し、
その電波を飛ばし、アンテナでその振動をキャッチします。
電波がアンテナを通過することで、内部の電場が振動します。
するとその電場内にある電子が力を受け振動します。
その振動を信号としてデバイスが解析し目的に沿った動作をします。

その他にも電磁波には様々な性質があり、様々な場面で利用されています。
興味のある方は是非色々調べてみてください。

電磁波の媒質ってなんでしょう？


# 概要
電磁波がなぜ存在すると言えるか？
これは実験すればわかります。
空間のあらゆる場所に点電荷を置き、その様子を見ればきっとその電荷達は波打ちます。

理論的な立場で言えば、
「**マクスウェル方程式を変形していくと、波動方程式にたどり着くから**」
となります。
マクスウェル方程式の解は電場や磁場の具体的な描像を表し、また波動方程式の解はまさに波の性質を表すので、電磁波の存在が言えます。

歴史的には電磁波現象を先に見たのではなく、理論的に予言されていました。

# 導出の道筋
導出の道筋は以下のような感じです。

1. 真空中のマクスウェル方程式のうち、マクスウェル・アンペールの式と電磁誘導を表す式から電場のみの式にする。
2. ベクトル解析の公式とマクスウェル方程式のガウスの法則から電場に対してラプラシアン（空間の２階微分）を作る。
これで以下のような波動方程式になることを示す。
$$
\begin{equation}
\TextCenter
\partial_t^2 \phi = v^2\partial_i\partial_i\phi
\end{equation}
$$
※$\partial_t$は時間微分、$\partial_i$は空間微分を表す。
#　導出
##　マクスウェル方程式
マクスウェル方程式は成分表示形式で以下のように書けます。

&&&fml マクスウェル方程式
$$
\TextCenter
\begin{align*}
\partial_i E_i &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}\\
		\partial_i B_i &= 0 \\
		\epsilon_{ijk} \partial_i B_j - \varepsilon_0 \mu_0 \partial_tE_k &= \mu_0 i_k\\
		\epsilon_{ijk} \partial_i E_j + \partial_t B_k &= 0
	\end{align*}
$$
&&&
※同じ添え字が並んでいるときは和をとるというルールにします。
$$
\TextCenter
\sum_{i=1}^3A_iB_i \equiv A_iB_i
$$
この方程式は電荷や電流が存在している場合を表します。
電磁波は真空中で伝播するので、電荷$\rho$や電流$i_k$の存在しない場合の方程式で考えます。
&&&fml 真空のマクスウェル方程式
$$
\begin{align}
\TextCenter
\partial_i E_i = 0 \\
\partial_i B_i = 0 \\
\epsilon_{ijk} \partial_i B_j - \varepsilon_0 \mu_0 \partial_tE_k = 0\\
\epsilon_{ijk} \partial_i E_j + \partial_t B_k = 0
\end{align}
$$
&&&

## 電場の波動方程式（電波）
公式２の４番目の式に$\epsilon_{lkm}\partial_l$を作用させると、
$$
\TextCenter
\epsilon_{lkm}\epsilon_{ijk}\partial_l \partial_i E_j + \epsilon_{lkm}\partial_l \partial_t B_k = 0\qquad(*)
$$
となります。$(*)$の左辺、第２項目は上記、公式２の第３式を使うと
$$
\TextCenter
\begin{align*}
	 \epsilon_{lkm}\partial_l \partial_t B_k
	 &= \partial_t \epsilon_{lkm}\partial_l  B_k\\
	 &= \partial_t\varepsilon_0 \mu_0 \partial_tE_m\\
	 &= \varepsilon_0 \mu_0\partial^2_t E_m
\end{align*}
$$
のように書けます。また、第１項目は
&&&
$$
\begin{equation}
\TextCenter
\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl} \qquad(**)
\end{equation}
$$
&&&
という公式を用いて
$$
\begin{align*}
\TextCenter
\epsilon_{ijk}\epsilon_{lkm} \partial_l \partial_i E_j &=
 -\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} \partial_l \partial_i E_j \\
&= -(\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl})\partial_l \partial_i E_j \\
&= - (\partial_i \partial_i E_m - \partial_m \partial_j E_j)\\
&= -\partial_i \partial_i E_m
\end{align*}
$$
となります。（マクスウェル方程式の $\partial_j E_j = 0$ を最後に使いました。）
従って$(*)$の式は、
$$
\TextCenter
\begin{align*}
 \partial^2_t E_m = \frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}\partial_i\partial_i E_m 
\end{align*}
$$
と書けます。この式はまさに**波動方程式の形**になっています。従ってこの方程式の解は電場$E$が波の振る舞い（電波）をすることがわかります。

## 磁場の波動方程式（磁波）
同様の方法で、磁場についても波動方程式の形に変形できます。
公式２の第４式に$\partial_t$を作用させると、左辺について
$$
\TextCenter
\begin{align}
\epsilon_{ijk}\partial_i\partial_tE_j + \partial_t^2 B_k
&= 
\epsilon_{ijk}\partial_i\left(\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} \epsilon_{lmj}\partial_l B_m\right)  + \partial_t^2 B_k\\
&=
\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}\epsilon_{ijk} \epsilon_{lmj}\partial_i\partial_l B_m  + \partial_t^2 B_k\\
&=
-\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}
\epsilon_{ikj} \epsilon_{jlm}
\partial_i\partial_l B_m  + \partial_t^2 B_k\\
&=
-\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}(\delta_{il}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{kl})\partial_i\partial_l B_m  + \partial_t^2 B_k\\
&=
-\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}
(\partial_l\partial_l B_k-\partial_m\partial_k B_m)
+ \partial_t^2 B_k\\
&=
-\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}
\partial_l\partial_l B_k
+ \partial_t^2 B_k
\end{align}
$$
となります。
最初のイコールは公式２の第３式、３つ目のレビ・チビタの添え字の入れ替えに伴う符号の変換、４つ目は$(**)$を使用、最後は公式２の第２式$\partial_mB_m=0$を使いました。
よって、公式２の第４式は
$$
\TextCenter
\begin{align}
&-\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}
\partial_l\partial_l B_k
+ \partial_t^2 B_k
=0\\
\Leftrightarrow
\qquad &\partial_t^2 B_k = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}
\partial_l\partial_l B_k
\end{align}
$$
となるので、磁場の式についても波動方程式になることがわかります。

電磁波が存在する数学的根拠は？

電磁波の性質を調べるためにまずは波の基本を解説していきます。
#波の基本式
&&&fml 波の式（波の変位）
$$
\TextCenter
y= A \sin 2\pi \, \frac{t}{T}\\ 
$$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $T$：周期
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $A$：変位
&&&
と高校で学びます。$\frac{t}{T}$で角度の割合を表し、$2\pi$をかけることで弧度法に変換しています。
例えば、$t=0.2T$の時、
$$
\TextCenter
2\pi\times\frac{0.2T}{T} = 2\pi \times 0.2 = 0.4 \pi
$$
となります。１周$2\pi$に対してその0.2倍の$0.4\pi$がその位相ということになります。
公式１は$x$に依存していないので、勝手に$x=0$での変位といってもいいですし、$x=x_0$での変位と定義してもよいです。
この式は時刻$t$の時にどのような変位になっているかを言っているだけです。
#進行波の式

&&&fml 波の式（進行波）
$$
\TextCenter
y = A\sin 2 \pi\left( \frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)
$$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\lambda$：波長
&&&
これも高校で習います。簡単にご説明します。
時刻$t$のとき、$x$地点で変位$y$の波は、原点から時間$t_0 = \frac{x}{v}$かけて届いた波です。したがって時刻を巻き戻すと、原点$x=0$では時刻$t-t_0$のときに変位が$y$です。つまり
$$
\TextCenter
\begin{align}
y&=A\sin2 \pi \frac{t-t_0}{T}\\
&=A\sin 2 \pi\left( \frac{t}{T}-\frac{x}{vT}\right)\\
&=A\sin 2 \pi\left( \frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)\\
\end{align}
$$
となります。
また、角振動数$\omega = \frac{2\pi}{T}$と波数$k = \frac{2\pi}{\lambda}$を使えば、
$$
\TextCenter
y = A\sin \left( \omega t-kx\right)
$$
と書けます。
##波数$k$
ここで高校では馴染みのない波数というものが出てきましたが、これは読んで字のごとく**波の数**と思ってもらってよいです。周期$T$の逆数が単位時間当たりの振動数となっているように、波長$\lambda$の逆数は単位長さ当たりの1波長分の波が何個あるかということに当たります。それに係数$2\pi$をかけたものという認識で差し障りないです。
#波の複素表記
位相の引数が反転していても、振幅$A$で調整できるので次のようにしてもOKです。
$$
\TextCenter
\begin{align}
y &= A\sin \left( \omega t-kx\right)\\
  &= -A\sin \left( kx - \omega t\right)\\
  &= A'\sin \left( kx - \omega t\right).
\end{align}
$$
この$A'$を再び$A$と読み替えれば位相の符号が反転していても波の式として成立しても良いことがわかります。
また、波動方程式を満たしていればよいので、これを複素化して計算処理した後、実部だけ考えたりすれば事足りるので、オイラーの公式$e^{i\theta}= \cos \theta + i \sin \theta$を使って以下のように書いてもOKです。
&&&fml 波の複素表記
$$
\TextCenter
\begin{align}
y = Ae^{i(kx-\omega t)}
\end{align}
$$
&&&
上の話とマッチさせるならこのように書く場合は虚部を見ることになります。
#3次元空間中の波
3次元空間を伝播する波は$x$をそのまま$\bm{x}$のようにベクトルとして扱えばOKです。但し、指数の肩の値はベクトルとして扱わないので、波数$k$も$\bm{k}$のように**波数ベクトル**として扱うようにします。

&&&fml 3次元空間上の波の複素表記
$$
\TextCenter
\begin{aligned}
y = Ae^{i(\bm{k}\cdot \bm{x}-\omega t)}
\end{aligned}
$$
&&&


波を数学的に記述する方法とは？

# 波の伝播
波が空間を伝わるということは波の速度というものが存在します。基本的には

電磁波とは何がどのように振動する波なのか？

概要

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