電磁波の方程式

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特大見出し

電磁波がなぜ存在すると言えるか？
これは実験すればわかります。
空間のあらゆる場所に点電荷を置き、その様子を見ればきっとその電荷達は波打ちます。

理論的な立場で言えば、
「マクスウェル方程式を変形していくと、波動方程式にたどり着くから」
となります。
マクスウェル方程式の解は電場や磁場の具体的な描像を表し、また波動方程式の解はまさに波の性質を表すので、電磁波の存在が言えます。

歴史的には電磁波現象を先に見たのではなく、理論的に予言されていました。

導出の道筋

導出の道筋は以下のような感じです。

真空中のマクスウェル方程式のうち、マクスウェル・アンペールの式と電磁誘導を表す式から電場のみの式にする。
ベクトル解析の公式とマクスウェル方程式のガウスの法則から電場に対してラプラシアン（空間の２階微分）を作る。
これで以下のような波動方程式になることを示す。
$$ \begin{equation} \partial_t^2 \phi = v^2\partial_i\partial_i\phi \end{equation} $$
※$\partial_t$は時間微分、$\partial_i$は空間微分を表す。

導出

マクスウェル方程式

マクスウェル方程式は成分表示形式で以下のように書けます。

マクスウェル方程式

$$ \begin{align*} \partial_i E_i &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \partial_i B_i &= 0 \\ \epsilon_{ijk} \partial_i B_j - \varepsilon_0 \mu_0 \partial_tE_k &= \mu_0 i_k\\ \epsilon_{ijk} \partial_i E_j + \partial_t B_k &= 0 \end{align*} $$

※同じ添え字が並んでいるときは和をとるというルールにします。
$$ \sum_{i=1}^3A_iB_i \equiv A_iB_i $$
この方程式は電荷や電流が存在している場合を表します。
電磁波は真空中で伝播するので、電荷$\rho$や電流$i_k$の存在しない場合の方程式で考えます。

真空のマクスウェル方程式

$$ \begin{align} \partial_i E_i = 0 \\ \partial_i B_i = 0 \\ \epsilon_{ijk} \partial_i B_j - \varepsilon_0 \mu_0 \partial_tE_k = 0\\ \epsilon_{ijk} \partial_i E_j + \partial_t B_k = 0 \end{align} $$

電場の波動方程式（電波）

公式２の４番目の式に$\epsilon_{lkm}\partial_l$を作用させると、
$$ \epsilon_{lkm}\epsilon_{ijk}\partial_l \partial_i E_j + \epsilon_{lkm}\partial_l \partial_t B_k = 0\qquad(*) $$
となります。$(*)$の左辺、第２項目は上記、公式２の第３式を使うと
$$ \begin{align*} \epsilon_{lkm}\partial_l \partial_t B_k &= \partial_t \epsilon_{lkm}\partial_l B_k\\ &= \partial_t\varepsilon_0 \mu_0 \partial_tE_m\\ &= \varepsilon_0 \mu_0\partial^2_t E_m \end{align*} $$
のように書けます。また、第１項目は

$$ \begin{equation} \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl} \qquad(**) \end{equation} $$

という公式を用いて
$$ \begin{align*} \epsilon_{ijk}\epsilon_{lkm} \partial_l \partial_i E_j &= -\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} \partial_l \partial_i E_j \\ &= -(\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl})\partial_l \partial_i E_j \\ &= - (\partial_i \partial_i E_m - \partial_m \partial_j E_j)\\ &= -\partial_i \partial_i E_m \end{align*} $$
となります。（マクスウェル方程式の $\partial_j E_j = 0$ を最後に使いました。）
従って$(*)$の式は、
$$ \begin{align*} \partial^2_t E_m = \frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}\partial_i\partial_i E_m \end{align*} $$
と書けます。この式はまさに波動方程式の形になっています。従ってこの方程式の解は電場$E$が波の振る舞い（電波）をすることがわかります。

磁場の波動方程式（磁波）

同様の方法で、磁場についても波動方程式の形に変形できます。
公式２の第４式に$\partial_t$を作用させると、左辺について
$$ \begin{align} \epsilon_{ijk}\partial_i\partial_tE_j + \partial_t^2 B_k &= \epsilon_{ijk}\partial_i\left(\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} \epsilon_{lmj}\partial_l B_m\right) + \partial_t^2 B_k\\ &= \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}\epsilon_{ijk} \epsilon_{lmj}\partial_i\partial_l B_m + \partial_t^2 B_k\\ &= -\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} \epsilon_{ikj} \epsilon_{jlm} \partial_i\partial_l B_m + \partial_t^2 B_k\\ &= -\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}(\delta_{il}\delta_{km}-\delta_{im}\delta_{kl})\partial_i\partial_l B_m + \partial_t^2 B_k\\ &= -\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} (\partial_l\partial_l B_k-\partial_m\partial_k B_m) + \partial_t^2 B_k\\ &= -\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} \partial_l\partial_l B_k + \partial_t^2 B_k \end{align} $$
となります。
最初のイコールは公式２の第３式、３つ目のレビ・チビタの添え字の入れ替えに伴う符号の変換、４つ目は$(**)$を使用、最後は公式２の第２式$\partial_mB_m=0$を使いました。
よって、公式２の第４式は
$$ \begin{align} &-\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} \partial_l\partial_l B_k + \partial_t^2 B_k =0\\ \Leftrightarrow \qquad &\partial_t^2 B_k = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} \partial_l\partial_l B_k \end{align} $$
となるので、磁場の式についても波動方程式になることがわかります。