アルティン・シュライアー理論

(i)$\Rightarrow$(ii)

　$\mathrm{Gal}(L/K)$の生成元を$\sigma$とおくと$L/K$の分離性からトレース
$${\mathrm{Tr}}_{L/K}=\sum _{i=0}^{p-1}{\sigma }^i:L\to K$$
は全射なので${\mathrm{Tr}}_{L/K}(x)=-1$なる$x\in L$が取れる。このとき
$$b=\sum _{i=0}^{p-1}i{\sigma }^i(x)$$
とおくと
$$\sigma (b)=\sum _{i=0}^{p-1}i{\sigma }^{i+1}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}(i-1){\sigma }^i(x)=b-{\mathrm{Tr}}_{L/K}(x)=b+1$$
が成り立ち、特に
$${\sigma }^i(b)=b+i(i=0,1,\dots ,p-1)$$
はそれぞれ異なる値を取るので$[K(b):K]=p=[L:K]$、つまり$L=K(b)$となる。
　また$a=\mathrm{\wp }(b)$とおくと
$$\sigma (a)=\mathrm{\wp }(\sigma (b))=\mathrm{\wp }(b+1)=\mathrm{\wp }(b)=a$$
よりこれは$\mathrm{Gal}(L/K)$の作用に対して不変なので$a\in K$となり$L=K({\mathrm{\wp }}^{-1}(a))$を得る。

(ii)$\Rightarrow$(i)

　$b\in {\mathrm{\wp }}^{-1}(a)$を根に持つ$K$上の多項式
$$f(x)=x^p-x-a=\prod _{i=0}^{p-1}(x-b-i)$$
の他の根は全て$L$に含まれるので$L/K$は正規拡大であり、また
$$f^{\prime }(x)=-1\ne 0$$
が成り立つので$f$は分離多項式であり、したがって$L/K$はガロア拡大となる。
　また$a\notin \mathrm{\wp }(K)$に注意すると
$$\mathrm{Gal}(L/K)=\{{\sigma }_i:b\mapsto b+i\mid i=0,1,2,\dots ,p-1\}$$
となることがわかるので$L/K$は$p$次巡回拡大となる。

(i)$\Rightarrow$(ii)

　有限アーベル群の基本定理より同型
$$\mathrm{Gal}(L/K)\simeq \underset{r}{\underbrace{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\times \cdots \times (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})}}$$
が存在する。このとき
$$H_i\simeq \underset{i-1}{\underbrace{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\times \cdots \times (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})}}\times \{0\}\times \underset{r-i}{\underbrace{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\times \cdots \times (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})}}$$
なる部分群$H_i$を取り、その固定体を$M_i$とおくと
$$\mathrm{Gal}(M_i/L)\simeq \mathrm{Gal}(L/K)/H_i\simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$
が成り立つので命題2よりある$a_i\in K$が存在して$M_i=K({\mathrm{\wp }}^{-1}(a_i))$と表せる。
　また
$$K({\mathrm{\wp }}^{-1}(\{a_1,a_2,\dots ,a_r\}))$$
の固定群は$\bigcap _{i=1}^r{H}_i\simeq 0$となるので
$$L=K({\mathrm{\wp }}^{-1}(\{a_1,a_2,\dots ,a_r\}))$$
を得る。

(ii)$\Rightarrow$(i)

　$L$はガロア群の指数が$p$のアーベル拡大$K({\mathrm{\wp }}^{-1}(a_i))/K$の合成体であるので、$L/K$もガロア群の指数が$p$のアーベル拡大となる。

　完全であれば非退化であることは明らか。
　また$e$が非退化であるとき
$$G_1\to {\hat{G}}_2,G_2\to {\hat{G}}_1$$
の単射性から
$$|G_1|\le |{\hat{G}}_2|,|G_2|\le |{\hat{G}}_1|$$
が成り立ち、また上の補題より
$$|G_1|=|{\hat{G}}_1|,|G_2|=|{\hat{G}}_2|$$
が成り立つことに注意すると$|G_1|=|G_2|$、つまり全射性
$$|G_1|=|{\hat{G}}_2|,|G_2|=|{\hat{G}}_1|$$
を得る。

　簡単のため$L=K({\mathrm{\wp }}^{-1}(R)),G=\mathrm{Gal}(L/K)$とおく。

ペアリングであること

　第一変数に関する線形性
$$e(a_1+a_2,\sigma )=e(a_1,\sigma )+e(a_2,\sigma )$$
は明らか。また第二変数に関しては$G$が${\mathbb{F}}_p$の元を固定することから
$$e(a,\sigma )+e(a,\tau )=\sigma (b+e(a,\tau ))-b=\sigma (\tau (b))-b=e(c,\sigma \tau )$$
とわかる。

完全であること

　$e$が非退化性であることを示せばよい。実際そうであれば$G$の有限性と$R/\mathrm{\wp }(K)\to \hat{G}$の単射性から$R/\mathrm{\wp }(K)$は有限であることがわかるので補題5より完全性がわかる。
　いま$\sigma \in G$が任意の$a\in R$に対し
$$\sigma (b)-b=0$$
を満たすならば$\sigma$は$L$の元を固定するので$\sigma =1$でなければならない、つまり$G\to \widehat{R/\mathrm{\wp }(K)}$は単射となる。
　また$a\in R$が任意の$\sigma \in G$に対し
$$\sigma (b)-b=0$$
を満たすならば$b\in K$つまり$a\in \mathrm{\wp }(K)$となるので$R/\mathrm{\wp }(K)\to \hat{G}$は単射となる。

　アルティン・シュライアー拡大$L/K$に対し
$$R^{\prime }=K\cap \mathrm{\wp }(L)$$
とおくと命題2より$L=K({\mathrm{\wp }}^{-1}(R^{\prime }))$が成り立つので命題5より
$$R^{\prime }/\mathrm{\wp }(K)\simeq \widehat{\mathrm{Gal}(L/K)}$$
特に$R^{\prime }/\mathrm{\wp }(K)$は有限群となる。
　またある$R$に対し$L=K({\mathrm{\wp }}^{-1}(R))$が成り立つとすると命題5より
$$R/\mathrm{\wp }(K)\simeq \widehat{\mathrm{Gal}(L/K)}\simeq R^{\prime }/\mathrm{\wp }(K)$$
が成り立ち、また明らかに$R\subseteq R^{\prime }$なので$R=R^{\prime }$を得る。
　したがって上の対応は互いに逆対応を与えることがわかり、また補題3より
$$R/\mathrm{\wp }(K)\simeq \widehat{\mathrm{Gal}(L/K)}\simeq \mathrm{Gal}(L/K)$$
を得る。