クンマー理論

　相違なる任意の元${\chi }_1,{\chi }_2,\dots ,{\chi }_n\in \mathrm{Hom}(G,k^{\times })$が線形独立であることを$n$に関する数学的帰納法によって示す。$n=1$のときは明らかであり、$n-1$においてこれが成り立つとする。
　このとき$n$において
$$\sum _{i=1}^n{a}_i{\chi }_i=0(a_i\in k)$$
が成り立つとすると、任意の$g,h\in G$に対し
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{a}_i{\chi }_i(gh)& =0\\ {\chi }_n(h)\sum _{i=1}^n{a}_i{\chi }_i(g)& =0\end{array}$$
が成り立つのでこの差を取ることで
$$\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i({\chi }_i(h)-{\chi }_n(h)){\chi }_i(g)=0$$
が成り立つ。
　いま$g\in G$は任意であったので帰納法の仮定より
$$a_i({\chi }_i(h)-{\chi }_n(h))=0(i=1,2,\dots ,n-1)$$
が成り立つが、$h\in G$は任意であったこと、および各$i$に対し${\chi }_i(h)\ne {\chi }_n(h)$なる$h\in G$が存在することから
$$a_i=0(i=1,2,\dots ,n-1)$$
となり、したがって$a_n=0$となることもわかるので${\chi }_1,{\chi }_2,\dots ,{\chi }_n$は線形独立であることが示された。

(i)$\Rightarrow$(ii)

$$d=[L:K],\eta ={\zeta }^{n/d},\mathrm{Gal}(L/K)=⟨\sigma ⟩$$
とおくとデデキントの補題($G=L^{\times },k=L$)より写像
$$f=\sum _{i=0}^{d-1}{\eta }^{-i}{\sigma }^i\in \mathrm{Map}(L^{\times },L)$$
は$0$でないのである$x\in L$が存在して$f(x)\ne 0$が成り立つ。
　このとき$b=f(x)$とおくと$\sigma (\eta )=\eta$より
$$\sigma (b)=\sum _{i=0}^{d-1}{\eta }^{-i}{\sigma }^{i+1}(x)=\eta \sum _{i=0}^{d-1}{\eta }^{-(i+1)}{\sigma }^{i+1}(x)=\eta b$$
が成り立ち、特に
$${\sigma }^i(b)={\eta }^{i}b(i=0,1,\dots ,d-1)$$
はそれぞれ異なる値を取るので$[K(b):K]=d=[L:K]$、つまり$L=K(b)$となる。
　また$a=b^d$とおくと$\sigma (b^d)=(\eta b{)}^n=b^d$よりこれは$\mathrm{Gal}(L/K)$の作用に対して不変なので$a\in K$となり$L=K(\sqrt[d]{a})=K(\sqrt[n]{a^d})$を得る。

(ii)$\Rightarrow$(i)

　$\sqrt[n]{a}$を根に持つ$K$上の多項式
$$f(x)=x^n-a=\prod _{i=0}^{n-1}(x-{\zeta }^i\sqrt[n]{a})$$
の他の根は全て$L$に含まれるので$L/K$は正規拡大であり、また$K$の標数は$n$を割り切らないことから$x\ne 0$に対し
$$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}\ne 0$$
が成り立つので$f$は分離多項式であり、したがって$L/K$はガロア拡大となる。
　また
$$I=\{m\in \mathbb{Z}\mid \mathrm{\exists }\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K),\sigma (\sqrt[n]{a})={\zeta }^m\sqrt[n]{a}\}$$
とおくとある正整数$d$が存在し$I=d\mathbb{Z}$が成り立ち、このとき$\mathrm{Gal}(L/K)$は
$$\sigma (\sqrt[n]{a})={\zeta }^d\sqrt[n]{a}$$
なる元$\sigma$によって生成される位数$n/d$の巡回群となる。

(i)$\Rightarrow$(ii)

　有限アーベル群の基本定理より同型
$$\mathrm{Gal}(L/K)\simeq (\mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/n_2\mathbb{Z})\times \cdots \times (\mathbb{Z}/n_r\mathbb{Z})$$
が存在する(両辺の指数を考えると各$n_i$は$n$の約数となることに注意する)。
　このとき
$$H_i\simeq (\mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z})\times \cdots \times (\mathbb{Z}/n_{i-1}\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/n_{i+1}\mathbb{Z})\times \cdots \times (\mathbb{Z}/n_r\mathbb{Z})$$
なる部分群$H_i$を取り、その固定体を$M_i$とおくと
$$\mathrm{Gal}(M_i/L)\simeq \mathrm{Gal}(L/K)/H_i\simeq \mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z}$$
が成り立つので命題2よりある$a_i\in K$が存在して$M_i=K(\sqrt[n]{a_i})$と表せる。
　また
$$K(\sqrt[n]{a_1},\sqrt[n]{a_2},\dots ,\sqrt[n]{a_r})$$
の固定群は$\bigcap _{i=1}^r{H}_i\simeq 0$となるので
$$L=K(\sqrt[n]{a_1},\sqrt[n]{a_2},\dots ,\sqrt[n]{a_r})$$
を得る。

(ii)$\Rightarrow$(i)

　命題2の証明で見たように$L$の生成元$\sqrt[n]{a}$は分離的であり、また$L$はその共役元を全て含むので$L/K$はガロア拡大である。
　また任意の$\sigma ,\tau \in \mathrm{Gal}(L/K)$に対し
$$\sigma (\sqrt[n]{a_i})={\zeta }^{e_i}\sqrt[n]{a_i},\tau (\sqrt[n]{a_i})={\zeta }^{f_i}\sqrt[n]{a_i}(i=1,2,\dots ,r)$$
とおくと
$${\sigma }^n(\sqrt[n]{a_i})=\sqrt[n]{a_i}$$
より$\mathrm{Gal}(L/K)$の指数は高々$n$であり、また
$$\sigma \tau (\sqrt[n]{a_i})=\tau \sigma (\sqrt[n]{a_i})={\zeta }^{e_i+f_i}\sqrt[n]{a_i}$$
より$\mathrm{Gal}(L/K)$はアーベルである。

　完全であれば非退化であることは明らか。
　また$e$が非退化であるとき
$$G_1\to {\hat{G}}_2,G_2\to {\hat{G}}_1$$
の単射性から
$$|G_1|\le |{\hat{G}}_2|,|G_2|\le |{\hat{G}}_1|$$
が成り立ち、また上の補題より
$$|G_1|=|{\hat{G}}_1|,|G_2|=|{\hat{G}}_2|$$
が成り立つことに注意すると$|G_1|=|G_2|$、つまり全射性
$$|G_1|=|{\hat{G}}_2|,|G_2|=|{\hat{G}}_1|$$
を得る。

　簡単のため$L=K(\sqrt[n]{R}),G=\mathrm{Gal}(L/K)$とおく。

ペアリングであること

　第一変数に関する線形性
$$e(c_1{c}_2,\sigma )=e(c_1,\sigma )e(c_2,\sigma )$$
は明らか。また第二変数に関しては$G$が${\mu }_n$の元を固定することから
$$e(c,\sigma )e(c,\tau )=\frac{\sigma (e(c,\tau )\sqrt[n]{c})}{\sqrt[n]{c}}=\frac{\sigma (\tau (\sqrt[n]{c}))}{\sqrt[n]{c}}=e(c,\sigma \tau )$$
とわかる。

完全であること

　$e$が非退化性であることを示せばよい。実際そうであれば$G$の有限性と$R/(K^{\times }{)}^n\to \hat{G}$の単射性から$R/(K^{\times }{)}^n$は有限であることがわかるので補題5より完全性がわかる。
　いま$\sigma \in G$が任意の$a\in R$に対し
$$\frac{\sigma (\sqrt[n]{a})}{\sqrt[n]{a}}=1$$
を満たすならば$\sigma$は$L$の元を固定するので$\sigma =1$でなければならない、つまり$G\to \widehat{R/(K^{\times }{)}^n}$は単射となる。
　また$a\in R$が任意の$\sigma \in G$に対し
$$\frac{\sigma (\sqrt[n]{a})}{\sqrt[n]{a}}=1$$
を満たすならば$\sqrt[n]{a}\in K^{\times }$つまり$a\in (K^{\times }{)}^n$となるので$R/(K^{\times }{)}^n\to \hat{G}$は単射となる。

　クンマー拡大$L/K$に対し
$$R^{\prime }=K^{\times }\cap (L^{\times }{)}^n$$
とおくと命題3より$L=K(\sqrt[n]{R^{\prime }})$が成り立つので命題6より
$$R^{\prime }/(K^{\times }{)}^n\simeq \widehat{\mathrm{Gal}(L/K)}$$
特に$R^{\prime }/(K^{\times }{)}^n$は有限群となる。
　またある$R$に対し$L=K(\sqrt[n]{R})$が成り立つとすると命題6より
$$R/(K^{\times }{)}^n\simeq \widehat{\mathrm{Gal}(L/K)}\simeq R^{\prime }/(K^{\times }{)}^n$$
が成り立ち、また明らかに$R\subseteq R^{\prime }$なので$R=R^{\prime }$を得る。
　したがって上の対応は互いに逆対応を与えることがわかり、また補題4より
$$R/(K^{\times }{)}^n\simeq \widehat{\mathrm{Gal}(L/K)}\simeq \mathrm{Gal}(L/K)$$
を得る。