クンマー理論

　相違なる任意の元$\x_1,\x_2,\ldots,\x_n\in\Hom(G,k^\times)$が線形独立であることを$n$に関する数学的帰納法によって示す。$n=1$のときは明らかであり、$n-1$においてこれが成り立つとする。
　このとき$n$において
$$\sum^n_{i=1}a_i\x_i=0\quad(a_i\in k)$$
が成り立つとすると、任意の$g,h\in G$に対し
\begin{align} \sum^n_{i=1}a_i\x_i(gh)&=0\\ \x_n(h)\sum^n_{i=1}a_i\x_i(g)&=0 \end{align}
が成り立つのでこの差を取ることで
$$\sum^{n-1}_{i=1}a_i(\x_i(h)-\x_n(h))\x_i(g)=0$$
が成り立つ。
　いま$g\in G$は任意であったので帰納法の仮定より
$$a_i(\x_i(h)-\x_n(h))=0\quad(i=1,2,\ldots,n-1)$$
が成り立つが、$h\in G$は任意であったこと、および各$i$に対し$\x_i(h)\neq\x_n(h)$なる$h\in G$が存在することから
$$a_i=0\quad(i=1,2,\ldots,n-1)$$
となり、したがって$a_n=0$となることもわかるので$\x_1,\x_2,\ldots,\x_n$は線形独立であることが示された。

(i)$\Rightarrow$(ii)

$$d=[L:K],\quad\eta=\z^{n/d},\quad\Gal(L/K)=\langle\s\rangle$$
とおくとデデキントの補題($G=L^\times,k=L$)より写像
$$f=\sum^{d-1}_{i=0}\eta^{-i}\s^i\quad\in\Map(L^\times,L)$$
は$0$でないのである$x\in L$が存在して$f(x)\neq0$が成り立つ。
　このとき$b=f(x)$とおくと$\s(\eta)=\eta$より
$$\s(b)=\sum^{d-1}_{i=0}\eta^{-i}\s^{i+1}(x)=\eta\sum^{d-1}_{i=0}\eta^{-(i+1)}\s^{i+1}(x)=\eta b$$
が成り立ち、特に
$$\s^i(b)=\eta^ib\quad(i=0,1,\ldots,d-1)$$
はそれぞれ異なる値を取るので$[K(b):K]=d=[L:K]$、つまり$L=K(b)$となる。
　また$a=b^d$とおくと$\s(b^d)=(\eta b)^n=b^d$よりこれは$\Gal(L/K)$の作用に対して不変なので$a\in K$となり$L=K(\sqrt[d]a)=K(\sqrt[n]{a^d})$を得る。

(ii)$\Rightarrow$(i)

　$\sqrt[n]a$を根に持つ$K$上の多項式
$$f(x)=x^n-a=\prod^{n-1}_{i=0}(x-\z^i\sqrt[n]a)$$
の他の根は全て$L$に含まれるので$L/K$は正規拡大であり、また$K$の標数は$n$を割り切らないことから$x\neq0$に対し
$$f'(x)=nx^{n-1}\neq0$$
が成り立つので$f$は分離多項式であり、したがって$L/K$はガロア拡大となる。
　また
$$I=\{m\in\Z\mid\exists\s\in\Gal(L/K),\ \s(\sqrt[n]a)=\z^m\sqrt[n]a\}$$
とおくとある正整数$d$が存在し$I=d\Z$が成り立ち、このとき$\Gal(L/K)$は
$$\s(\sqrt[n]a)=\z^d\sqrt[n]a$$
なる元$\s$によって生成される位数$n/d$の巡回群となる。

(i)$\Rightarrow$(ii)

　有限アーベル群の基本定理より同型
$$\Gal(L/K)\simeq(\Z/n_1\Z)\times(\Z/n_2\Z)\times\cdots\times(\Z/n_r\Z)$$
が存在する(両辺の指数を考えると各$n_i$は$n$の約数となることに注意する)。
　このとき
$$H_i\simeq(\Z/n_1\Z)\times\cdots\times(\Z/n_{i-1}\Z)\times(\Z/n_{i+1}\Z)\times\cdots\times(\Z/n_r\Z)$$
なる部分群$H_i$を取り、その固定体を$M_i$とおくと
$$\Gal(M_i/L)\simeq\Gal(L/K)/H_i\simeq\Z/n_i\Z$$
が成り立つので命題2よりある$a_i\in K$が存在して$M_i=K(\sqrt[n]{a_i})$と表せる。
　また
$$K(\sqrt[n]{a_1},\sqrt[n]{a_2},\ldots,\sqrt[n]{a_r})$$
の固定群は$\bigcap^r_{i=1}H_i\simeq0$となるので
$$L=K(\sqrt[n]{a_1},\sqrt[n]{a_2},\ldots,\sqrt[n]{a_r})$$
を得る。

(ii)$\Rightarrow$(i)

　命題2の証明で見たように$L$の生成元$\sqrt[n]a$は分離的であり、また$L$はその共役元を全て含むので$L/K$はガロア拡大である。
　また任意の$\s,\tau\in\Gal(L/K)$に対し
$$\s(\sqrt[n]{a_i})=\z^{e_i}\sqrt[n]{a_i},\quad \tau(\sqrt[n]{a_i})=\z^{f_i}\sqrt[n]{a_i}\quad(i=1,2,\ldots,r)$$
とおくと
$$\s^n(\sqrt[n]{a_i})=\sqrt[n]{a_i}$$
より$\Gal(L/K)$の指数は高々$n$であり、また
$$\s\tau(\sqrt[n]{a_i})=\tau\s(\sqrt[n]{a_i})=\z^{e_i+f_i}\sqrt[n]{a_i}$$
より$\Gal(L/K)$はアーベルである。

　完全であれば非退化であることは明らか。
　また$e$が非退化であるとき
$$G_1\to\G_2,\quad G_2\to\G_1$$
の単射性から
$$|G_1|\leq|\G_2|,\quad|G_2|\leq|\G_1|$$
が成り立ち、また上の補題より
$$|G_1|=|\G_1|,\quad|G_2|=|\G_2|$$
が成り立つことに注意すると$|G_1|=|G_2|$、つまり全射性
$$|G_1|=|\G_2|,\quad|G_2|=|\G_1|$$
を得る。

　簡単のため$L=K(\sqrt[n]R),\ G=\Gal(L/K)$とおく。

ペアリングであること

　第一変数に関する線形性
$$e(c_1c_2,\s)=e(c_1,\s)e(c_2,\s)$$
は明らか。また第二変数に関しては$G$が$\mu_n$の元を固定することから
$$e(c,\s)e(c,\tau) =\frac{\s(e(c,\tau)\sqrt[n]c)}{\sqrt[n]c} =\frac{\s(\tau(\sqrt[n]c))}{\sqrt[n]c} =e(c,\s\tau)$$
とわかる。

完全であること

　$e$が非退化性であることを示せばよい。実際そうであれば$G$の有限性と$R/(K^\times)^n\to\G$の単射性から$R/(K^\times)^n$は有限であることがわかるので補題5より完全性がわかる。
　いま$\s\in G$が任意の$a\in R$に対し
$$\frac{\s(\sqrt[n]a)}{\sqrt[n]a}=1$$
を満たすならば$\s$は$L$の元を固定するので$\s=1$でなければならない、つまり$G\to\wh{R/(K^\times)^n}$は単射となる。
　また$a\in R$が任意の$\s\in G$に対し
$$\frac{\s(\sqrt[n]a)}{\sqrt[n]a}=1$$
を満たすならば$\sqrt[n]a\in K^\times$つまり$a\in(K^\times)^n$となるので$R/(K^\times)^n\to\G$は単射となる。

　クンマー拡大$L/K$に対し
$$R'=K^\times\cap(L^\times)^n$$
とおくと命題3より$L=K(\sqrt[n]{R'})$が成り立つので命題6より
$$R'/(K^\times)^n\simeq\wh{\Gal(L/K)}$$
特に$R'/(K^\times)^n$は有限群となる。
　またある$R$に対し$L=K(\sqrt[n]R)$が成り立つとすると命題6より
$$R/(K^\times)^n\simeq\wh{\Gal(L/K)}\simeq R'/(K^\times)^n$$
が成り立ち、また明らかに$R\subseteq R'$なので$R=R'$を得る。
　したがって上の対応は互いに逆対応を与えることがわかり、また補題4より
$$R/(K^\times)^n\simeq\wh{\Gal(L/K)}\simeq\Gal(L/K)$$
を得る。