ガンマ関数の逆数の積の実数全体での積分について
Dougallの${}_2H_2$和公式
は
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac 1{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)\Gamma(c-n)\Gamma(d-n)}&=\frac{\Gamma(a+b+c+d-3)}{\Gamma(a+c-1)\Gamma(a+d-1)\Gamma(b+c-1)\Gamma(b+d-1)}
\end{align}
と表される. その積分類似としてRamanujanによって
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\Gamma(a+x)\Gamma(b+x)\Gamma(c-x)\Gamma(d-x)}&=\frac{\Gamma(a+b+c+d-3)}{\Gamma(a+c-1)\Gamma(a+d-1)\Gamma(b+c-1)\Gamma(b+d-1)}
\end{align}
が示されている. これらの等式を補間するような公式を
前の記事
で示した. 上のRamanujanによる積分公式は実はDougallの${}_2H_2$和公式から以下のように導かれる. まず, Dougallの和公式において$a\mapsto a+x,b\mapsto b+x,c\mapsto c-x,d\to d-x$と置き換えると,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac 1{\Gamma(a+x+n)\Gamma(b+x+n)\Gamma(c-x-n)\Gamma(d-x-n)}&=\frac{\Gamma(a+b+c+d-3)}{\Gamma(a+c-1)\Gamma(a+d-1)\Gamma(b+c-1)\Gamma(b+d-1)}
\end{align}
となる. これを$x$に関して$0$から$1$まで積分すると, 絶対収束する範囲において
\begin{align}
&\frac{\Gamma(a+b+c+d-3)}{\Gamma(a+c-1)\Gamma(a+d-1)\Gamma(b+c-1)\Gamma(b+d-1)}\\
&=\int_0^1\sum_{n\in\ZZ}\frac{dx}{\Gamma(a+x+n)\Gamma(b+x+n)\Gamma(c-x-n)\Gamma(d-x-n)}\\
&=\sum_{n\in\ZZ}\int_0^1\frac{dx}{\Gamma(a+x+n)\Gamma(b+x+n)\Gamma(c-x-n)\Gamma(d-x-n)}\\
&=\sum_{n\in\ZZ}\int_n^{n+1}\frac{dx}{\Gamma(a+x)\Gamma(b+x)\Gamma(c-x)\Gamma(d-x)}\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\Gamma(a+x)\Gamma(b+x)\Gamma(c-x)\Gamma(d-x)}
\end{align}
となってRamanujanの公式が得られる. 同じような方法は他の${}_rH_r$の和公式に対しても用いることができる.
M.Jacksonの${}_3H_3$和公式
M. Jacksonによる${}_3H_3$和公式
は$2a+e+f=b+c+2g=3$のとき,
\begin{align}
&\sum_{n\in\ZZ}\frac{\cos\pi(x+n)}{\Gamma(a+x+n)\Gamma(b+x+n)\Gamma(c+x+n)\Gamma(e-x-n)\Gamma(f-x-n)\Gamma(g-x-n)}\\
&=\frac{2^{2a+2g-3}\Gamma(2-a-g)}{\pi\Gamma\left(\frac{b+e}2\right)\Gamma\left(\frac{c+e}2\right)\Gamma\left(\frac{b+f}2\right)\Gamma\left(\frac{c+f}2\right)}\left(\sin\pi(a+x)\cos\frac{\pi(b-c)}2+\cos\frac{\pi(e-f)}2\sin\pi(g-x)\right)\cos\pi x
\end{align}
と書き換えられる. これを$x$に関して$(0,1)$で積分すると,
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos\pi x}{\Gamma(a+x)\Gamma(b+x)\Gamma(c+x)\Gamma(e-x)\Gamma(f-x)\Gamma(g-x)}\,dx\\
&=\frac{2^{2a+2g-4}\Gamma(2-a-g)}{\pi\Gamma\left(\frac{b+e}2\right)\Gamma\left(\frac{c+e}2\right)\Gamma\left(\frac{b+f}2\right)\Gamma\left(\frac{c+f}2\right)}\left(\sin\pi a\cos\frac{\pi(b-c)}2+\cos\frac{\pi(e-f)}2\sin\pi g\right)\\
&=\frac 12\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^n}{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)\Gamma(c+n)\Gamma(e-n)\Gamma(f-n)\Gamma(g-n)}
\end{align}
を得る.
Dougallの${}_5H_5$和公式
Dougallの${}_5H_5$和公式は
\begin{align}
&\sum_{n\in\ZZ}\frac{(n+x)\sin(2\pi(n+x))}{\Gamma(a+x+n)\Gamma(a-x-n)\Gamma(b+x+n)\Gamma(b-x-n)\Gamma(c+x+n)\Gamma(c-x-n)\Gamma(d+x+n)\Gamma(d-x-n)}\\
&=\frac{\sin^2 2\pi x}{2\pi}\frac{\Gamma(a+b+c+d-3)}{\Gamma(a+b-1)\Gamma(a+c-1)\Gamma(a+d-1)\Gamma(b+c-1)\Gamma(b+d-1)\Gamma(c+d-1)}
\end{align}
と書き換えられる. よって, これを$(0,1)$において積分すると以下を得る.
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{t\sin 2\pi t}{\Gamma(a+t)\Gamma(a-t)\Gamma(b+t)\Gamma(b-t)\Gamma(c+t)\Gamma(c-t)\Gamma(d+t)\Gamma(d-t)}\,dt\\
&=\frac 1{4\pi}\frac{\Gamma(a+b+c+d-3)}{\Gamma(a+b-1)\Gamma(a+c-1)\Gamma(a+d-1)\Gamma(b+c-1)\Gamma(b+d-1)\Gamma(c+d-1)}
\end{align}
まとめ
以上のような方法をまとめると,
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx&=\int_0^1\sum_{n\in\ZZ}f(n+x)\,dx
\end{align}
と書き換えることによって,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}f(n+x)
\end{align}
の形の和が超幾何級数の和公式や変換公式などで明示的に書けていればそれを$(0,1)$で積分することによって無限区間の積分を得ることができるということである. 一般的な場合に
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}f(n+x)=A+B\sin 2\pi x+C\cos 2\pi x+\cdots
\end{align}
のようにFourier級数に展開されている場合にそのまま$(0,1)$で積分すると
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=A
\end{align}
を得るが, $\sin 2\pi x$を掛けると,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}f(n+x)\sin(2\pi(n+x))=\sin 2\pi x(A+B\sin 2\pi x+\cdots)
\end{align}
と表されるからこれを積分すると,
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\sin 2\pi x\,dx&=\frac 12B
\end{align}
を得ることができる. これは$\cos$の方も全く同様である.
