固有多項式の係数はすべて跡

複素数$c_{k} \in \mathbb{C}$を
$$ \det(E_{n}+xA) = \sum_{k=0}^{n} \frac{c_{k}}{k!}x^{k}$$
で定める．このとき，任意の$\lambda\in\mathbb{C}\smallsetminus\{0\}$に対して
$$ \det(E_{n}+\lambda A) = (-\lambda)^{n}\det(-\lambda^{-1}E_{n}-A) = (-\lambda)^{n}f_{A}(-\lambda^{-1}) = 1-a_{1}\lambda +\cdots+ (-1)^{n-1}a_{n-1}\lambda^{n-1} + (-1)^{n}a_{n}\lambda^{n}$$
が成り立つことから
$$ \frac{c_{k}}{k!} = (-1)^{k}a_{k} = \tr{\bigwedge\nolimits^{\mkern-.4em k}(A)},\,1 \leq k \leq n$$
を得る．したがって，あとは
$$ c_{k} = \det \begin{bmatrix} \tr(A) & k-1 & && \\ \tr(A^{2}) & \tr(A) & k-2 && \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &\\ \vdots & \vdots && \ddots & 1 \\ \tr(A^{k}) & \tr(A^{k-1}) & \cdots & \cdots & \tr(A) \end{bmatrix}$$
が成り立つことを示せばよい．

1. $\|\lambda A\|<1$のとき，$B \coloneqq \log(E_{n}+\lambda A)$とおくと，
   $$ \det(E_{n}+\lambda A) = \det\exp{B} = \exp\tr{B} = \exp\tr\log(E_{n}+\lambda A) = \exp\tr\left(\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{m}(\lambda A)^{m}\right)$$
   が成り立つ（cf. satakep.85；kisop.314）．
2. トレースの線型性より
   $$ \tr\left(\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{m}(\lambda A)^{m}\right) - \sum_{m=1}^{n} (-1)^{m-1}\tr(A^{m})\frac{\lambda^{m}}{m} = \tr\left(\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{m}(\lambda A)^{m} - \sum_{m=1}^{n} \frac{(-1)^{m-1}}{m}(\lambda A)^{m} \right) \to \tr{O_{n}} = 0 \quad(n\to\infty)$$
   となるので，
   $$ \det(E_{n}+\lambda A) = \exp \left(\sum_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1} \tr(A^{m}) \frac{\lambda^{m}}{m} \right)$$
   を得る．
3. $A$の固有値を$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n} \in\mathbb{C}$とし$\Lambda \coloneqq \max_{i} |\lambda_{i}|$とおくと，
   $$ Ax=\lambda x \implies |\lambda|\cdot\|x\| = \|\lambda x\| = \|Ax\| \leq \|A\|\cdot\|x\| \quad\leadsto\quad \Lambda \leq \|A\|$$
   より，
   $$ |\tr(A^{m})| = |\lambda_{1}^{m} +\cdots+ \lambda_{n}^{m}| \leq n\Lambda^{\!m} \leq n\|A\|^{m} \quad\leadsto\quad \limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{\left|\frac{(-1)^{m+1}\tr(A^{m})}{m}\right|} \leq \limsup_{m\to\infty}\frac{n^{\frac{1}{m}}\|A\|}{m^{\frac{1}{m}}} = \|A\|$$
   が成り立つ（cf. satakep.145, 定理3）．
4. $\{z\,;|z|<\|A\|^{-1}\}$において等式
   $$ \sum_{k=0}^{n} \frac{c_{k}}{k!} z^{k} = \exp\left(\sum_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1} \tr(A^{m}) \frac{z^{m}}{m} \right)$$
   の両辺を微分すると
   $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{c_{k}}{(k-1)!}z^{k-1} = \left(\sum_{\ell=0}^{n} \frac{c_{\ell}}{\ell!}z^{\ell} \right) \cdot \left(\sum_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1}\tr(A^{m})z^{m-1}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\sum_{\ell+m=k} \frac{c_{\ell}}{\ell!}(-1)^{m+1}\tr(A^{m}) \right)z^{k-1}$$
   となるので，$z^{k-1}$の係数を比較して
   $$ c_{k} = \sum_{m=1}^{k} (-1)^{m+1}\tr(A^{m})c_{k-m}\frac{(k-1)!}{(k-m)!},\ 1 \leq k \leq n$$
   を得る．
5. よって，
   1. Base：上で見たように
      $$ c_{1} = -a_{1} = \tr(A) = \det \begin{bmatrix} \tr(A) \end{bmatrix}$$
      が成り立つ．
   2. Induction：所期の等式（で$k \leadsto k+1$としたもの）の右辺を第一列で展開して，
      \begin{align} &\phantom{=}\quad \det \begin{bmatrix} \tr(A) & k &&&&& \\ \tr(A^{2}) & \tr(A) & k-1 &&&& \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &&&\\ \tr(A^{m}) & \tr(A^{m-1}) & \cdots & \tr(A) & k-m+1 && \\ \vdots & \vdots && \vdots & \ddots & \ddots& \\ \vdots & \vdots && \vdots & & \ddots & 1 \\ \tr(A^{k+1}) & \tr(A^{k}) & \cdots & \tr(A^{k-m+2}) & \cdots & \cdots & \tr(A) \end{bmatrix} \\[10pt] &= \sum_{m=1}^{k+1} (-1)^{m+1}\tr(A^{m}) \cdot \det \begin{bmatrix} k &&&&&&& \\ \tr(A) & k-1 &&&&&& \\ \vdots & \ddots & \ddots &&&&&\\ \tr(A^{m-2}) & \cdots & \tr(A) & k-m+2 &&&& \\ \tr(A^{m}) & \cdots & \cdots & \tr(A^{2}) & \tr(A) & k-m & &\\ \vdots &&& \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &\\ \vdots &&& \vdots & \vdots && \ddots & 1 \\ \tr(A^{k}) & \cdots & \cdots & \tr(A^{k-m+2}) & \tr(A^{k-m+1}) & \cdots & \cdots & \tr(A) \end{bmatrix} \\ &= \sum_{m=1}^{k+1} (-1)^{m+1} \tr(A^{m}) \cdot k(k-1)\cdots(k-m+2)c_{k-m+1} \\ &= \sum_{m=1}^{k+1} (-1)^{m+1}\tr(A^{m}) c_{(k+1)-m}\frac{((k+1)-1)!}{((k+1)-m)!} \\ &= c_{k+1} \end{align}
      を得る．