大学数学基礎解説

中国式剰余定理を理解する（第3回　環論）

代数学,環論

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はじめに

以前の記事はこちら第1回，第2回
第3回は環論の基礎について学ぶこととする。

環論の基礎

環

$G$は二項演算$+$（加法）による群。さらに$G$上に別の二項演算$\cdot$（乗法）が定義されているとする。$G$と2つの二項演算$+$，$\cdot$が環であるとは，以下を満たすときのことである。

任意の$g_1\in G$，$g_2 \in G$に対して，$g_1+g_2=g_2+g_1$が成り立つ。（群$G$は加法に関して可換群である）

任意の$g_1, g_2, g_3 \in G$に対して，$(g_1\cdot g_2) \cdot g_3 = g_1\cdot(g_2\cdot g_3)$が成り立つ。
ある$1\in G$が存在して，任意の$g\in G$に対して$1\cdot g = g\cdot 1 = g$が成り立つ。
任意の$g_1, g_2, g_3 \in G$に対して，$g_1\cdot(g_2 + g_3) = (g_1 \cdot g_2) + (g_1\cdot g_3)$が成り立つ。（分配則）

整数環 $\mathbb{Z}$

整数全体の集合$\mathbb Z$は加法（$+$）と乗法（$\cdot$）により（可換）環となる。加法の単位元は$0$，乗法の単位元は$1$である。
また，乗法については逆元が存在しない（$2\cdot \dfrac{1}{2}=1$だが，$\dfrac{1}{2}　\notin \mathbb Z$である。）。

環準同型

2つの環$R$，$R'$とその間の写像$f:R \rightarrow R'$が以下を満たすとき，$f$を環準同型という。

$f(x+y) = f(x) + f(y)$

$f(xy) = f(x)f(y)$
$f(1) = 1'$（$1$，$1'$はそれぞれ$R$，$R'$の積における単位元）

また，この$f$が全単射であるとき，$f$を環同型といい，$R$，$R'$の間に環同型写像が存在するとき，$R$と$R'$は同型であるといい，$R\simeq R'$とかく。
（注）3.を条件に含めない場合もある。

イデアル

環（$R,+,\cdot$）の部分集合$I\subset R$が，次の2条件をを満たすとき，$I$を$R$のイデアルという。

$x$，$y \in I \Rightarrow x + y \in I$

$x\in I$，$a\in R \Rightarrow a\cdot x = x\cdot a\in I$

注）（$R,+,\cdot$）は$R$上に2つの二項演算$+$，$\cdot$が定義されており，加法（$+$）により群になっていることを表す。

$\mathbb{Z}$のイデアル

整数環$\mathbb Z$の部分群$n\mathbb Z = \{ nm | m \in \mathbb Z\}$は$\mathbb Z$のイデアルである。

例えば$2 \mathbb Z$は偶数全体の集合であり，1.偶数同士の和は必ず偶数。2.任意の整数を2倍したものは必ず偶数になっている。この2つ性質は$2 \mathbb Z$が$\mathbb Z$におけるイデアルであることを意味する。

核

2つの環$R$，$R'$とその間の準同型写像$f:R \rightarrow R'$に対し
$$ \ker f := \{x \in R \ | \ f(x) = 0 \}$$
とし，これを$f$の核という。（$0$は加法の零元）
$\ker f$は$R$のイデアルである。

まず，$\ker f$が$R$の部分加法群であることを確認する。

$f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0)$なので，$f(0) = 0$。よって$0 \in \ker f$。

$x$，$y\in \ker f$に対して$f(x+y) = f(x)+f(y) = 0 + 0 = 0 \in \ker f$
$f(x) + f(-x)　=　f(x + (-x)) = f(0) = 0$なので，逆元が存在する。
結合則は明らか。

次にイデアルであることを示す。

さきほど示した。

$x\in \ker f$，$a \in R$とする。$f(xa) = f(x)f(a) = 0f(a) = 0$となり，$f(ax)\in \ker f$。

環$R$の（左）イデアル$I$，$J$に対し，$I\cap J$，$I+J$，$IJ$もまた$R$の（左）イデアルである。ただし，$I+J := \{ x+y \ | \ x \in I, y \in J \}$，$IJ := \{ \Sigma _{\mbox{有限和}} x_i y_i \ | \ x_i \in I，y_i \in J \}$とする。

$I\cap J$

任意の$x$，$y \in I\cap J$をとる。$x \in I$，$y \in I$より$x+y \in I$である。$x+y\in J$についても同様。よって$x+y \in I \cap J$となる。

任意の$a \in R$と$x \in I\cap J$をとる。$x \in I$であり，$I$は$R$のイデアルなので，$ax \in I$である。$J$についても同様。よって，$ax \in I\cap J$となる。

$I+J$

任意の$x$，$y\in I+J$をとる。$x \in I+J$なので，ある$x_i\in I$と$x_j \in J$が存在して,$x = x_i + y_i$とかける。同様に$y = y_i + y_j$とかける。$x+y = (x_i+x_j) + (y_i + y_j) = x_i + y_i + x_j + y_j$となり，$I$，$J$は加法において閉じているので，$x_i+y_i \in I$かつ$x_j + y_i \in J$となり，$x+y \in I+J$がいえた。

任意の$a\in R$と$x\in I+J$をとる。1.と同様に$x = x_i + x_j$とかける。$ax = a(x_i +x_j) = ax_i + ax_j$とできる（分配則）。$I$がイデアルであることから$ax_i \in I$が，$J$がイデアルであることから$ax_j \in J$がわかるので，$ax_i +ax_j \in I+J$となる。

$IJ$

$I\cap J$，$I+J$における証明とほぼ同様にできる。

$2\mathbb Z \cap 3\mathbb Z \simeq 6\mathbb Z$。$2\mathbb Z \cap 4\mathbb Z \simeq 2\mathbb Z$。
$2\mathbb Z + 3\mathbb Z$は$2m+3n$とかける整数全体。
$2\mathbb Z 3\mathbb Z \simeq 6\mathbb Z$。$2\mathbb Z 4\mathbb Z \simeq 8\mathbb Z$。

単項生成イデアル

環$R$とその部分集合$S = \{ x\}$に対して，$RS = \{ \Sigma _{\mbox{有限和}} ax\ | \ a \in R \} $を$S$（または$x$）の生成する（$R$）の単項生成イデアルという。$(x)$とかくこともある。

$n\mathbb Z = \{ nm \ | \ m\in \mathbb Z \} = (n)$

環$R$とその両側イデアルを$I$とする。$I$は加法群として$R$の部分群になるので，剰余群$R/I$を考えることができる。つまり$ \bar{x} := x + I \ (x\in R)\ $とかくとき，$R/I =\{ \bar{x}=x+I \ \ | x\in R \}$は演算 $\bar{x} + \bar{y} := \bar{x} + \bar{y}$により加法群になる。さらに乗法を

$$\bar{x}\bar{y} := \bar{xy}$$

と定めることで，$R/I$は環になる。

環$R$とその両側イデアル$I$による剰余類$R/I$は上記の加法と乗法により環になる。これを（$R$の両側イデアル$I$による）剰余環という。

well-defined

加法については[以前の記事]( 中国式剰余定理を理解する（第2回） | Mathlog )を参照のこと。

乗法について示す。つまり$x_1$，$x_2$，$y_1$，$y_2\in R$に対して$\overline{x_1} = \overline{x_2}$，$\overline{y_1} = \overline{y_2}$のとき$\overline{x_1 y_1} = \overline{x_2 y_2}$を示す。

$\overline{x_1} = \overline{x_2}$とすると，$x_1-x_2 \in I$なので（そもそもこのような同値関係が入っていた），$a:=x_1-x_2\in I$とすると，$x_2 = a-x_1$。同様に，$y_2 = b-y_1$とする。すると，$x_2y_2 = (a-x_1)(b-y_1) = ab-ay_1-bx_1+x_1y_1$。$a\in I$，$b\in I$なので，$ab\in I$。また，$a\in I$で，$y_1 \in R$なので$-ay_1 \in I$。同様に$-bx_1 \in I$である。したがって，$ab-ay_1-bx_1 \in I$がわかるので$\overline{x_1y_1} = \overline{x_2y_2}$がいえる。

環になること

分配法則は$R$の分配法則から従う。

剰余環$R/I$の零元は$\overline{0} = I$，単位元は$\overline{1} = 1+I$である。

環準同型定理

$f:R\rightarrow R'$を環準同型とする。$\mathrm{Im} f$は$R'$の部分環で，両側イデアル$\ker f$に関する$R$の剰余環$R/\ker f$に対して自然な同型$\overline{f}:R/\ker f \rightarrow \mathrm{Im} f \qquad (\overline{f}(\overline{x}) = f(x))$

が存在する。

群準同型定理から，加法群の同型が与えられることはわかる。したがって，$\overline{f}(\overline{x}\overline{y}) = f(x)f(y)$が成り立つことと，$\overline{f}(\overline{1}) = 1'$を示せばよい。

任意の$\overline{x}$，$\overline{y}\in R/\ker f$をとる。剰余環の定義から$\overline{x}\overline{y} = \overline{xy}$であるから，$\overline{f}(\overline{x}\overline{y}) = \overline{f}(\overline{xy}) = f(xy) = f(x)f(y)$となる。また$\overline{f}(\overline{1}) = f(1)= 1'$。以上より示された。

直積環

2つの環$R$，$S$に対し，直積群$R\times S:=\{(r,\ s) \ | \ r\in R, \ s\in S\}$に乗法を$(r,\ s)(r', \ s') := (rs, \ r's')$と定めると，$R\times S$は環になる。単位元は$(1_R,\ 1_S)$である。3つ以上の環の直積についても同様に定義する。

最後にイデアルにおける以下の定理を述べて第3回の記事を終える。

環$R$とそのイデアル$I$について，次が成り立つ。
$$I = R \Leftrightarrow 1\in I$$
ただし，$1$は$R$の乗法における単位元である。

$(\Rightarrow)$$I \subset R$より明らか。
$\quad (\Leftarrow)$ $1\in I$なので任意の$r\in R$に対して$r1 = r\in I$が成り立つ。よって，$R\subset I$となる。また$I\subset R$であるから$I=R$となる。