中国式剰余定理を理解する（第3回　環論）

1. 任意の$x$，$y \in I\cap J$をとる。$x \in I$，$y \in I$より$x+y \in I$である。$x+y\in J$についても同様。よって$x+y \in I \cap J$となる。

• 任意の$a \in R$と$x \in I\cap J$をとる。$x \in I$であり，$I$は$R$のイデアルなので，$ax \in I$である。$J$についても同様。よって，$ax \in I\cap J$となる。

1. 任意の$x$，$y\in I+J$をとる。$x \in I+J$なので，ある$x_i\in I$と$x_j \in J$が存在して,$x = x_i + y_i$とかける。同様に$y = y_i + y_j$とかける。$x+y = (x_i+x_j) + (y_i + y_j) = x_i + y_i + x_j + y_j$となり，$I$，$J$は加法において閉じているので，$x_i+y_i \in I$かつ$x_j + y_i \in J$となり，$x+y \in I+J$がいえた。

• 任意の$a\in R$と$x\in I+J$をとる。1.と同様に$x = x_i + x_j$とかける。$ax = a(x_i +x_j) = ax_i + ax_j$とできる（分配則）。$I$がイデアルであることから$ax_i \in I$が，$J$がイデアルであることから$ax_j \in J$がわかるので，$ax_i +ax_j \in I+J$となる。

$I\cap J$，$I+J$における証明とほぼ同様にできる。

加法については[以前の記事]( 中国式剰余定理を理解する（第2回） | Mathlog )を参照のこと。

乗法について示す。つまり$x_1$，$x_2$，$y_1$，$y_2\in R$に対して$\overline{x_1} = \overline{x_2}$，$\overline{y_1} = \overline{y_2}$のとき$\overline{x_1 y_1} = \overline{x_2 y_2}$を示す。

$\overline{x_1} = \overline{x_2}$とすると，$x_1-x_2 \in I$なので（そもそもこのような同値関係が入っていた），$a:=x_1-x_2\in I$とすると，$x_2 = a-x_1$。同様に，$y_2 = b-y_1$とする。すると，$x_2y_2 = (a-x_1)(b-y_1) = ab-ay_1-bx_1+x_1y_1$。$a\in I$，$b\in I$なので，$ab\in I$。また，$a\in I$で，$y_1 \in R$なので$-ay_1 \in I$。同様に$-bx_1 \in I$である。したがって，$ab-ay_1-bx_1 \in I$がわかるので$\overline{x_1y_1} = \overline{x_2y_2}$がいえる。

分配法則は$R$の分配法則から従う。

群準同型定理から，加法群の同型が与えられることはわかる。したがって，$\overline{f}(\overline{x}\overline{y}) = f(x)f(y)$が成り立つことと，$\overline{f}(\overline{1}) = 1'$を示せばよい。

任意の$\overline{x}$，$\overline{y}\in R/\ker f$をとる。剰余環の定義から$\overline{x}\overline{y} = \overline{xy}$であるから，$\overline{f}(\overline{x}\overline{y}) = \overline{f}(\overline{xy}) = f(xy) = f(x)f(y)$となる。また$\overline{f}(\overline{1}) = f(1)= 1'$。以上より示された。

$(\Rightarrow)$$I \subset R$より明らか。
$\quad (\Leftarrow)$ $1\in I$なので任意の$r\in R$に対して$r1 = r\in I$が成り立つ。よって，$R\subset I$となる。また$I\subset R$であるから$I=R$となる。