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中国式剰余定理を理解する(第3回 環論)

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はじめに

以前の記事はこちら 第1回 第2回
第3回は環論の基礎について学ぶこととする。

環論の基礎

$G$は二項演算$+$(加法)による群。さらに$G$上に別の二項演算$\cdot$(乗法)が定義されているとする。$G$と2つの二項演算$+$$\cdot$が環であるとは,以下を満たすときのことである。

  1. 任意の$g_1\in G$$g_2 \in G$に対して,$g_1+g_2=g_2+g_1$が成り立つ。(群$G$は加法に関して可換群である)
  • 任意の$g_1, g_2, g_3 \in G$に対して,$(g_1\cdot g_2) \cdot g_3 = g_1\cdot(g_2\cdot g_3)$が成り立つ。
  • ある$1\in G$が存在して,任意の$g\in G$に対して$1\cdot g = g\cdot 1 = g$が成り立つ。
  • 任意の$g_1, g_2, g_3 \in G$に対して,$g_1\cdot(g_2 + g_3) = (g_1 \cdot g_2) + (g_1\cdot g_3)$が成り立つ。(分配則)
整数環 $\mathbb{Z}$

整数全体の集合$\mathbb Z$は加法($+$)と乗法($\cdot$)により(可換)環となる。加法の単位元は$0$,乗法の単位元は$1$である。
また,乗法については逆元が存在しない($2\cdot \dfrac{1}{2}=1$だが,$\dfrac{1}{2} \notin \mathbb Z$である。)。

環準同型

2つの環$R$$R'$とその間の写像$f:R \rightarrow R'$が以下を満たすとき,$f$を環準同型という。

  1. $f(x+y) = f(x) + f(y)$
  • $f(xy) = f(x)f(y)$
  • $f(1) = 1'$$1$$1'$はそれぞれ$R$$R'$の積における単位元)

また,この$f$が全単射であるとき,$f$を環同型といい,$R$$R'$の間に環同型写像が存在するとき,$R$$R'$は同型であるといい,$R\simeq R'$とかく。
(注)3.を条件に含めない場合もある。

イデアル

環($R,+,\cdot$)の部分集合$I\subset R$が,次の2条件をを満たすとき,$I$$R$のイデアルという。

  1. $x$$y \in I \Rightarrow x + y \in I$
  • $x\in I$$a\in R \Rightarrow a\cdot x = x\cdot a\in I$

注)($R,+,\cdot$)は$R$上に2つの二項演算$+$$\cdot$が定義されており,加法($+$)により群になっていることを表す。

$\mathbb{Z}$のイデアル

整数環$\mathbb Z$の部分群$n\mathbb Z = \{ nm | m \in \mathbb Z\}$$\mathbb Z$のイデアルである。

例えば$2 \mathbb Z$は偶数全体の集合であり,1.偶数同士の和は必ず偶数。2.任意の整数を2倍したものは必ず偶数になっている。この2つ性質は$2 \mathbb Z$$\mathbb Z$におけるイデアルであることを意味する。

2つの環$R$$R'$とその間の準同型写像$f:R \rightarrow R'$に対し
$$ \ker f := \{x \in R \ | \ f(x) = 0 \}$$
とし,これを$f$の核という。($0$は加法の零元)
$\ker f$$R$のイデアルである。

まず,$\ker f$$R$の部分加法群であることを確認する。

  1. $f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0)$なので,$f(0) = 0$。よって$0 \in \ker f$
  • $x$$y\in \ker f$に対して$f(x+y) = f(x)+f(y) = 0 + 0 = 0 \in \ker f$
  • $f(x) + f(-x) = f(x + (-x)) = f(0) = 0$なので,逆元が存在する。
  • 結合則は明らか。

次にイデアルであることを示す。

  1. さきほど示した。
  • $x\in \ker f$$a \in R$とする。$f(xa) = f(x)f(a) = 0f(a) = 0$となり,$f(ax)\in \ker f$

$R$の(左)イデアル$I$$J$に対し,$I\cap J$$I+J$$IJ$もまた$R$の(左)イデアルである。ただし,$I+J := \{ x+y \ | \ x \in I, y \in J \}$$IJ := \{ \Sigma _{\mbox{有限和}} x_i y_i \ | \ x_i \in I,y_i \in J \}$とする。

$I\cap J$
  1. 任意の$x$$y \in I\cap J$をとる。$x \in I$$y \in I$より$x+y \in I$である。$x+y\in J$についても同様。よって$x+y \in I \cap J$となる。
  • 任意の$a \in R$$x \in I\cap J$をとる。$x \in I$であり,$I$$R$のイデアルなので,$ax \in I$である。$J$についても同様。よって,$ax \in I\cap J$となる。
$I+J$
  1. 任意の$x$$y\in I+J$をとる。$x \in I+J$なので,ある$x_i\in I$$x_j \in J$が存在して,$x = x_i + y_i$とかける。同様に$y = y_i + y_j$とかける。$x+y = (x_i+x_j) + (y_i + y_j) = x_i + y_i + x_j + y_j$となり,$I$$J$は加法において閉じているので,$x_i+y_i \in I$かつ$x_j + y_i \in J$となり,$x+y \in I+J$がいえた。
  • 任意の$a\in R$$x\in I+J$をとる。1.と同様に$x = x_i + x_j$とかける。$ax = a(x_i +x_j) = ax_i + ax_j$とできる(分配則)。$I$がイデアルであることから$ax_i \in I$が,$J$がイデアルであることから$ax_j \in J$がわかるので,$ax_i +ax_j \in I+J$となる。
$IJ$

$I\cap J$$I+J$における証明とほぼ同様にできる。

  • $2\mathbb Z \cap 3\mathbb Z \simeq 6\mathbb Z$$2\mathbb Z \cap 4\mathbb Z \simeq 2\mathbb Z$
  • $2\mathbb Z + 3\mathbb Z$$2m+3n$とかける整数全体。
  • $2\mathbb Z 3\mathbb Z \simeq 6\mathbb Z$$2\mathbb Z 4\mathbb Z \simeq 8\mathbb Z$
単項生成イデアル

$R$とその部分集合$S = \{ x\}$に対して,$RS = \{ \Sigma _{\mbox{有限和}} ax\ | \ a \in R \} $$S$(または$x$)の生成する($R$)の単項生成イデアルという。$(x)$とかくこともある。

$n\mathbb Z = \{ nm \ | \ m\in \mathbb Z \} = (n)$

$R$とその両側イデアルを$I$とする。$I$は加法群として$R$の部分群になるので,剰余群$R/I$を考えることができる。つまり$ \bar{x} := x + I \ (x\in R)\ $とかくとき,$R/I =\{ \bar{x}=x+I \ \ | x\in R \}$は演算 $\bar{x} + \bar{y} := \bar{x} + \bar{y}$により加法群になる。さらに乗法を

$$\bar{x}\bar{y} := \bar{xy}$$

と定めることで,$R/I$は環になる。

$R$とその両側イデアル$I$による剰余類$R/I$は上記の加法と乗法により環になる。これを($R$の両側イデアル$I$による)剰余環という。

well-defined

加法については[以前の記事]( 中国式剰余定理を理解する(第2回) | Mathlog )を参照のこと。

乗法について示す。つまり$x_1$$x_2$$y_1$$y_2\in R$に対して$\overline{x_1} = \overline{x_2}$$\overline{y_1} = \overline{y_2}$のとき$\overline{x_1 y_1} = \overline{x_2 y_2}$を示す。

$\overline{x_1} = \overline{x_2}$とすると,$x_1-x_2 \in I$なので(そもそもこのような同値関係が入っていた),$a:=x_1-x_2\in I$とすると,$x_2 = a-x_1$。同様に,$y_2 = b-y_1$とする。すると,$x_2y_2 = (a-x_1)(b-y_1) = ab-ay_1-bx_1+x_1y_1$$a\in I$$b\in I$なので,$ab\in I$。また,$a\in I$で,$y_1 \in R$なので$-ay_1 \in I$。同様に$-bx_1 \in I$である。したがって,$ab-ay_1-bx_1 \in I$がわかるので$\overline{x_1y_1} = \overline{x_2y_2}$がいえる。

環になること

分配法則は$R$の分配法則から従う。

剰余環$R/I$の零元は$\overline{0} = I$,単位元は$\overline{1} = 1+I$である。

環準同型定理

$f:R\rightarrow R'$を環準同型とする。$\mathrm{Im} f$$R'$の部分環で,両側イデアル$\ker f$に関する$R$の剰余環$R/\ker f$に対して自然な同型$\overline{f}:R/\ker f \rightarrow \mathrm{Im} f \qquad (\overline{f}(\overline{x}) = f(x))$

が存在する。

群準同型定理から,加法群の同型が与えられることはわかる。したがって,$\overline{f}(\overline{x}\overline{y}) = f(x)f(y)$が成り立つことと,$\overline{f}(\overline{1}) = 1'$を示せばよい。

任意の$\overline{x}$$\overline{y}\in R/\ker f$をとる。剰余環の定義から$\overline{x}\overline{y} = \overline{xy}$であるから,$\overline{f}(\overline{x}\overline{y}) = \overline{f}(\overline{xy}) = f(xy) = f(x)f(y)$となる。また$\overline{f}(\overline{1}) = f(1)= 1'$。以上より示された。

直積環

2つの環$R$$S$に対し,直積群$R\times S:=\{(r,\ s) \ | \ r\in R, \ s\in S\}$に乗法を$(r,\ s)(r', \ s') := (rs, \ r's')$と定めると,$R\times S$は環になる。単位元は$(1_R,\ 1_S)$である。3つ以上の環の直積についても同様に定義する。

最後にイデアルにおける以下の定理を述べて第3回の記事を終える。

$R$とそのイデアル$I$について,次が成り立つ。
$$I = R \Leftrightarrow 1\in I$$
ただし,$1$$R$の乗法における単位元である。

$(\Rightarrow)$$I \subset R$より明らか。
$\quad (\Leftarrow)$ $1\in I$なので任意の$r\in R$に対して$r1 = r\in I$が成り立つ。よって,$R\subset I$となる。また$I\subset R$であるから$I=R$となる。

次回はやっと準同型定理について述べる。

投稿日:2020127

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投稿者

とも
とも
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広島県の高校で数学の教員をやっていたはずなのに,気づけば違う仕事をしております。高校数学と大学で学ぶ数学の橋渡しのようなことができればいいなと思っています。記事に誤り等あれば教えてください。

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