大学数学基礎解説

中国式剰余定理を理解する（第3回　環論）

代数学,環論

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はじめに

以前の記事はこちら第1回，第2回
第3回は環論の基礎について学ぶこととする。

環論の基礎

環

$G$ は二項演算 $+$ （加法）による群。さらに $G$ 上に別の二項演算 $\cdot$ （乗法）が定義されているとする。 $G$ と2つの二項演算 $+$ ， $\cdot$ が環であるとは，以下を満たすときのことである。

任意の $g_{1} \in G$ ， $g_{2} \in G$ に対して， $g_{1} + g_{2} = g_{2} + g_{1}$ が成り立つ。（群 $G$ は加法に関して可換群である）

任意の $g_{1}, g_{2}, g_{3} \in G$ に対して， $(g_{1} \cdot g_{2}) \cdot g_{3} = g_{1} \cdot (g_{2} \cdot g_{3})$ が成り立つ。
ある $1 \in G$ が存在して，任意の $g \in G$ に対して $1 \cdot g = g \cdot 1 = g$ が成り立つ。
任意の $g_{1}, g_{2}, g_{3} \in G$ に対して， $g_{1} \cdot (g_{2} + g_{3}) = (g_{1} \cdot g_{2}) + (g_{1} \cdot g_{3})$ が成り立つ。（分配則）

整数環

Z

整数全体の集合 $Z$ は加法（ $+$ ）と乗法（ $\cdot$ ）により（可換）環となる。加法の単位元は $0$ ，乗法の単位元は $1$ である。
また，乗法については逆元が存在しない（ $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ だが， $\frac{1}{2} \notin Z$ である。）。

環準同型

2つの環 $R$ ， $R^{'}$ とその間の写像 $f : R \to R^{'}$ が以下を満たすとき， $f$ を環準同型という。

$f (x + y) = f (x) + f (y)$

$f (x y) = f (x) f (y)$
$f (1) = 1^{'}$ （ $1$ ， $1^{'}$ はそれぞれ $R$ ， $R^{'}$ の積における単位元）

また，この $f$ が全単射であるとき， $f$ を環同型といい， $R$ ， $R^{'}$ の間に環同型写像が存在するとき， $R$ と $R^{'}$ は同型であるといい， $R ≃ R^{'}$ とかく。
（注）3.を条件に含めない場合もある。

イデアル

環（ $R, +, \cdot$ ）の部分集合 $I \subset R$ が，次の2条件をを満たすとき， $I$ を $R$ のイデアルという。

$x$ ， $y \in I \Rightarrow x + y \in I$

$x \in I$ ， $a \in R \Rightarrow a \cdot x = x \cdot a \in I$

注）（ $R, +, \cdot$ ）は $R$ 上に2つの二項演算 $+$ ， $\cdot$ が定義されており，加法（ $+$ ）により群になっていることを表す。

Z

のイデアル

整数環 $Z$ の部分群 $n Z = {n m | m \in Z}$ は $Z$ のイデアルである。

例えば $2 Z$ は偶数全体の集合であり，1.偶数同士の和は必ず偶数。2.任意の整数を2倍したものは必ず偶数になっている。この2つ性質は $2 Z$ が $Z$ におけるイデアルであることを意味する。

核

2つの環 $R$ ， $R^{'}$ とその間の準同型写像 $f : R \to R^{'}$ に対し
$\ker f := {x \in R | f (x) = 0}$
とし，これを $f$ の核という。（ $0$ は加法の零元）
$\ker f$ は $R$ のイデアルである。

まず， $\ker f$ が $R$ の部分加法群であることを確認する。

$f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0)$ なので， $f (0) = 0$ 。よって $0 \in \ker f$ 。

$x$ ， $y \in \ker f$ に対して $f (x + y) = f (x) + f (y) = 0 + 0 = 0 \in \ker f$
$f (x) + f (- x) = f (x + (- x)) = f (0) = 0$ なので，逆元が存在する。
結合則は明らか。

次にイデアルであることを示す。

さきほど示した。

$x \in \ker f$ ， $a \in R$ とする。 $f (x a) = f (x) f (a) = 0 f (a) = 0$ となり， $f (a x) \in \ker f$ 。

環 $R$ の（左）イデアル $I$ ， $J$ に対し， $I \cap J$ ， $I + J$ ， $I J$ もまた $R$ の（左）イデアルである。ただし， $I + J := {x + y | x \in I, y \in J}$ ， $I J := {Σ_{有限和} x_{i} y_{i} | x_{i} \in I ， y_{i} \in J}$ とする。

I \cap J

任意の $x$ ， $y \in I \cap J$ をとる。 $x \in I$ ， $y \in I$ より $x + y \in I$ である。 $x + y \in J$ についても同様。よって $x + y \in I \cap J$ となる。

任意の $a \in R$ と $x \in I \cap J$ をとる。 $x \in I$ であり， $I$ は $R$ のイデアルなので， $a x \in I$ である。 $J$ についても同様。よって， $a x \in I \cap J$ となる。

I + J

任意の $x$ ， $y \in I + J$ をとる。 $x \in I + J$ なので，ある $x_{i} \in I$ と $x_{j} \in J$ が存在して, $x = x_{i} + y_{i}$ とかける。同様に $y = y_{i} + y_{j}$ とかける。 $x + y = (x_{i} + x_{j}) + (y_{i} + y_{j}) = x_{i} + y_{i} + x_{j} + y_{j}$ となり， $I$ ， $J$ は加法において閉じているので， $x_{i} + y_{i} \in I$ かつ $x_{j} + y_{i} \in J$ となり， $x + y \in I + J$ がいえた。

任意の $a \in R$ と $x \in I + J$ をとる。1.と同様に $x = x_{i} + x_{j}$ とかける。 $a x = a (x_{i} + x_{j}) = a x_{i} + a x_{j}$ とできる（分配則）。 $I$ がイデアルであることから $a x_{i} \in I$ が， $J$ がイデアルであることから $a x_{j} \in J$ がわかるので， $a x_{i} + a x_{j} \in I + J$ となる。

I J

$I \cap J$ ， $I + J$ における証明とほぼ同様にできる。

$2 Z \cap 3 Z ≃ 6 Z$ 。 $2 Z \cap 4 Z ≃ 2 Z$ 。
$2 Z + 3 Z$ は $2 m + 3 n$ とかける整数全体。
$2 Z 3 Z ≃ 6 Z$ 。 $2 Z 4 Z ≃ 8 Z$ 。

単項生成イデアル

環 $R$ とその部分集合 $S = {x}$ に対して， $R S = {Σ_{有限和} a x | a \in R}$ を $S$ （または $x$ ）の生成する（ $R$ ）の単項生成イデアルという。 $(x)$ とかくこともある。

$n Z = {n m | m \in Z} = (n)$

環 $R$ とその両側イデアルを $I$ とする。 $I$ は加法群として $R$ の部分群になるので，剰余群 $R / I$ を考えることができる。つまり $\bar{x} := x + I (x \in R)$ とかくとき， $R / I = {\bar{x} = x + I | x \in R}$ は演算 $\bar{x} + \bar{y} := \bar{x} + \bar{y}$ により加法群になる。さらに乗法を

$\bar{x} \bar{y} := \bar{x y}$

と定めることで， $R / I$ は環になる。

環 $R$ とその両側イデアル $I$ による剰余類 $R / I$ は上記の加法と乗法により環になる。これを（ $R$ の両側イデアル $I$ による）剰余環という。

well-defined

加法については[以前の記事]( 中国式剰余定理を理解する（第2回） | Mathlog )を参照のこと。

乗法について示す。つまり $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2} \in R$ に対して $\overset{―}{x_{1}} = \overset{―}{x_{2}}$ ， $\overset{―}{y_{1}} = \overset{―}{y_{2}}$ のとき $\overset{―}{x_{1} y_{1}} = \overset{―}{x_{2} y_{2}}$ を示す。

$\overset{―}{x_{1}} = \overset{―}{x_{2}}$ とすると， $x_{1} - x_{2} \in I$ なので（そもそもこのような同値関係が入っていた）， $a := x_{1} - x_{2} \in I$ とすると， $x_{2} = a - x_{1}$ 。同様に， $y_{2} = b - y_{1}$ とする。すると， $x_{2} y_{2} = (a - x_{1}) (b - y_{1}) = a b - a y_{1} - b x_{1} + x_{1} y_{1}$ 。 $a \in I$ ， $b \in I$ なので， $a b \in I$ 。また， $a \in I$ で， $y_{1} \in R$ なので $- a y_{1} \in I$ 。同様に $- b x_{1} \in I$ である。したがって， $a b - a y_{1} - b x_{1} \in I$ がわかるので $\overset{―}{x_{1} y_{1}} = \overset{―}{x_{2} y_{2}}$ がいえる。

環になること

分配法則は $R$ の分配法則から従う。

剰余環 $R / I$ の零元は $\overset{―}{0} = I$ ，単位元は $\overset{―}{1} = 1 + I$ である。

環準同型定理

$f : R \to R^{'}$ を環準同型とする。 $Im f$ は $R^{'}$ の部分環で，両側イデアル $\ker f$ に関する $R$ の剰余環 $R / \ker f$ に対して自然な同型 $\overset{―}{f} : R / \ker f \to Im f (\overset{―}{f} (\overset{―}{x}) = f (x))$

が存在する。

群準同型定理から，加法群の同型が与えられることはわかる。したがって， $\overset{―}{f} (\overset{―}{x} \overset{―}{y}) = f (x) f (y)$ が成り立つことと， $\overset{―}{f} (\overset{―}{1}) = 1^{'}$ を示せばよい。

任意の $\overset{―}{x}$ ， $\overset{―}{y} \in R / \ker f$ をとる。剰余環の定義から $\overset{―}{x} \overset{―}{y} = \overset{―}{x y}$ であるから， $\overset{―}{f} (\overset{―}{x} \overset{―}{y}) = \overset{―}{f} (\overset{―}{x y}) = f (x y) = f (x) f (y)$ となる。また $\overset{―}{f} (\overset{―}{1}) = f (1) = 1^{'}$ 。以上より示された。

直積環

2つの環 $R$ ， $S$ に対し，直積群 $R \times S := {(r, s) | r \in R, s \in S}$ に乗法を $(r, s) (r^{'}, s^{'}) := (r s, r^{'} s^{'})$ と定めると， $R \times S$ は環になる。単位元は $(1_{R}, 1_{S})$ である。3つ以上の環の直積についても同様に定義する。

最後にイデアルにおける以下の定理を述べて第3回の記事を終える。

環 $R$ とそのイデアル $I$ について，次が成り立つ。
$I = R \Leftrightarrow 1 \in I$
ただし， $1$ は $R$ の乗法における単位元である。

$(\Rightarrow)$ $I \subset R$ より明らか。
$(\Leftarrow)$ $1 \in I$ なので任意の $r \in R$ に対して $r 1 = r \in I$ が成り立つ。よって， $R \subset I$ となる。また $I \subset R$ であるから $I = R$ となる。