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ラグランジュ反転公式の応用(2)

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今回は前回の続きということでラグランジュ反転公式の応用を考えてみます。
ラグランジュ反転公式 https://mathlog.info/articles/607
前回→ https://mathlog.info/articles/881

ラグランジュ反転公式
$\displaystyle f^{-1}(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}\lim_{t\to0}\left(\frac{d}{dt}\right)^{n-1}\left(\frac{t}{f(t)}\right)^n$
$n[x^n]f^{-1}(x)^m=m[x^{-m}]f(x)^{-n}$

・応用例2 合成関数の留数
$\displaystyle {\rm Res}_{z=0}\ g\left(\frac{1}{f(z)}\right)$について考えます。ここで、$f(z)$はラグランジュ反転公式の適用条件を満たすとします。
$\displaystyle{\rm Res}_{z=0}\ g\left(\frac{1}{f(z)}\right)=[z^{-1}]g\left(\frac{1}{f(z)}\right) \\\displaystyle=[z^{-1}]\sum_{n=-\infty}^\infty([x^n]g(x))f(x)^{-n} \\\displaystyle=[z^{-1}]\sum_{n=1}^\infty([x^n]g(x))f(x)^{-n} \\\displaystyle=\sum_{n=1}^\infty n([x^n]g(x))([x^n]f^{-1}(x))$

$\displaystyle{\rm Res}_{z=0}g\left(\frac{1}{f(z)}\right) \\\displaystyle=\sum_{n=1}^\infty n([x^n]f^{-1}(x))([x^n]g(x))$

すごく面白いですね。

これを使うと以下のような式を量産できるので試してみてください

$\displaystyle\mathrm{Res}_{z=0}\ e^{\cot z}=\sin1$
投稿日:20201216

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tria_math
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