F_n が n の倍数であるなら, n は 1 であるか, さもなくば 5 または 12 の倍数である

漸化式$F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$から
$$\begin{array}{r}gcd(F_{n+1},F_n)=gcd(F_{n-1},F_n)=gcd(F_n,F_{n-1})\end{array}$$が成りたつため, 再帰的に
$$\begin{array}{r}gcd(F_{n+1},F_n),gcd(F_n,F_{n-1}),\dots ,gcd(F_2,F_1)\end{array}$$は全て等しく, その値は$1$である. $◻$

先ず, 加法定理
$$\begin{array}{r}{F}_{m+n}=F_m{F}_{n+1}+F_{m-1}{F}_n\end{array}$$において$gcd(F_m,F_{m-1})=1$であることを用いて
$$\begin{array}{r}gcd(F_{m+n},F_m)=gcd(F_n,F_m)\end{array}$$の成立が確かめられる. $m>n$なる正整数の対$(m,n)$に対して互除法の操作を実行して
$$\begin{array}{rl}m& =n{q}_1+r_1(0<r_1<n),\\ n& =r_1{q}_2+r_2(0<r_2<r_1),\\ & ⋮\\ q_{\ell -1}& =r_{\ell -1}{q}_{\ell }+r_{\ell }(0<r_{\ell }<r_{\ell -1}),\\ q_{\ell }& =r_{\ell }{q}_{\ell +1}\end{array}$$なる除算の列を得たとすると, 先の最大公約数の等式を繰りかえし適用することによって
$$\begin{array}{r}gcd(F_m,F_n)=gcd(F_{r_1},F_n)=gcd(F_n,F_{r_1})=\cdots =gcd(F_{q_{\ell }},F_{r_{\ell }})\end{array}$$と変形することができ, 最大公約数の等式を再び用いれば
$$\begin{array}{r}gcd(F_{q_{\ell }},F_{r_{\ell }})=gcd(F_{q_{\ell +1}{r}_{\ell }},F_{r_{\ell }})=gcd(F_{(q_{\ell +1}-1)r_{\ell }},F_{r_{\ell }})=\cdots =gcd(F_{r_{\ell }},F_{r_{\ell }})=F_{r_{\ell }}\end{array}$$と$gcd$を外すことができる. $r_{\ell }$は$gcd(m,n)$に等しいのであったから, 上記と合わせて
$$\begin{array}{r}gcd(F_m,F_n)=F_{r_{\ell }}=F_{gcd(m,n)}\end{array}$$が導かれる. また$m<n$の場合は$(m,n)$に関する対称性から直ちに得られ, 残る$m=n$の場合には等式は自明であるため, あらゆる$(m,n)$について証明が完了した. $◻$

$5$については$F_5=5$から明白である.

$p\ne 5$で, かつ方程式$X^2-5=0$が${\mathbb{F}}_p$に根を持つとき, その解の一つを取り$r$と置いて
$$\begin{array}{r}{f}_n=r^{-1}((2^{-1}(1+r){)}^n-(2^{-1}(1-r){)}^n)\in {\mathbb{F}}_p\end{array}$$により剰余列$(f_n{)}_{n>0}$を定義すると, $f_n$は$F_n$を法$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}.p$によって還元したものに等しくなる. Fermat の小定理から
$$\begin{array}{r}(2^{-1}(1+r){)}^{p-1}=1=(2^{-1}(1-r){)}^{p-1}\end{array}$$であるため, $f_{p-1}=0$が成りたち, 故に整数$F_{p-1}$は$p$の倍数である.

その他の場合には, ${\mathbb{F}}_p$に不定元$X$を付加して$X^2-5=0$が成立するようにした拡大体$L={\mathbb{F}}_p[X]/(X^2-5)$において
$$\begin{array}{r}{f}_n^{\prime }=(5^{-1}t)((2^{-1}(1+t){)}^n-(2^{-1}(1-t){)}^n)\in L\end{array}$$により剰余列$(f_n^{\prime }{)}_{n>0}$を定義すると, $f_n^{\prime }$は$F_n$を$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}.p$と$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}.(X^2-5)$の両方によって還元したものに等しい. $L$の元を$p$乗する写像が加法と乗法を保つことから, $\phi =2^{-1}(1+t),$$\overline{\phi }=2^{-1}(1-t)$と書けば
$$\begin{array}{rl}& ({\phi }^p{)}^2-{\phi }^p-1=({\phi }^2-\phi -1{)}^p=0,\\ & ({\overline{\phi }}^p{)}^2-{\overline{\phi }}^p-1=({\overline{\phi }}^2-\overline{\phi }-1{)}^p=0\end{array}$$が成りたつため, $\phi ,\overline{\phi },{\phi }^p,{\overline{\phi }}^p$は全て同一の二次方程式$x^2-x-1=0$の根である. 所が, $L$の元を$p$乗する写像の不動点は方程式$x^p-x=0$の$p$個の解, 即ち${\mathbb{F}}_p$の元に限られるため, ${\phi }^p=\overline{\phi }$かつ${\overline{\phi }}^p=\phi$であり
$$\begin{array}{r}{\phi }^{p+1}=\phi \overline{\phi }={\overline{\phi }}^{p+1}\end{array}$$
の両辺は等しい. ここから$f_{p+1}^{\prime }=0$が成りたつことが判り, 故に整数$F_{p+1}$は$p$の倍数である.

以上で命題の証明が完了した. $◻$

$n\mid F_n$なる関係が成立していることを仮定して$n$に関する必要性を導く. $n=1$に対して$1\mid F_1$が成立することは明白である. $n>1$のとき$n$は素因子を有するが, 若し$n$の最小なる素因子$p$が$2$でも$5$でもないとすれば, ある$ϵ\in \{1,-1\}$を以て
$$\begin{array}{r}p\mid gcd(F_n,F_{p+ϵ})=F_{gcd(n,p+ϵ)}\end{array}$$なる関係式の成立を得られる. $ϵ\in \{1,-1\}$および$p$の最小性から$gcd(n,p+ϵ)=1$となるため, 上式は$p\mid F_1=1$を示すはずである. 所が$p$は素数であったから, これは不合理であり, $p$は$2$または$5$であらなければ成らない.

$p=2$のとき,
$p$の定義から$2\mid n$,
$n\mid F_n$から$2\mid F_n$,
数列$(F_n)$の性質から$3\mid n$,
$n\mid F_n$から$3\mid F_n$,
数列$(F_n)$の性質から$4\mid n$,
$n\mid F_n$から$4\mid F_n$,
数列$(F_n)$の性質から$6\mid n$,
$n\mid F_n$から$6\mid F_n$,
数列$(F_n)$の性質から$12\mid n$,
$n\mid F_n$から$12\mid F_n$,
数列$(F_n)$の性質から$12\mid n$
...
と云うことができるため, 結局$12\mid n$が少なくとも必要な条件である.

$p=5$かつ$n\ne 5$のとき, $n/5$の最小なる素因子$q⩾5$が$5$でないとすれば, 先と全く同様にして$q\mid F_{gcd(n,q+ϵ)}$から$q\mid F_5=5$なる不合理な関係を導くことができるため$q=5$が必要であり, 従って$n$が$25$の倍数であると言える.

以上で命題の証明が完了した. $◻$

あらゆる非負整数$e$について$5^e\mid F_{5^e}$が成立すること再帰的に証明する. 初期命題として, $e=0$のときの$1\mid F_1$は明白である.

扨て, ある$e$について$5^e\mid F_{5^e}$が成立していることを仮定に置いて,
$5^{e+1}\mid F_{5^{e+1}}$即ち
$$\begin{array}{r}5\mid \frac{F_{5^{e+1}}}{F_{5^e}}\end{array}$$を導くのであるが, より広く言って, 任意の整数$n$に対して
$$\begin{array}{rl}\frac{F_{5n}}{F_n}& =\frac{{\varphi }^{5n}-{\overline{\varphi }}^{5n}}{{\varphi }^n-{\overline{\varphi }}^n}\\ & =L_{4n}+(-1{)}^n{L}_{2n}+1\end{array}$$は$5$の倍数である. と言うのも, 数列$(L_n)$の$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5$による還元は
$$\begin{array}{r}\dots ,2,1,3,4,2,1,3,4,\dots \end{array}$$のような$4$項毎の周期列であり, $n$の偶奇で場合を分けてそれぞれ計算すると剰余が零に等しくなることが判るからである.

由って, 命題は再帰的に証明された. $◻$

これは最大公約数の定理から導かれることであるが, 任意の正整数$m,n$について
$$\begin{array}{r}m\mid n⟹F_m\mid F_n\end{array}$$が成りたつ. 数列$(a_n{)}_{n>0}$を初期値と漸化式
$$\begin{array}{r}{a}_1=12,a_{n+1}=F_{a_n}\end{array}$$によって定義すると, その全ての項は$12$の倍数であり, かつ関係式$a_n\mid F_{a_n}$を充たすことが再帰的に確かめられる. $(a_n)$は無限列であるため, 命題は証明された. $◻$