以前の記事 の続き。
前回は
将来もしかしたらyを任意の実数、または複素数に置き換えるかもしれませんがとりあえずこれでゆきます。
さてp=5の場合を数式で確認します。この記事ではζを1の5乗根として扱います。
(x+1)(x+ζ)(x+
=
+(ζ+
+(ζの累乗からダブらないように2つを選んだ組み合わせの総和)
+(ζの累乗からダブらないように3つを選んだ組み合わせの総和)
+(ζの累乗からダブらないように4つを選んだ組み合わせの総和)
+ζから
定数項はζの15乗なので1です。
すなわち下がなりたちます。
一般的に証明するには1のp乗根からダブらずにn個を選んで積をとったときに、その積の総和がゼロになり、定数項の「ζpから
じつは後半はすでに示しています。 指数法則により
なので、1からpまでの総和がpの倍数になればよいのですね。