おまけ：複素座標の練習としてのモーリーの定理

前回は コンウェイによるモーリーの定理の証明 をお話ししました．natuさんという方がせっかく 複素座標入門 にて整備してくださっているので，それを用いた方法も載せておきます．素朴な計算による証明はかえって置いてないんですよね．

複素座標を用いた証明

単位円を外接円にもち各頂点が
$$A(a^3),B(b^3),C(c^3) (|a|=|b|=|c|=1,0\le \arg a<\arg b<\arg c<\frac{2}{3}\pi )$$
と表される三角形$ABC$に対して示せば十分．以降，見やすさのため$\omega =\cos \frac{2}{3}\pi +i\sin \frac{2}{3}\pi$とおく．
すると，各内角の三等分線と外接円との交点の座標は以下のように求まる．
diagram1
$a^3,b{c}^2$を通る弦と$b^3,\omega c^{2}a$を通る弦の交点$X$は
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x+a{b}^2{c}^3\overline{x}=a{b}^2+c^3\\ x+\omega a{b}^3{c}^2\overline{x}=\omega a{c}^2+b^3\end{array}\end{array}$$
を満たす．辺々を引いて整理すると
$$a^2{b}^2{c}^2\overline{x}={\omega }^2(a{b}^2-a^{2}b)-\omega (c{a}^2-{\omega }^2{c}^{2}a)+\omega abc$$
を得る．$Y,Z$に対しても同様にして
$$\begin{gathered} a^2{b}^2{c}^2\overline{y}=(b{c}^2-b^{2}c)-(a{b}^2-a^{2}b)+abc \\ {a}^2{b}^2{c}^2\overline{z}=(c{a}^2-{\omega }^2{c}^{2}a)-\omega (b{c}^2-b^{2}c)+{\omega }^{2}abc \end{gathered}$$
よって$\overline{x}+{\omega }^2\overline{y}+\omega \overline{z}=0$すなわち
$$x+\omega y+{\omega }^{2}z=0$$
これは$X,Y,Z$が正三角形をなすことを意味する．$◼$