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おまけ:複素座標の練習としてのモーリーの定理

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前回は コンウェイによるモーリーの定理の証明 をお話ししました.natuさんという方がせっかく 複素座標入門 にて整備してくださっているので,それを用いた方法も載せておきます.素朴な計算による証明はかえって置いてないんですよね.

複素座標を用いた証明

単位円を外接円にもち各頂点が
$$A(a^3),B(b^3),C(c^3) (|a|=|b|=|c|=1,\ 0 \leq\arg{a}<\arg{b}<\arg{c}< \frac{2}{3}\pi)$$
と表される三角形$ABC$に対して示せば十分.以降,見やすさのため$\omega=\cos {\frac{2}{3}\pi} +i\sin{\frac{2}{3}\pi}$とおく.
すると,各内角の三等分線と外接円との交点の座標は以下のように求まる.
diagram1 diagram1
$a^3,bc^2$を通る弦と$b^3, \omega c^2a$を通る弦の交点$X$
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+ab^2c^3\bar{x}=ab^2+c^3 \\ x+\omega ab^3c^2\bar{x}=\omega ac^2+b^3 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
を満たす.辺々を引いて整理すると
$$ a^2b^2c^2 \bar{x}=\omega^2(ab^2-a^2b)-\omega(ca^2-\omega^2c^2a)+\omega abc $$
を得る.$Y,Z$に対しても同様にして
$$ a^2b^2c^2\bar{y}=(bc^2-b^2c)-(ab^2-a^2b)+abc\\ a^2b^2c^2\bar{z}=(ca^2-\omega^2c^2a)-\omega(bc^2-b^2c)+\omega^2abc $$
よって$\bar{x}+\omega^2\bar{y}+\omega\bar{z}=0$すなわち
$$ x+\omega y+\omega^2 z=0 $$
これは$X,Y,Z$が正三角形をなすことを意味する.$\blacksquare $

投稿日:20201230

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つむり
つむり
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図形っぽいこと? あまり専門的な話題について書くつもりはありません. interested in 位相幾何/群論

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