とある記事に関するちょっとしたお話し

定義より、$$\partial(F) = \sum_{i_2+\cdots +i_n \leq deg(F)} a_{i_2,\cdots i_n}\partial(i_2,\cdots ,i_n)$$であるから、$F=(i_2,\cdots ,i_n),\,\,G=(j_2,\cdots ,j_n)$のときを示せば十分である。
1.定義より、$F\neq G$のとき、$$\partial (aF+bG) = \partial (a(i_2,\cdots ,i_n)+b(j_2,\cdots ,j_n)) =a\partial (i_2,\cdots ,i_n)+b\partial(j_2,\cdots ,j_n)=a\partial F +b\partial G$$$F=G$のときは省略。 $$\begin{eqnarray} &\partial (F\cdot G)\\ =& \partial (i_2+j_2,\cdots,i_n+j_n)=(i_2+j_2,\cdots,i_n+j_n)\sum_{k=2}^n \frac{i_k+j_k}{(1\to k-2,2,1,0\to n-k)} \\ =&G\cdot (i_2,\cdots ,i_n)\sum_{k=2}^n \frac{i_k}{(1\to k-2,2,1,0\to n-k)} +F\cdot (j_2,\cdots ,j_n)\sum_{k=2}^n \frac{j_k}{(1\to k-2,2,1,0\to n-k)} \\ =& \partial F \cdot G + F \cdot \partial G\end{eqnarray}$$

$F\cdot G^{\prime}=F^{\prime} \cdot G$に対し、$$\frac{\partial F\cdot G - F\cdot \partial G}{G^2}=\frac{\partial F^{\prime}\cdot G^{\prime} - F^{\prime}\cdot \partial G^{\prime}}{G^{\prime 2}}$$を示せばよい。$F\cdot G^{\prime}=F^{\prime} \cdot G$の両辺に$\partial$を作用させる。命題1より、
$$\partial F \cdot G^{\prime} + F \cdot \partial G^{\prime} = \partial F^{\prime} \cdot G + F^{\prime} \cdot \partial G$$両辺$G\cdot G^{\prime}$で割る。
$$\frac{\partial F}{G}+\frac{ F \cdot \partial G^{\prime}}{G\cdot G^{\prime}}=\frac{\partial F^{\prime}}{G}+\frac{ F^{\prime} \cdot \partial G^{\prime}}{G\cdot G^{\prime}}$$$\frac{F}{G}=\frac{F^{\prime}}{G^{\prime}}$を代入して第2項同士を移行すると、$$\frac{\partial F\cdot G - F\cdot \partial G}{G^2}=\frac{\partial F^{\prime}\cdot G^{\prime} - F^{\prime}\cdot \partial G^{\prime}}{G^{\prime 2}}$$を得る。

まず、任意の$2$以上の自然数$n$に対し、$F_n\in \mathbb{R}[x_2,\cdots,x_n]$であることを数学的帰納法で証明する。$n=2$は定義より成立。$n=m$のときに成立すると仮定すると、$$\begin{eqnarray} & R_{m+1}(x_2,\cdots,x_n,x_{m+1}) \\ =&\partial R_m \\ =& \partial\left(\frac{F_m(x_2,\cdots x_m)}{(2m-3,2m-5,\cdots,3,1)}\right)\\ =& \frac{\partial F_m\cdot (2m-3,2m-5,\cdots,3,1,0)-F_m \cdot \partial(2m-3,2m-5,\cdots,3,1)}{(2m-3,2m-5,\cdots,3,1,0)^2} \\ =& \frac{\partial F_m -F_m \cdot \sum_{k=2}^m \frac{2m-2k+1}{(1\to k-2,2,1,0\to m-k)}}{(2m-3,2m-5,\cdots,3,1,0)}\\ =& \frac{\partial F_m\cdot (2\to m-1,1)-F_m \cdot \left((1\to m-2,0,0)+\sum_{k=2}^{m-1} (2m-2k+1)(1\to k-2,0,1,2\to m-k-1,1)\right)}{(2m-1,2m-3,\cdots,5,3,1)}\end{eqnarray}$$したがって、$$F_{m+1}(x_2,\cdots,x_{m+1})=\partial F_m \cdot (2\to m-1,1)-F_m \cdot \left((1\to m-2,0,0)+\sum_{k=2}^{m-1} (2m-2k+1)(1\to k-2,0,1,2\to m-k-1,1)\right)$$であり、$$F_m\sum_{i_2+\cdots +i_m \leq deg(F_m)} a_{m;i_2,\cdots i_n}(i_2,\cdots ,i_m)$$と置くと、$$\partial F_m \cdot (2\to m-1,1) = \sum_{i_2+\cdots +i_m \leq deg(F_m)} a_{m;i_2,\cdots i_m}(i_2,\cdots ,i_m,0)F_m \cdot \left(i_n(1\to m-2,0,0)+\sum_{k=2}^{m-1} i_k(1\to k-2,0,1,2\to m-k-1,1)\right)\in \mathbb{R}[x_2,\cdots x_m+1]$$したがって、$$F_m \cdot \left((1\to m-2,0,0)+\sum_{k=2}^{m-1} (2m-2k+1)(1\to k-2,0,1,2\to m-k-1,1)\right)\in \mathbb{R}[x_2,\cdots x_{m+1}]$$であるから、$F_{m+1}(x_2,\cdots,x_{m+1})\in \mathbb{R}[x_2,\cdots x_{m+1}]$である。したがって、$n=m+1$のときも成立する。

よって、数学的帰納法より任意の$2$以上の自然数$n$に対し、$F_n\in \mathbb{R}[x_2,\cdots,x_n]$であり、これと証明途中の計算により、$$R_{n+1} = \frac{\partial F_n\cdot (2\to n-1,1)-F_n \cdot \left((1\to n-2,0,0)+\sum_{k=2}^{n-1} (2n-2k+1)(1\to k-2,0,1,2\to n-k-1,1)\right)}{(2n-1,2n-3,\cdots,5,3,1)}$$および
$$F_{n+1}(x_2,\cdots,x_{n+1})=\partial F_n \cdot (2\to n-1,1)-F_n\cdot \left((1\to n-2,0,0)+\sum_{k=2}^{n-1} (2n-2k+1)(1\to k-2,0,1,2\to n-k-1,1)\right)$$を得る。

数学的帰納法で証明する。$n=2$のときは$F_2=1$なので成立。$n=m$のときに成立することを仮定すると、$$\begin{eqnarray} & F_{m+1}(x_2,\cdots,x_{m+1}) \\ =&\partial F_m \cdot (2\to m-1,1)-F_n\cdot \sum_{k=2}^m (2m-2k+1)(1\to k-2,0,1,2\to m-k)\\ =& \sum_{i_2+\cdots +i_n \leq deg(F_m)} a_{m;i_2,\cdots i_m}(i_2,\cdots ,i_m,0)\left((i_{n-1}-1)(1\to n-2,0,0)+\sum_{k=2}^{n-1} (i_k-2m+2k-1)(1\to k-2,0,1,2\to m-k-1,1)\right)\end{eqnarray}$$したがって、仮定より、$k=2,3,\cdots,m$に対し、$$deg_k(F_{m+1})\leq \deg_k(F_n)+2 \leq 2m-2k+1+2=2(m+1)-2k+1$$ であり、$$deg_{n+1}(F_{m+1})\leq 0+1 \leq 2m-2k+1=2(m+1)-2(m+1)+1$$である。特に、
$$deg_2(F_{m+1})\leq deg_2(F_m)+1\leq m+1-2$$
したがって、$n=m+1$のときも成立する。

数学的帰納法で証明する。$n=2,3$のとき、$F_2=1,\,\,F_3=-1$より成立。$n=2m,2m+1$のときに成立すると仮定すると、$n=2m+2$のとき、$$\begin{eqnarray} & \sum_{i_2+\cdots +i_{2m+2}\leq deg(F_{2m+2})} a_{2m+2;i_2,\cdots,i_{2m+2}}(i_2,\cdots,i_{2m+2}) \\ =& F_{2m+2}(x_2,\cdots,x_{2m+2}) \\ =& \sum_{i_2+\cdots +i_{2m+1} \leq deg(F_{2m+1})} a_{2m+1;i_2,\cdots i_{2m+1}}(i_2,\cdots ,i_{2m+1},0)\left((i_{2m+1}-1)(1\to 2m-1,0,0)+\sum_{k=2}^{2m} (i_k-2(2m+1)+2k-1)(1\to k-2,0,1,2\to (2m+1)-k-1,1)\right) \\ =&\sum_{i_2+\cdots +i_{2m+1} \leq deg(F_{2m+1})} \left(a_{2m+1;i_2,\cdots i_{2m+1}}(i_{2m+1}-1)(1\to 2m-1,0,0)\cdot (i_2,\cdots ,i_{2m+1},0)+\sum_{k=2}^{2m} a_{2m+1;i_2,\cdots i_{2m+1}}(i_k-2(2m+1)+2k-1) (1\to k-2,0,1,2\to (2m+1)-k-1,1)\cdot (i_2,\cdots ,i_{2m+1},0)\right)\end{eqnarray}$$したがって、各$ a_{2m+2;i_2,\cdots,i_{2m+2}}$は、$a_{2m+1;i_2,\cdots i_{2m+1}}(i_k-2(2m+1)+2k-1)$の形の項の有限個の和に等しい。

命題3より、 $$i_k-2(2m+1)+2k-1\leq deg_k(F_{2m+1})-2(2m+1)+2k-1\leq 0$$であり、仮定より、$a_{2m+1;i_2,\cdots i_{2m+1}}\leq 0$であるから、常に$a_{2m+2;i_2,\cdots,i_{2m+2}}\geq 0$が成立することがわかる。特に、仮定により$a_{2m+1;i_2,\cdots i_{2m+1}}\neq 0$となるものが存在するので、$ a_{2m+2;i_2,\cdots,i_{2m+2}}$で
$$a_{2m+1;i_2,\cdots i_{2m+1}}(i_2-2(2m+1)+3)\geq a_{2m+1;i_2,\cdots i_{2m+1}}(1-2m)>0$$
を含むものが存在し、それは$0$にはならないことがわかる。$n=2m+3$についても全く同様。

$$\sum_{k=2}^{n} (2n-2k+1)c^{2n-k-1}=\sum_{k=0}^{n-2} (2k+1)c^{n+k-1}=2c^{n-1}\sum_{k=0}^{n-2} kc^{k} + c^{n-1}\sum_{k=0}^{n-2} kc^{k}$$$$\sum_{k=0}^{n-2}c^{k}=\frac{c^{n-1}-1}{c-1}$$$$\sum_{k=0}^{n-2} kc^{k}=\frac{(n-2)c^{n}-(n-1)c^{n-1}+1}{(c-1)^2}$$より、$$\sum_{k=2}^{n} (2n-2k+1)c^{2n-k-1}=2c^{n-1}\cdot\frac{(n-2)c^{n}-(n-1)c^{n-1}+1}{(c-1)^2} +c^{n-1}\cdot\frac{c^{n-1}-1}{c-1} =c^{2n-1}\cdot \frac{(2n-3)+(1-2n)c^{-1}+(c+1)c^{-n}}{(c-1)^2}$$

$$(2n-3,2n-5,\cdots,3,1)(c)=c^{\sum_{n=2}^n(2n-2k+1)}=c^{\sum_{n=1}^{n-1}(2k-1)}=c^{(n-1)^2}$$より、$$R_n(c)=\frac{F_n(c)}{(2n-3,2n-5,\cdots,3,1)(c)}=\frac{F_n(c)}{c^{(n-1)^2}}$$また、$$F_{n+1}(c)=\partial F_n(c) \cdot (2\to n-1,1)(c)-F_n(c)\cdot\left((1\to n-2,0,0))+\sum_{k=2}^{n-1} (2n-2k+1)(1\to k-2,0,1,2\to n-k-1,1)(c)\right)$$であり、 $$(2\to n-1,1)(c)=c^{2n-1}$$$$(1\to n-2,0,0)(c)+\sum_{k=2}^{n-1} (2n-2k+1)(1\to k-2,0,1,2\to n-k)(c) =\sum_{k=2}^{n} (2n-2k+1)c^{2n-k-2}=c^{2n-1}\cdot \frac{(2n-3)+(1-2n)c^{-1}+(c+1)c^{-n}}{c(c-1)^2}$$であるから、$$F_{n+1}(c)=c^{2n-1}\left(\partial F_n(c) -F_n(c) \cdot \frac{(2n-3)+(1-2n)c^{-1}+(c+1)c^{-n}}{c(c-1)^2}\right)$$

$F_n\cdot F_{n+1}< 0$は命題4より得られる。また、$$F_{n+1}(c)=c^{2n-1}\left(\partial F_n(c) -F_n(c) \cdot \frac{(2n-3)+(1-2n)c^{-1}+(c+1)c^{-n}}{c(c-1)^2}\right)$$の両辺を$c^{n^2}$で割ると、$$\frac{F_{n+1}(c)}{c^{n^2}}=\frac{F_n(c)}{c^{n^2-2n+1}}\left(\frac{\partial F_n(c)}{F_n(c)} - \frac{(2n-3)+(1-2n)c^{-1}+(c+1)c^{-n}}{c(c-1)^2}\right)$$したがって、$$R_{n+1}(c)=R_n(c)\left(\frac{\partial F_n(c)}{F_n(c)} - \frac{(2n-3)+(1-2n)c^{-1}+(c+1)c^{-n}}{c(c-1)^2}\right)$$を得る。

$$R_{n+1}(c)=R_n(c)\left(\frac{\partial F_n(c)}{F_n(c)} - \frac{(2n-3)+(1-2n)c^{-1}+(c+1)c^{-n}}{c(c-1)^2}\right)$$および、命題7より$\frac{R_{n+1}(c)}{R_n(c)}<0$である。よって、$$\left|\frac{\frac{R_{n+1}(c)}{(n+1)!}}{\frac{R_n(c)}{n!}}\right| =\frac{(2n-3)+(1-2n)c^{-1}+(c+1)c^{-n}}{(n+1)c(c-1)^2}-\frac{\partial F_n(c)}{(n+1)F_n(c)}$$の両辺の$\limsup_{n\to \infty}$をとることで得られる。

命題4より、
$$\frac{\partial F_n(c)}{F_n(c)}>0$$
である。したがって、
$$\liminf_{n\to \infty}{\frac{\partial F_n(n)}{nF_n(c)}}\geq 0$$
より、命題8から、
$$\limsup_{n\to \infty}{\left|\frac{\frac{R_{n+1}(c)}{(n+1)!}}{\frac{R_n(c)}{n!}}\right|}\leq \frac{2}{c^2(c-1)}$$
したがって、
$$R_c = \frac{1}{\limsup_{n\to \infty}{\left|\frac{\frac{R_{n+1}(c)}{(n+1)!}}{\frac{R_n(c)}{n!}}\right|}}\geq \frac{c^2(c-1)}{2} $$

上二式は定義$6$による。
$f_c^{\prime}(c)=c>0$より、ある開区間$V_c(c)\subset I_c$上で$f_c(x)$は狭義単調増加である。
これと$f_c(x)$の連続性から、$f_c(V_c)$は$\mathbb{R}$上の開区間である。$c\in V_c(c),\,\, c\in f_c(V_c)$より、$J_c:=V_c(c)\cap f_c(U_c)$は$\mathbb{R}$上の開区間である。

$f^{-1}(x)$の狭義単調増加性より、$f^{\prime}(x)=f^{-1}(x)\,\,\,(x\in、J_f\cap f^{\prime}(J_f))$から$c$は$f^{\prime}(J_f)$の内点である。よって、$f(x)$の連続性より$\mathrm{Int}(f(J_f))$は$c$を含む開区間である。
次に、$g(x)=x-f^{\prime}(x)$と置く。$g(c)=c-c=0,\,\,\,g^{\prime}(c)=1-\frac{1}{c}>0$より、$g$は$J_f$上$C^1$級なので、$L_f$を、$c$を含む$\{x\in J_f|g^{\prime}(x)>0\}$の連結領域の内部として定義すると、$L_f$は$c$を含む開区間であり、任意の開区間$c\in (a,b)\subset L_f$に対し、$a< f^{\prime}(a)< f^{\prime}(b)< b$となる。$x,f^{\prime}(x)$は$J_f$上単調増加なので、任意の開区間$c\in (a,b)\subset L_f$に対し、$f^{\prime}((a,b)))\subset (a,b)$となる。したがって、$K_f=L_f\cap \mathrm{Int}(f(J_f))$とすると、これは開区間であり、$c\in K_f\subset L_f$であるから、$f^{\prime}(K_f)\subset K_f$である。定義より$c\in f^{\prime}(K_f)\subset K_f \subset J_f\cap f(J_f)$である。

逆関数の微分法より
$$\frac{d^2f}{dx^2}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}=\frac{1}{f^{\prime}(f^{\prime}(x))}=\frac{1}{f^2(x)}$$
数学的帰納法で証明する。$n=2$のとき、合成関数の微分法より、
$$\frac{df^2}{dx}(x)=\frac{d^2f}{dx^2}(f^{\prime}(x))\cdot\frac{d^2f}{dx^2}(x) =\frac{1}{f^2(f^{\prime}(x))}\cdot\frac{1}{f^2(x)}=\frac{1}{f^3(x)\cdot f^2(x)}$$
であるから成立する。$n=m$のときを仮定すると、$n=m+1$のとき、
$$\frac{df^{m+1}}{dx}(x)=\frac{d^2f}{dx^2}(f^{m}(x))\cdot\frac{df^{m}}{dx}(x) =\frac{1}{f^2(f^{m}(x))}\cdot\frac{1}{(1\to m,0)(f^2,\cdots,f^{m+1}(x),f^{m+2}(x))}=\frac{1}{(1\to m+1)(f^2(x),\cdots,f^{m+2}(x))}$$
したがって、$n=m+1$のときも成立する。

まず、$F\in \mathbb{R}[x_2,\cdots,x_n]$に対し証明する。
$\frac{d}{dx},\,\,\partial$の線形性により、$(i_2\cdots,i_n)$について示せば十分である。
$$\frac{d}{dx}(i_2\cdots,i_n)(f^2(x),\cdots,f^n(x)) =\frac{d}{dx}\prod_{k=2}^n(f^k(x)){^i_k} =\left(\prod_{k=2}^n(f^k(x))^{i_k}\right)\cdot \sum_{k=2}^n \frac{i_k}{f^{k}(x)}\cdot\frac{df^{k}}{dx}(x)=(i_2\cdots,i_n)(f^2(x),\cdots,f^n(x))\cdot \sum_{k=2}^n \frac{i_k}{(1\to k-2,2,1,0\to n-k)(f^2(x),\cdots,f^n(x),f^{n+1}(x))}=\partial (i_2\cdots,i_n)(f^2(x),\cdots,f^n(x),f^{n+1}(x))$$
よって成立。次に、$H\in \mathbb{R}(x_2,\cdots,x_n)$に対し、$H=\frac{F}{G},\,\,\,(F,G\in\mathbb{R}[x_2,\cdots,x_n])$とすると、
$$\frac{d}{dx}(H(f^2(x),\cdots,f^n(x)))=\frac{d}{dx}\left(\frac{F(f^2(x),\cdots,f^n(x))}{G(f^2(x),\cdots,f^n(x))}\right)=\frac{\frac{d}{dx}F(f^2(x),\cdots,f^n(x))\cdot G(f^2(x),\cdots,f^n(x)) - F(f^2(x),\cdots,f^n(x))\cdot \frac{d}{dx}G(f^2(x),\cdots,f^n(x))}{G(f^2(x),\cdots,f^n(x))^2}=\frac{\partial F(f^2(x),\cdots,f^n(x),f^{n+1}(x))\cdot G(f^2(x),\cdots,f^n(x)) - F(f^2(x),\cdots,f^n(x))\cdot \partial G(f^2(x),\cdots,f^n(x),f^{n+1}(x))}{G(f^2(x),\cdots,f^n(x))^2}=\partial H(f^2(x),\cdots,f^n(x),f^{n+1}(x))$$
よって成立。

数学的帰納法で証明する。
$n=2$のとき、$$\frac{d^2f}{dx^2}(x)=\frac{1}{f^2(x)}=R_2(f^2(x))$$
であるから成立する。$n=m$のときに成立すると仮定すると、$n=m+1$のとき、
$$\frac{d^{m+1}f}{dx^{m+1}}(x)=\frac{d}{dx}R_m(f^2(x),f^3(x),\cdots,f^m(x))=\partial R_m(f^2(x),f^3(x),\cdots,f^m(x),f^{m+1}(x))=R_{m+1}(f^2(x),f^3(x),\cdots,f^{m+1}(x))$$
よって、$n=m+1$のときも成立する。

命題15より、$a_0=c,\,\,a_1=c,\,\,a_n=\frac{R_n(c)}{n!}\,\,\,(n=2,3,\cdots)$であるから、
$$f(x)=c+c(x-c)+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{R_n(c)}{n!}(x-c)^n=f_c(x)$$
となる。したがって、$R_f=R_c$であり、$f(x)=f_c(x)\,\,\,(x \in I_c) $が成立する。

$$f_c^{\to}(z):=\frac{f_c(z)-c}{z-c}$$に定義6式を代入すればよい。

一致の定理より、 $$f^{\prime}_c(z)=f^{-1}_c(z) \,\,(z\in D_c)$$である。$$f_c^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{R_{n+1}(c)}{n!}(x-c)^n$$およびより、Tayler展開の一意性から、 $$\begin{eqnarray} R_n(c) &= \lim_{w\to c}\frac{d^{n-2}}{dw^{n-2}}\left[\left(\frac{w-c}{f(w)-f(c)}\right)^{n-1}\right] \,\,(n=3,4,\cdots)\end{eqnarray}$$を得る。補題18の1.$$\begin{eqnarray} &\lim_{w\to c}\frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}}\left[\left(\frac{w-c}{f(w)-f(c)}\right)^{n}\right] \\ =&\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(f_c^{\to}(z))^{-n}|_{z=c}\end{eqnarray}$$において、$f(x)=x^{-n+1},g(x)=f_c^{\to}(x)$として、定理19を適用し、補題18の2.を代入して、$$\begin{eqnarray} &\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}(f_c^{\to}(z))^{-n}|_{z=c} \\ =& \sum_{i=1}^{n-2} \sum_{(q)}(-1)^i(n+i-2)!c^{-n+i-1} \prod_{k=1}^{n-i-1}\frac{1}{q_k!}\left[\frac{R_{k+1}(c)}{(k+1)!}\right]^{q_k}\,\,(n=3,4,\cdots)\end{eqnarray}$$となり、求める式を得る。 $J_c\subset I_c \subset D_c$および
$$\begin{eqnarray} R_1(c)&=c \\ R_2(c)&=\lim_{w\to c}\frac{w-c}{f(w)-f(c)} =\frac{1}{f^{\prime}(c)}=\frac{1}{c} \\\end{eqnarray}$$より、議論を逆にたどることで同値性が示される。

1.双線形性は偏微分演算子の線形性より得られる。また、$\{(i_2,\cdots,i_n)\}_{i_2,\cdots,i_n\in \mathbb{N}\cup\{0\}}$の各元に対しては、$$<(i_2,\cdots,i_n),(i_2,\cdots,i_n)>=(i_2,\cdots,i_n)!$$であり、$(i_2,\cdots,i_n)\neq(j_2,\cdots,j_n)$に対し、$i_k\neq j_k$となるものが一つとれ、これに対応する$\partial_k^{i_k}x_k^{j_k}$に着目すると、$$<(i_2,\cdots,i_n),(j_2,\cdots,j_n)>=0$$ を得る。
$$F(x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i_2,\cdots,i_n\in \mathbb{N}\cup\{0\}}a_{i_2,\cdots,i_n}(i_2,\cdots,i_n)$$に対し、線形性および上の計算により、$$< F(x_2,\cdots,x_n), F(x_2,\cdots,x_n)>=\sum_{i_2,\cdots,i_n\in \mathbb{N}\cup\{0\}}a_{i_2,\cdots,i_n}^2(i_2,\cdots,i_n)!$$が成立する。これにより、正値性、正定値性が示された。対称性も同様の計算で示せる。2.は1.の証明の途中式および多項式環の定義から示される。

線形性については、命題1と掛け算写像の線形性による。値域が$\mathbb{R}[x_2,\cdots,x_{n+1}]$に含まれることについては、命題2の途中式と全く同様の計算で示せる。
$$A_n(j_2,\cdots,j_n)=\sum_{k=2}^n\frac{(j_k-2n+2k-1)}{x_{n+1}}(j_2,\cdots,j_n,0)\cdot (1\to k-2,0,1,2\to(n-k))$$であるから、両辺をそれぞれ$<(i_2,\cdots,i_{n+1}),->$に代入し、定義10の2.および
$$(j_2,\cdots,j_{n},0)=\frac{(i_2,\cdots,i_n,i_{n+1}+1)}{(1\to k-2,0,1,2\to(n-k))}$$のとき$j_k=i_k$であること用いれば、1.および2.を得る。