再訪：Legendre(ルジャンドル)変換について

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前回の記事でも紹介した Legendre変換について, 定理(= convex duality of Hamiltonian & Lagrangian)の証明とその例を与える.

以下, $n \in N$ , $| \cdot |$ を $R^{n}$ に於けるEuclid ノルムとする, $B_{r} (x)$ を点 $x \in R^{n}$ に於ける半径 $r > 0$ の開球を表す.

前回の振り返り.

前回の記事でも定義したが, $v \in R^{n}$ のみに依存する Lagrangian $L : R^{n} \to R$ を, 凸かつ強圧的なものとする. 但し, $L$ が強圧的であるとは,
$\begin{array}{r} lim_{| v | \to \infty} \frac{L (v)}{| v |} = + \infty \end{array}$
をみたすことである. この $L$ に対して, Legendre(ルジャンドル)変換 $L^{*}$ を定義する.

Legendre変換と Hamiltonian

$L$ の Legendre変換 $L^{*}$ を,
$\begin{array}{r} L^{*} (p) = sup_{v \in R^{n}} {p \cdot v - L (v)}, p \in R^{n} \end{array}$
で定義する. $sup$ は実際には $max$ となる. (これは前回の記事で証明した.)
また, $p \in R^{n}$ のみに依存する Hamiltonian $H : R^{n} \to R$ を, $H (p) = L^{*} (p)$ で定義する.

Convex duality of Hamiltonian & Lagrangian について.

上で定義した Lagrangian $L$ とHamiltonian $H$ に対して, これらの関係を考える.

convex duality

$L$ と $H = L^{*}$ に対して, 次の (i),(ii) が成り立つ:
(i) $H$ は凸函数かつ強圧的,
(ii) $H^{*} = L .$ $(i . e ., L^{* *} = L .)$

この定理によって, $L$ が凸函数かつ強圧的の仮定をみたすLagrangian が与えられれば, そのLegendre 変換で Hamiltonian $H$ が導けることを示している. また, (ii) からLegendre変換を2回施すと元に戻ることが言える. ここではこの性質を, "convex duality" と呼ぶ.
前回の記事では証明まで紹介できなかったので, 今回はこの定理をきちんと示すことにする.

(i): まず, 凸性について. $^{\forall} θ \in [0, 1],^{\forall} p, \hat{p} \in R^{n}$ に対して,
\begin{align}
H(\theta p + (1-\theta)\hat{p})
&= \sup{v \in \mathbb{R}^{n}}\bigr{(\theta p + (1-\theta)\hat{p})\cdot v -L(v) \bigl} \nonumber \
&= \sup{v \in \mathbb{R}^{n}} \bigl{ \theta p \cdot v - \theta L(v)+(1-\theta)\hat{p}\cdot v - (1-\theta)L(v) \bigr} \nonumber \
&\leq \theta \sup{v \in \mathbb{R}^{n}}\bigl{ p\cdot v -L(v) \bigr} +(1-\theta)\sup{v \in \mathbb{R}^{n}}\bigl{ \hat{p}\cdot v -L(v) \bigr} \nonumber \
&= \theta H(p) + (1-\theta)H(\hat{p})
\end{align}
となる. 従って, $H$ は凸函数である.
次に, $H$ が強圧的であることについて. $λ > 0$ を任意に固定する. $p \in \R^{n}\backslash{0}$ とする. このとき,
\begin{align}
H(p) = L^{}(p)
&= \sup{v \in \mathbb{R}^{n}} \bigl{ p \cdot v -L(v) \bigr} \nonumber \
&\geq p \cdot \frac{\lambda}{|p|}p - L\Bigl(\frac{\lambda}{|p|}p\Bigr) \qquad (v = \frac{\lambda}{|p|}p とした.) \nonumber \
&= \lambda |p| -L\Bigl(\frac{\lambda}{|p|}p\Bigr) \nonumber \
&\geq \lambda |p|- \sup{v \in \overline{B}{\lambda}(0)} L(v) \qquad (L は \overline{B}{\lambda}(0)で連続より) \nonumber \
&= \lambda |p| - M{\lambda} \qquad (M{\lambda}:=\sup{v \in \overline{B}{\lambda}(0)} L(v) とおく)
\end{align}
となる. 従って, $\Forall p \in \R^{n}\backslash {0} $に対して,$ \frac{H(p)}{|p|} \geq \frac{\lambda |p|-M{\lambda}}{|p|} = \lambda - \frac{M{\lambda}}{|p|}$ が成り立つので,
\begin{align}
\liminf{|p|\to \infty}\frac{H(p)}{|p|} \geq \liminf{|p|\to \infty} \biggr( \lambda - \frac{M{\lambda}}{|p|} \biggl) = \lambda
\end{align}
となる. ここで, $λ > 0$ は任意なので, $λ \to + \infty$ とすると,
\begin{align}
\lim{|p| \to \infty} \frac{H(p)}{|p|} = +\infty
\end{align}
が成り立つ. 従って, $H$ は強圧的である. 以上より, $H$ は凸かつ強圧的である.
(ii): (i)より, $H$ に対して Legendre変換 $H^{*}$ を定義することができる事に注意する. ここで, $v \in R^{n}$ を任意に固定する.　このとき,
\begin{align}
H^{}(v)
&= \sup{p\in \mathbb{R}^{n}} \Bigl{ p\cdot v -H(p) \Bigr} \nonumber \
&= \sup{p\in \mathbb{R}^{n}} \Bigl{ p\cdot v -\sup{r \in \mathbb{R}^{n}}\bigl{ p\cdot r -L(r) \bigr} \Bigr} \nonumber \
&= \sup{p\in \mathbb{R}^{n}} \Bigl{ p\cdot v +\inf{r \in \mathbb{R}^{n}}\bigl{ L(r)-p\cdot r \bigr} \Bigr} \nonumber \
&= \sup{p \in \mathbb{R}^{n}}\inf{r \in \mathbb{R}^{n}} \Bigl{ L(r) +p\cdot(v-r) \Bigr} = (\ast) \nonumber
\end{align}
となる. ここで, $L$ は凸函数なので, $v \in R^{n}$ に対して, $^{\exists} s \in R^{n} s . t .$
\begin{align}
L(r) \geq L(v) + s \cdot(r-v) , \quad r \in \mathbb{R}^{n}
\end{align}
とできる*. よって, $r \in R^{n}$ に関して $inf$ をとると,
\begin{align}
\inf{r \in \mathbb{R}^{n}}\Bigl{ L(r)+s\cdot(v-r) \Bigr}
&\geq L(v)
\end{align}
を得る. 他方, $r = v$ とすれば $\displaystyle{L(v) \geq \inf{r \in \mathbb{R}^{n}}\Bigl{ L(r)+s\cdot(v-r) \Bigr} }$ は常に成り立つ. 従って,
\begin{align}
\inf{r \in \mathbb{R}^{n}}\Bigl{ L(r)+s\cdot(v-r) \Bigr} = L(v)
\end{align}
が成り立つので, $(*)$ より, $p = s$ と取れば,
\begin{align}
H^{}(v) = (\ast)
&= \sup{p \in \mathbb{R}^{n}}\inf{r \in \mathbb{R}^{n}} \Bigl{ L(r) +p\cdot(v-r) \Bigr} \
&\geq \inf{r \in \mathbb{R}^{n}}\Bigl{ L(r)+s\cdot(v-r) \Bigr} = L(v)
\end{align*}
を得る. よって, $H^{}(v)\geq L(v), v \in \R^{n} $が示された . 逆の不等号は$ H^{} $の定義より, 任意の$ v \in \R^{n}$ に対して,
\begin{align}
H^{*}(v) = \sup{p \in \R^{n}} \bigl{ p\cdot v-H(p) \bigr} \leq \sup_{p\in \R^{n}}L(v) =L(v)
\end{align}
が成り立つ. 従って, $H^{*} = L$ を得る.

Legendre変換について, 最も典型的な例を挙げる:

簡単の為, $n = 1$ とする. $L (v) = \frac{v^{2}}{2}, v \in R$ とする. このとき, Hamiltonian $H$ は,
$\begin{array}{r} H (p) = L^{*} (p) = \frac{p^{2}}{2}, p \in R \end{array}$
で与えられる.