再訪：Legendre(ルジャンドル)変換について

(i): まず, 凸性について. $\Forall \theta \in [0,1],\Forall p,\hat{p} \in \mathbb{R}^{n}$ に対して,
\begin{align}
H(\theta p + (1-\theta)\hat{p})
&= \sup{v \in \mathbb{R}^{n}}\bigr{(\theta p + (1-\theta)\hat{p})\cdot v -L(v) \bigl} \nonumber \
&= \sup{v \in \mathbb{R}^{n}} \bigl{ \theta p \cdot v - \theta L(v)+(1-\theta)\hat{p}\cdot v - (1-\theta)L(v) \bigr} \nonumber \
&\leq \theta \sup{v \in \mathbb{R}^{n}}\bigl{ p\cdot v -L(v) \bigr} +(1-\theta)\sup{v \in \mathbb{R}^{n}}\bigl{ \hat{p}\cdot v -L(v) \bigr} \nonumber \
&= \theta H(p) + (1-\theta)H(\hat{p})
\end{align}
となる. 従って, $H$ は凸函数である.
次に, $H$ が強圧的であることについて. $ \lambda>0$ を任意に固定する. $p \in \R^{n}\backslash{0}$ とする. このとき,
\begin{align}
H(p) = L^{}(p)
&= \sup{v \in \mathbb{R}^{n}} \bigl{ p \cdot v -L(v) \bigr} \nonumber \
&\geq p \cdot \frac{\lambda}{|p|}p - L\Bigl(\frac{\lambda}{|p|}p\Bigr) \qquad (v = \frac{\lambda}{|p|}p とした.) \nonumber \
&= \lambda |p| -L\Bigl(\frac{\lambda}{|p|}p\Bigr) \nonumber \
&\geq \lambda |p|- \sup{v \in \overline{B}{\lambda}(0)} L(v) \qquad (L は \overline{B}{\lambda}(0)で連続より) \nonumber \
&= \lambda |p| - M{\lambda} \qquad (M{\lambda}:=\sup{v \in \overline{B}{\lambda}(0)} L(v) とおく)
\end{align}
となる. 従って, $\Forall p \in \R^{n}\backslash {0}$ に対して, $\frac{H(p)}{|p|} \geq \frac{\lambda |p|-M{\lambda}}{|p|} = \lambda - \frac{M{\lambda}}{|p|}$ が成り立つので,
\begin{align}
\liminf{|p|\to \infty}\frac{H(p)}{|p|} \geq \liminf{|p|\to \infty} \biggr( \lambda - \frac{M{\lambda}}{|p|} \biggl) = \lambda
\end{align}
となる. ここで, $\lambda>0$ は任意なので, $\lambda \to +\infty$ とすると,
\begin{align}
\lim{|p| \to \infty} \frac{H(p)}{|p|} = +\infty
\end{align}
が成り立つ. 従って, $H$ は強圧的である. 以上より, $H$ は凸かつ強圧的である.
(ii): (i)より, $H$ に対して Legendre変換 $H^{*}$ を定義することができる事に注意する. ここで, $v \in \mathbb{R}^{n}$ を任意に固定する.　このとき,
\begin{align}
H^{}(v)
&= \sup{p\in \mathbb{R}^{n}} \Bigl{ p\cdot v -H(p) \Bigr} \nonumber \
&= \sup{p\in \mathbb{R}^{n}} \Bigl{ p\cdot v -\sup{r \in \mathbb{R}^{n}}\bigl{ p\cdot r -L(r) \bigr} \Bigr} \nonumber \
&= \sup{p\in \mathbb{R}^{n}} \Bigl{ p\cdot v +\inf{r \in \mathbb{R}^{n}}\bigl{ L(r)-p\cdot r \bigr} \Bigr} \nonumber \
&= \sup{p \in \mathbb{R}^{n}}\inf{r \in \mathbb{R}^{n}} \Bigl{ L(r) +p\cdot(v-r) \Bigr} = (\ast) \nonumber
\end{align}
となる. ここで, $L$ は凸函数なので, $v \in \R^n$ に対して, $ \Exists s \in \R^{n} \ {\rm s.t.}$
\begin{align}
L(r) \geq L(v) + s \cdot(r-v) , \quad r \in \mathbb{R}^{n}
\end{align}
とできる*. よって, $r \in \mathbb{R}^{n}$ に関して $\inf$ をとると,
\begin{align}
\inf{r \in \mathbb{R}^{n}}\Bigl{ L(r)+s\cdot(v-r) \Bigr}
&\geq L(v)
\end{align}
を得る. 他方, $r=v$ とすれば $\displaystyle{L(v) \geq \inf{r \in \mathbb{R}^{n}}\Bigl{ L(r)+s\cdot(v-r) \Bigr} }$ は常に成り立つ. 従って,
\begin{align}
\inf{r \in \mathbb{R}^{n}}\Bigl{ L(r)+s\cdot(v-r) \Bigr} = L(v)
\end{align}
が成り立つので, $(\ast)$ より, $p=s$ と取れば,
\begin{align}
H^{}(v) = (\ast)
&= \sup{p \in \mathbb{R}^{n}}\inf{r \in \mathbb{R}^{n}} \Bigl{ L(r) +p\cdot(v-r) \Bigr} \
&\geq \inf{r \in \mathbb{R}^{n}}\Bigl{ L(r)+s\cdot(v-r) \Bigr} = L(v)
\end{align*}
を得る. よって, $H^{}(v)\geq L(v), v \in \R^{n}$ が示された. 逆の不等号は $H^{}$ の定義より, 任意の $v \in \R^{n}$ に対して,
\begin{align}
H^{*}(v) = \sup{p \in \R^{n}} \bigl{ p\cdot v-H(p) \bigr} \leq \sup_{p\in \R^{n}}L(v) =L(v)
\end{align}
が成り立つ. 従って, $H^{*}=L$ を得る.