【層理論第3.5回】導来函手と層係数コホモロジー
はじめに
こんにちは！層理論の第3.5回です．今回はちょっとだけ脇道にそれて導来函手の一般論とそれを使った層係数コホモロジーのとらえ方についてお話しします．今回の話は証明を書き始めると大変なので，ほとんど証明はやりません．
導来函手
以下，この節では$\cA, \cB$をアーベル圏とします．ここでは一般の左完全函手に対して層係数コホモロジーのように短完全列の「完全でない具合」をはかるため完全になるように右にどんどん引き伸ばせる右導来函手について説明します．導来函手の構成は前回も考えた「対象を『良い性質』を持つ対象によって分解してそれを函手でうつしたときのズレをはかる」というものですが，構成自体はそれなりに複雑で何がやりたいかの気持ちを汲み取ることは最初は難しい印象があります．そこで「左完全函手を右にどんどん完全に伸ばす」という性質だけを抽象化した$\delta$函手というものとその性質についてまず説明します．$\delta$函手であって$0$次部分が元の左完全函手に一致するものを構成する方法が導来函手だと考える方が（少なくとも筆者は）スッキリと理解できます．
$\delta$函手
まず，層係数コホモロジーの函手やあとで定義する右導来函手の持つ性質を抽象化した$\delta$函手の定義から始めましょう．
$\{ T^n \}_{n \in \bbZ_{\ge 0}}$を加法函手$T^n \colon \cA \to \cB$の列として，$\cA$における任意の短完全列$0 \to A' \to A \to A'' \to 0$と任意の$n \in \bbZ_{\ge 0}$に対して連結射$\delta^n=\delta^n(A' \to A \to A'') \colon T^n(A'') \to T^{n+1}(A')$が定まっているとする．このとき$T^\bullet=\{T^n,\delta^n\}_{n \in \bbZ_{\ge 0}}$が$\cA$から$\cB$への（コホモロジー的）$\delta$函手であるとは，次の二つの公理を満たすことをいう：
(1) $\cA$における任意の短完全列$0 \to A' \xrightarrow{f} A \xrightarrow{g} A'' \to 0$に対して
\begin{xy}
\xymatrix@C=30pt{
0 \ar[r] & T^0(A') \ar[r]^-{T^0(f)} & T^0(A) \ar[r]^-{T^0(g)} & T^0(A'') \ar `[rd] `[l] `[dlll] `^r[dll]^{\delta^0} [dll] & \\
& T^1(A') \ar[r]^-{T^1(f)} & T^1(A) \ar[r] & \cdots & \\
& & \cdots \ar[r] & T^{n-1}(A'') \ar `[rd] `[l] `[dlll] `^r[dll]^{\delta^{n-1}} [dll] & \\
& T^n(A') \ar[r]^-{T^n(f)} & T^n(A) \ar[r]^-{T^n(g)} & T^n(A'') \ar `[rd] `[l] `[dlll] `^r[dlll]^{\delta^n} [dll] & \\
& T^{n+1}(A') \ar[r] & \cdots & &
}
\end{xy}
は$\cB$における完全列である．
(2) $\cB$における行が完全である任意の可換な図式
\begin{xy}
\xymatrix{
0 \ar[r] & A' \ar[r] \ar[d] & A \ar[r] \ar[d] & A'' \ar[r] \ar[d] & 0 \\
0 \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & B'' \ar[r] & 0
}
\end{xy}
と任意の$n \in \bbZ_{\ge 0}$に対して，次の$\cB$における図式は可換である：
\begin{xy}
\xymatrix@C=60pt{
T^n(A'') \ar[r]^-{\delta^n(A' \to A \to A'')} \ar[d] & T^{n+1}(A') \, \ar[d] \\
T^n(B'') \ar[r]_-{\delta^n(B' \to B \to B'')} & T^{n+1}(B').
}
\end{xy}
(1)から特に$T^0$は左完全函手で(1)は$T^1,T^2,\dots$を付け足して短完全列から長完全列が得られることを言っています．(2)はある意味で連結射も「函手性」を満たしているということを述べています．
加法函手の列$\{T_n\}_{n \in \bbZ_{\ge 0}}$で$\cA$における任意の短完全列$0 \to A' \to A \to A'' \to 0$と任意の$n \in \bbZ_{\ge 0}$に対して連結射$\delta_n=\delta_n(A' \to A \to A'') \colon T_n(A'') \to T_{n-1}(A')$が定まっていて定義1と同様の二つの公理をみたすものはホモロジー的$\delta$函手と呼ばれる．話は双対なので以下ではコホモロジー的なものだけについて述べる．
以降は記号を簡単にするために添え字$n$は$\bbZ_{\ge 0}$を渡るとして単に$\{T^n\}_n$などと書きます．また，連結射$\delta$は省略して単に$T^\bullet=\{T^n\}_{n}$と書きます．
$X$を位相空間とする．このとき， 第3回 の定理4より，層係数コホモロジー函手$H^n(X;\ast) \colon \Sh(X) \to Ab$の列$H^\bullet(X;\ast)=\{ H^n(X;\ast) \}_n$は$\Sh(X)$から$Ab$への$\delta$函手である．
$\delta$函手の射は函手の射の列で連結射とも可換になるもののことです．
$T^\bullet=\{T^n\}_n, U^\bullet=\{U^n\}_n$を$\cA$から$\cB$への$\delta$函手とする．$T^\bullet$から$U^\bullet$への$\delta$函手の自然変換または$\delta$函手の射とは$\varphi^n \colon T^n \to U^n$なる自然変換の列$\varphi^\bullet=\{ \varphi^n\}_n$であって，$\cA$における任意の短完全列$0 \to A' \to A \to A'' \to 0$と任意の$n \in \bbZ_{\ge 0}$に対して，次の$\cB$における図式を可換にするものである：
\begin{xy}
\xymatrix{
T^n(A'') \ar[r]^-{\delta^n_T} \ar[d]_-{\varphi^n_{A''}} & T^{n+1}(A')\, \ar[d]^-{\varphi^{n+1}_{A'}} \\
U^n(A'') \ar[r]_-{\delta^n_U} & U^{n+1}(A').
}
\end{xy}
$\delta$函手の同形とは$\delta$函手の自然変換$\varphi^\bullet=\{ \varphi^n\}_n$で各$\varphi^n$が自然同値のもののことです．
さて，次に$\delta$函手の中でも「性質が良い」ものを考えます．これは$0$次の部分の射が全部の次数に持ち上がるという普遍性で定義されます．
$T^\bullet=\{T^n\}_n$を$\cA$から$\cB$への$\delta$函手とする．$T^\bullet$が普遍$\delta$函手であるとは，任意の$\cA$から$\cB$への$\delta$函手$U^\bullet=\{U^n\}_n$と任意の自然変換$\varphi \colon T^0 \to U^0$に対して，$T^\bullet$から$U^\bullet$への$\delta$函手の自然変換$\varphi^\bullet=\{\varphi^n\}_n$が一意的に存在して$\varphi^0=\varphi$となることをいう．
上の定義中の$\varphi^\bullet$の条件を「$\varphi$が$\delta$函手の自然変換$\varphi^\bullet$に一意的に拡張される」と雑に言ってしまうことにします．普遍$\delta$函手は次のように$0$次の部分だけで決まってしまいます．
$T^\bullet=\{T^n\}_n$と$U^\bullet=\{U^n \}_n$を$\cA$から$\cB$への普遍$\delta$函手とする．このとき，$T^0 \simeq U^0$ならば$T^\bullet$と$U^\bullet$は$\delta$函手として同形である．
自然同値$\varphi \colon T^0 \to U^0$とその逆$\psi \colon U^0 \to T^0$を取る．普遍$\delta$函手であることから，これらは$\varphi^\bullet \colon T^\bullet \to U^\bullet$と$\psi^\bullet \colon U^\bullet \to T^\bullet$に一意的に拡張される．$\psi^\bullet \circ \varphi^\bullet \colon T^\bullet \to T^\bullet$は$\psi \circ \varphi=\id_{T^0} \colon T^0 \to T^0$の拡張なので，一意性により$\psi^\bullet \circ \varphi^\bullet=\id_{T^\bullet}$である．同様にして$\varphi^\bullet \circ \psi^\bullet=\id_{U^\bullet}$である．
さて，$\delta$函手が普遍$\delta$函手になる条件は次のように与えられます．証明はGrothendieckのTohoku論文などを参照してください（ 超局所的物置の「層とコホモロジー」 にも証明を書いてあります）．
加法函手$T \colon \cA \to \cB$が削除可能 (effaceable) であるとは，任意の対象$A \in \cA$に対して単射$u \colon A \to M$であって$T(u)=0$なるものが存在することをいう．
effaceableの訳として「削除可能」を使うのが一般的かは不明である．
$T^\bullet=\{T^n\}_n$を$\cA$から$\cB$への$\delta$函手とする．任意の$n=1,2,\dots$に対して$T^n$が削除可能ならば，$T^\bullet$は普遍$\delta$函手である．
ここまで抽象論・一般論を展開しましたが，実際にやりたいことは「左完全函手$T \colon \cA \to \cB$が与えられたときに$T^0 \simeq T$となる普遍$\delta$函手$T^\bullet=\{T^n\}_n$を構成する」ということです．$\cA$が適当な条件を満たすとき，これが可能であることを次に見ましょう．
左完全函手の右導来函手
ここでは左完全函手$T \colon \cA \to \cB$に対して，$\cA$から$\cB$への$\delta$函手$R^\bullet T=\{R^n T\}_n$であって$R^0T \simeq T$となる右導来函手というものを構成する方法について説明します．構成は$\cA$の対象を「良い対象」たちに分解するして$T$でうつしてやった複体の完全からのズレをはかることで行います．まず良い対象として入射的対象を定義します．
(i) $\cA$の対象$I \in \cA$が入射的であるとは函手$\Hom(\ast,I) \colon \cA^{\op} \to Ab$が単射を全射に送る（いま$\cA$はアーベル圏なのでこの函手が完全である）ことをいう．
(ii) $\cA$が十分多くの入射的対象を持つとは，任意の対象$A \in \cA$に対して，ある入射的対象$I \in \cA$と単射$A \to I$が存在することをいう．
あとで層の圏$\Sh(X)$は十分多くの入射的対象を持つことを見ます．以下では$\cA$は十分多くの入射的対象を持つと仮定します．このとき，
第3回
で標準脆弱分解を構成したように余核を取って単射で埋め込むという構成を繰り返すことで，任意の対象$A \in \cA$に対して分解
$$
0 \to A \to I^0 \xrightarrow{d^0} I^1 \xrightarrow{d^1} I^2 \xrightarrow{d^2} \cdots
$$
であって，各$I^n$が入射的であるものが存在することが分かります．このような分解を$A$の入射分解と呼びます．対象$A \in \cA$の入射分解は一意的とは限りません．複体$I^0 \to I^1 \to I^2 \to \cdots$を$I^\bullet$とあらわして入射分解を$0 \to A \to I^\bullet$ともあらわすことにしましょう．$f \colon A \to B$を$\cA$における射として$0 \to A \to I^\bullet$と$0 \to B \to J^\bullet$をそれぞれ$A$と$B$の入射分解したとき，図式
\begin{xy}
\xymatrix{
0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[d]^-{f} & I^0 \ar[r] \ar[d]^-{f^0} & I^1 \ar[r] \ar[d]^-{f^1} & \cdots \ar[r] & I^{n-1} \ar[r] \ar[d]^-{f^{n-1}} & I^n \ar[r] \ar[d]^-{f^n} & I^{n+1} \ar[r] \ar[d]^-{f^{n+1}} & \cdots \\
0 \ar[r] & B \ar[r] & J^0 \ar[r] & J^1 \ar[r] & \cdots \ar[r] & J^{n-1} \ar[r] & J^n \ar[r] & J^{n+1} \ar[r] & \cdots
}
\end{xy}
を可換にする複体の射$f^\bullet=\{f^n \}_n \colon I^\bullet \to J^\bullet$のことを$f$の上の複体の射と呼ぶことにしましょう（ここだけの用語）．これを単に
\begin{xy}
\xymatrix{
0 \ar[r] & A \ar[r] \ar[d]_-{f} & I^\bullet \ar[d]_-{f^\bullet} \\
0 \ar[r] & B \ar[r] & J^\bullet
}
\end{xy}
とも書いてしまいます．入射分解に関する基本的な性質を列挙しておきましょう．書いてみると複雑ですが，次の命題は(i)対象の間の射は入射分解の間の射にチェインホモトピックを除いて一意に持ち上がること，(ii)短完全列は入射分解に次数ごとに分裂する複体の短完全列に持ち上がること，(iii)短完全列の間の可換な射たちは入射分解たち間の可換な射たちに持ち上がることを言っています．
(i) $f \colon A \to B$を$\cA$における射として$0 \to A \to I^\bullet, 0 \to B \to J^\bullet$を$A,B$の入射分解とする．このとき，$f$の上の複体の射$f^\bullet \colon I^\bullet \to J^\bullet$が存在して，それはチェインホモトピックを除いて一意である．すなわち，他の$\tilde{f}^\bullet$で図式を可換にするものが存在すれば$f^\bullet$と$\tilde{f}^\bullet$はチェインホモトピックである．
(ii) $0 \to A_1 \xrightarrow{f_1} A_2 \xrightarrow{f_2} A_3 \to 0$を$\cA$における短完全列，$0 \to A_1 \to I_1^\bullet$と$0 \to A_3 \to I^\bullet_3$をそれぞれ$A_1$と$A_3$の入射分解とする．このとき，$A_2$の入射分解$0 \to I^\bullet_2$，$f_1$の上の複体の射$f^\bullet_1 \colon I^\bullet _1 \to I^\bullet_2$，$f_2$の上の複体の射$f^\bullet_2 \colon I^\bullet _2 \to I^\bullet_3$であって，各$n$に対して$0 \to I^n_1 \xrightarrow{f^n_1} I^n_2 \xrightarrow{f^n_2} \to I^n_3 \to 0$が分裂完全列になるものが存在する．すなわち，図式
\begin{xy}
\xymatrix{
& 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & \\
0 \ar[r] & A_1 \ar[r]^-{f_1} \ar[d] & A_2 \ar[r]^-{f_2} \ar[d] & A_3 \ar[r] \ar[d] & 0 \\
0 \ar[r] & I^\bullet_1 \ar[r]^-{f^\bullet_1} & I^\bullet_2 \ar[r]^-{f^\bullet_2} & I^\bullet_3 \ar[r] & 0
}
\end{xy}
において各列は入射分解で最後の行は次数ごとに分裂する複体の短完全列で図式が可換となるようにできる．
(iii) $\cA$における行が完全である可換な図式
\begin{xy}
\xymatrix{
0 \ar[r] & A_1 \ar[r]^-{f_1} \ar[d]^-{h_1} & A_2 \ar[r]^-{f_2} \ar[d]^-{h_2} & A_3 \ar[r] \ar[d]^-{h_3} & 0 \\
0 \ar[r] & B_1 \ar[r]_-{g_1} & B_2 \ar[r]_-{g_2} & B_3 \ar[r] & 0
}
\end{xy}
のそれぞれの行に対して(ii)の条件を満たす入射分解と複体の射の可換図式
\begin{xy}
\xymatrix{
& 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & \\
0 \ar[r] & A_1 \ar[r]^-{f_1} \ar[d] & A_2 \ar[r]^-{f_2} \ar[d] & A_3 \ar[r] \ar[d] & 0 \\
0 \ar[r] & I^\bullet_1 \ar[r]^-{f^\bullet_1} & I^\bullet_1 \ar[r]^-{f^\bullet_2} & I^\bullet_1 \ar[r] & 0
}
\end{xy}
\begin{xy}
\xymatrix{
& 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & \\
0 \ar[r] & B_1 \ar[r]^-{g_1} \ar[d] & B_2 \ar[r]^-{g_2} \ar[d] & B_3 \ar[r] \ar[d] & 0 \\
0 \ar[r] & J^\bullet_1 \ar[r]^-{g^\bullet_1} & J^\bullet_1 \ar[r]^-{g^\bullet_2} & J^\bullet_1 \ar[r] & 0
}
\end{xy}
が与えられているとする．さらに，$h_1$の上の複体の射$h^\bullet_1 \colon I^\bullet_1 \to J^\bullet_1$と$h_3$の上の複体の射$h^\bullet_3 \colon I^\bullet_3 \to J^\bullet_3$も与えられているとする．このとき，$h_2 \colon$の上の複体の射$h^\bullet_2 \colon I^\bullet_2 \to J^\bullet_2$が存在して，次は複体の射の図式となる：
\begin{xy}
\xymatrix{
0 \ar[r] & I^\bullet_1 \ar[r]^-{f^\bullet_1} \ar[d]^-{h^\bullet_1} & I^\bullet_2 \ar[r]^-{f^\bullet_2} \ar[d]^-{h^\bullet_2} & I^\bullet_3 \ar[r] \ar[d]^-{h^\bullet_3} & 0\, \\
0 \ar[r] & J^\bullet_1 \ar[r]_-{g^\bullet_1} & J^\bullet_2 \ar[r]_-{g^\bullet_2} & J^\bullet_3 \ar[r] & 0.
}
\end{xy}
さて，上の命題を使うことでほしかった$\delta$函手を定義を目指しましょう．以下，$T \colon \cA \to \cB$を左完全函手とします．$\cA$は十分多くの入射的対象を持つので，任意の対象$A \in \cA$に対して入射分解$0 \to A \to I^\bullet$を取ります．複体$I^\bullet$を函手$T$でうつすことで$\cB$における複体
$$
T(I^\bullet): T(I^0) \xrightarrow{T(d^0)} T(I^1) \xrightarrow{T(d^1)} T(I^2) \xrightarrow{T(d^2)} \cdots
$$
が得られます．この複体がどれくらい完全からずれているかをはかるために，$n \in \bbZ_{\ge}$に対して
$$
H^n(T(I^\bullet)):=\Ker T(d^n)/\Image T(d^{n-1}) \quad (d^{-1}=0)
$$
を考えましょう．さらに$\cA$における射$f \colon A \to B$が与えられたとします．$B$の入射分解$0 \to B \to J^\bullet$を取ると，命題3の(i)より$f$の上の複体の射$f^\bullet \colon I^\bullet \to J^\bullet$がホモトピックを除いて一意に定まります．$T(f^\bullet) \colon T(I^\bullet) \to T(J^\bullet)$は複体の射なので，$H(T(f^\bullet)) \colon H^n(T(I^\bullet)) \to H^n(T(J^\bullet))$を誘導し，しかもホモトピックな射は同じ射を定めるので$f$の上の射のとり方によらずに$f$だけから決まることが分かります．これをしばらく$H^nT(f)$と書きましょう．$f, \tilde{f} \colon A \to B$を二つの射とすると，それぞれの上の複体の射を取って$T$が加法的であることを使えば$H^nT(f+\tilde{f})=H^nT(f)+H^nT(\tilde{f})$が分かります．この対応は次のように「函手性」を持っています．まず，$\id_{I^\bullet}$は$\id_A$の上の複体の射なので$H^nT(\id_A)=\id_{H^n(T(I^\bullet))}$です．また，$f \colon A \to B$と$g \colon B \to C$を$\cA$における射として$0 \to A \to I^\bullet, 0 \to B \to J^\bullet, 0 \to C \to K^\bullet$をそれぞれ$A,B,C$の入射分解とすると$f,g$の上の複体の射$f^\bullet \colon I^\bullet \to J^\bullet, g^\bullet \colon J^\bullet \to K^\bullet$に持ち上がります．$g^\bullet \circ f^\bullet \colon I^\bullet \to K^\bullet$は$g \circ f \colon A \to C$の上の複体の射なので$H^nT(g \circ f)=H^nT(g) \circ H^nT(f)$も分かります．この「函手性」によって$A \in \cA$の二つの入射分解$0 \to A \to I^\bullet_1, 0 \to A \to I^\bullet_2$を取ると$\id_A$の上の複体の射を考えれば$H^n(T(I^\bullet_1)) \simeq H^n(T(I^\bullet_1))$であることが分かります．よって次のように定めることができます．
$\cA$を十分多くの入射的対象を持つアーベル圏として$T \colon \cA \to \cB$をアーベル圏の間の左完全函手とする．このとき，$A \in \cA$に対して入射分解$0 \to A \to I^\bullet_A$を取っておき，$n \in \bbZ_{\ge 0}$に対して
$$
R^nT(A):=H^n(T(I^\bullet_A))
$$
と定めて，$\cA$の射$f \colon A \to B$に対しては$f$の上の複体の射$f^\bullet \colon I^\bullet_A \to I^\bullet_B$の誘導する射を$R^nT(f) \colon R^nT(A) \to R^nT(B)$と定める．加法函手$R^nT \colon \cA \to \cB$を$T$の$n$次右導来函手と呼ぶ．
構成から次がすぐ分かります．
任意の$\cA$の入射的対象$I \in \cA$と任意の$n=1,2,\dots$に対して$R^nT(I)=0$である．
$0 \to I \to I \to 0 \to 0 \to \cdots$が$I$の入射分解の一つであることによる．
最終的にほしかった主張は次の定理にまとめられます．
$\cA$を十分多くの入射的対象を持つアーベル圏として$T \colon \cA \to \cB$をアーベル圏の間の左完全函手とする．このとき，右導来函手の列$R^\bullet T=\{R^nT\}_n$は自然同値$R^0T \simeq T$を満たす普遍$\delta$函手である．
$\cA$における短完全列$0 \to A_1 \xrightarrow{f_1} A_2 \xrightarrow{f_2} A_3 \to 0$に対して，命題3の(ii)の入射分解と複体の射で図式
\begin{xy}
\xymatrix{
& 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & \\
0 \ar[r] & A_1 \ar[r]^-{f_1} \ar[d] & A_2 \ar[r]^-{f_2} \ar[d] & A_3 \ar[r] \ar[d] & 0 \\
0 \ar[r] & I^\bullet_1 \ar[r]^-{f^\bullet_1} & I^\bullet_2 \ar[r]^-{f^\bullet_2} & I^\bullet_3 \ar[r] & 0
}
\end{xy}
を可換にするものが取れる．最後の行は次数ごとに分裂する複体の短完全列だから，$T$でうつしてもそうである．すなわち，$0 \to T(I^\bullet_1) \xrightarrow{T(f^\bullet_1)} T(I^\bullet_2) \xrightarrow{T(f^\bullet_2)} T(I^\bullet_3) \to 0$は複体の短完全列である．よって，連結射$\delta^n \colon R^nT(A_3) \to R^{n+1}T(A_1)$が作れる．この射が短完全列に対して自然に振る舞うことは命題3の(iii)から従う．（定義した連結射が入射分解の取り替えによる同形と両立することもこの議論で示せるが省略．）ゆえに$R^\bullet T=\{R^nT\}_n$は$\delta$函手である．
$R^0T \simeq T$は 第3回 の議論と全く同様である．$A \in \cA$の入射分解$0 \to A \to I^\bullet$を取って$T$の左完全性を用いると$0 \to T(A) \to T(I^0) \xrightarrow{T(d^0)} T(I^1)$は完全なので$R^0T(A) \simeq \Ker T(d^0) \simeq T(A)$である．自然性は核の自然性から従う．
$\cA$は十分多くの入射的対象を持つので，任意の対象$A \in \cA$は入射的対象$I$への単射$u \colon A \to I$を持つ．すると，補題4より任意の$n=1,2,\dots$に対して$R^nT(I)=0$であるから$R^nT(u)=0$となる．よって，任意の$n=1,2,\dots$に対して$R^nT$は削除可能であるから，定理2により$R^\bullet T$は普遍的$\delta$函手である．
$\cA$を十分多くの入射的対象を持つアーベル圏として$T \colon \cA \to \cB$をアーベル圏の間の左完全函手，$T^\bullet=\{T^n\}_n$を$\cA$から$\cB$への$\delta$函手とする．$T^\bullet$が
(1) 任意の$\cA$の入射的対象$I \in \cA$と任意の$n=1,2,\dots$に対して$T^n(I)=0$，
(2) $T^0 \simeq T$
を満たすならば，$R^\bullet T$と$T^\bullet$は$\delta$函手として同形である．
圏$\cA$が十分多くの射影的対象を持つときは右完全函手$T \colon \cA \to \cB$に対して左完全函手$L_n T$が構成できる．射影分解を取り$T$でうつした複体の各次数での核を像で割ったものを考えればよい．これらは普遍（ホモロジー的）$\delta$函手$L_\bullet T$を定める．
導来函手としての層係数コホモロジー
以下では$X$を位相空間とします．上の結果を大域切断函手$\Gamma(X;\ast) \colon \Sh(X) \to Ab$に適用したいと思います．そのためにアーベル圏$\Sh(X)$が十分多くの入射的対象を持つことを見ます．
任意の$F \in \Sh(X)$に対して，入射的層$I \in \Sh(X)$への単射$\varphi \colon F \to I$が存在する．すなわち，圏$\Sh(X)$は十分多くの入射的対象を持つ．
第3回
の補題1より$F$は不連続切断の層$[F]$に単射$\varepsilon \colon F \to [F]$で埋め込める．アーベル群の圏$Ab$は十分多くの入射的対象を持つので，各$x \in X$に対して入射加群$I_x \in Ab$と単射$\psi_x \colon F_x \to I_x$が存在する．層$I$を$I(U):=\prod_{x \in U}I_x$と定め，$\psi_U:=\prod_{x \in U} \psi_x \colon [F](U) \to I(U)$と定めると$\psi \colon [F] \to I$は層の射で単射である．ゆえに，合成$\varphi:=\psi \circ \varphi \colon F \to I$は単射である．任意の$G \in \Sh(X)$に対して
$$
\Hom_{\Sh(X)}(G,I) \simeq \prod_{x \in I} \Hom_{Ab}(G_x,I_x)
$$
であることから，$I$は入射的層である（射が等しいことと全ての茎に誘導される射が等しいことが同値であることを用いる）．
入射的層に対する性質を一つ準備しておきます．
$F \in \Sh(X)$が入射的ならば$F$は脆弱層である．
$F$は脆弱層$[F]$に単射$\varepsilon$で埋め込める．$F$は入射的だから，層の射$\eta \colon [F] \to F$が存在して$\id_F=\eta \circ \varepsilon$を満たす．任意の開集合$U$を取る．すると，$\id_{F(U)}=\eta_U \circ \varepsilon_U$より$\eta_U$は全射で$[F]$は脆弱だから合成$\eta_U \circ \rho^{[F]}_{U,X}$も全射である．$\eta_U \circ \rho^{[F]}_{U,X}=\rho^F_{U,X} \circ \eta_X$であるから，$\rho^F_{U,X}$も全射である．
さて，圏$\Sh(X)$は入射的対象を十分持ち，大域切断函手$\Gamma(X;\ast) \colon \Sh(X) \to Ab$は左完全なので上の結果からその右導来函手$R^n\Gamma(X;\ast)$が定義できます．これは前回定義した層係数コホモロジー函手と自然同値になります．
層係数コホモロジー函手のなす$\delta$函手$H^\bullet(X;\ast)=\{H^n(X;\ast)\}_n$と大域切断函手の右導来函手のなす$\delta$函手$R^\bullet \Gamma(X;\ast) =\{R^n \Gamma(X;\ast)\}_n$は$\delta$函手として同形である．特に任意の$n \in \bbZ_{\ge 0}$に対して自然同値$H^n(X;\ast) \simeq R^n \Gamma(X;\ast)$が成り立つ．
こうしてめでたく層係数コホモロジー函手は大域切断の右導来函手同じであることが分かりました！代数幾何の本などでは後者で定義されている方が多いかもしれませんね．標準脆弱分解を使う方が準備が少なくて函手性などが簡単に示せるので，この順番で説明しました．
まとめ
今回は
- $\delta$函手の定義・普遍$\delta$函手になる十分条件
- 入射分解とその性質
- 左完全函手の右導来函手の構成とその性質
- 層の圏が十分多くの入射的対象を持つこと
- 大域切断の右導来函手が標準脆弱分解による層係数コホモロジーに一致すること
を見ました．次回は層理論の本筋に戻って層に対する様々な演算について説明する予定です．それではまた！