ZFCのモデルの存在について

以下を示す。

1. 到達不能基数は世界的である。
2. 世界的基数$\kappa$に対し$V_{\kappa }$は推移的集合である。
3. 推移的モデルは$\beta$-モデルである。
4. $\beta$-モデルは$\omega$-モデルである。
5. $\omega$-モデルはモデルである。

1は到達不能基数$\kappa$に対して$\kappa$より遺伝的に小さい集合全体を$H_{\kappa }$とすると、$\kappa$は正則なので$H_{\kappa }$は冪集合公理以外のすべての$\mathsf{ZFC}$の公理を満たす。一方到達不能基数に対し$H_{\kappa }=V_{\kappa }$であり、$V_{\kappa }$は冪集合公理を満たすため良い。

2は$V_{\kappa }$が推移的であれば良いが、すべての順序数$\alpha$に対して$V_{\alpha }$が推移的であることは$\alpha$に対する超限帰納法で容易に示せるので良い。

3は推移的モデル$⟨M;\in \upharpoonright M⟩$は正則性公理から任意の集合$x$に対して$⟨x;\in \upharpoonright x⟩$は整礎となるため良い。

4を示す。$⟨M;ϵ⟩$を$\beta$-モデルとし${\omega }^M\in M$を$M$に於ける$\omega$とする。$⟨M;E⟩$が整礎構造であることから$⟨{\omega }^M;ϵ\upharpoonright {\omega }^M⟩$はPeano構造となる。Peano構造は範疇的、すなわち同型を除いて一意であることから$⟨{\omega }^M;ϵ\upharpoonright {\omega }^M⟩\cong ⟨\omega ;\in \upharpoonright \omega ⟩$であり、よって$⟨M;ϵ⟩$は$\omega$-モデルである。

5は明らかである。

$\beta$-モデルは外延性公理を満たすため、推移的モデルで同型となるものが存在する。

なんとかモデルがあれば可算なんとかモデルがあることを示す。逆は明らかである。

1はLöwenheim–Skolemの下降定理明らかである。

2を示す。$\mathcal{M}$を$\omega$-モデルとする。このとき$(\omega +1{)}^{\mathcal{M}}$を$\mathcal{M}$に於いて$\omega$以下となる元全体とする。このときLöwenheim–Skolemの下降定理から$\mathcal{M}$の初等部分構造$\mathcal{H}((\omega +1{)}^{\mathcal{M}})$を取れば、$(\omega +1{)}^{\mathcal{M}}$の元をパラメータとして持つ論理式に対して$\mathcal{H}((\omega +1{)}^{\mathcal{M}})$と$\mathcal{M}$の真偽は一致するためこれが$\omega$-モデルとなる。
また$(\omega +1{)}^{\mathcal{M}}$は可算なので$\mathcal{H}((\omega +1{)}^{\mathcal{M}})$も可算となる。

3を示す。まず$\beta$-構造の部分構造は明らかに$\beta$-構造になることに気をつければ、$\beta$-モデルの初等部分構造をLöwenheim–Skolemの下降定理から取れば良い。

4を示す。推移的モデルは$\beta$-モデルであることから3より可算$\beta$-モデルが存在する。Mostwskiの崩壊補題により可算$\beta$-モデルに同型な推移的モデルが存在し、同型であることから可算であることも分かる。

1は完全性定理から「理論$T$のモデルが存在する」は「理論$T$に於いて矛盾への証明図が存在しない」と同値であり、$\mathsf{ZFC}$は再帰的なので「理論$T$に於いて矛盾への証明図が存在しない」はコード化を行えば算術的(もっと強く${\mathrm{\Pi }}_1^0$)になるため良い。

2はまず$\omega$-モデルの存在と可算$\omega$-モデルの存在が同値であり、よって可算$\omega$-モデルを$\omega$にてコードすることを考える。
まず言語として関係記号しか含まない再帰的理論$T$に対して「$⟨\omega ;\overrightarrow{R}⟩$が$T$のモデルである」ということを表す述語は${(⨁\overrightarrow{R})}^{(\omega )}$を神託に用いて計算可能であることに注意すれば「$⟨\omega ;\overrightarrow{R}⟩$が$T$のモデルである」は${\mathrm{\Sigma }}_1^1$-論理式によって表すことができ、その否定も${\mathrm{\Sigma }}_1^1$-論理式によって表すことができる。よって「$\mathcal{M}:=⟨\omega ;ϵ⟩$が$\omega$-モデルである」ということは、ある単射$f:\omega \to \omega$と、ある${\omega }^{\mathcal{M}}\in \omega$が存在して

• $\mathcal{M}\models \mathsf{ZFC}+\text{「}{\omega }^{\mathcal{M}}\text{は無限順序数である」}$が成り立つ。
• $f$は$\omega$から$\{n\mid nϵ{\omega }^{\mathcal{M}}\}$への全単射である。
• 任意の$i,j\in \omega$に対して$i<j$であることと$⟨\omega ,ϵ⟩\models f(i)\in f(j)\wedge f(j)\in {\omega }^{\mathcal{M}}$であることが同値である。

が成り立つことと表せて、よって「$⟨\omega ;ϵ⟩$が$\mathsf{ZFC}$の$\omega$-モデルである」は${\mathrm{\Sigma }}_1^1$-論理式で表せて「$\mathsf{ZFC}$の可算$\omega$-モデルが存在する」も${\mathrm{\Sigma }}_1^1$-論理式で表せる。

3は推移性は${\mathrm{\Delta }}_0$-論理式であり、充足可能性関係も${\mathrm{\Delta }}_0$-論理式で表せるので良い。

1,2,4は論理式の構成に関する帰納法から容易に示せる。3.のみ非自明であるが証明は記述集合論を用いるため省略する。

1を示す。まず最初に世界的基数が存在すれば、その最小のものの共終数は$\omega$であることを示す。今$\kappa$を世界的基数とし、$\prec$を$V_{\kappa }$上の整列順序とする。順序数$⟨{\xi }_i\mid i<\omega ⟩$を再帰的に定義する。まず${\xi }_0=\omega$とし、任意の$\overrightarrow{p}\in V_{{\xi }_i}$、任意の論理式$\phi (x,\overrightarrow{p})$に対し$⟨V_{\kappa };\in \upharpoonright V_{\kappa }⟩\models \mathrm{\exists }x\phi (x,\overrightarrow{p})$ならば$⟨V_{\kappa };\in \upharpoonright V_{\kappa }⟩\models \phi (a,\overrightarrow{p})$で$\prec$に対して最小となる$a$を$V_{\zeta }$が含むような順序数$\zeta$で最小のものを${\xi }_{i+1}$とする。今$\lambda :=sup\{{\xi }_i\mid i<\omega \}$とすればTarski–Vaught検査から$⟨V_{\lambda };\in \upharpoonright V_{\lambda }⟩$は$⟨V_{\kappa };\in \upharpoonright V_{\kappa }⟩$の初等部分モデルであり、よって$\lambda$は共終する列$⟨{\xi }_i\mid i<\omega ⟩$を持つ世界的基数である。
今到達不能基数が存在するとしてそれを$\mathbb{I}$とすれば到達不能基数は世界的であり、到達不能基数の共終数は$\omega$ではないことから世界的基数$\kappa$で$\mathbb{I}$未満のものが存在する。$V_{\kappa }\in V_{\mathbb{I}}$で$V_{\kappa }\models \mathsf{ZFC}$は${\mathrm{\Delta }}_0$-論理式であることから推移的構造に対する絶対性により$V_{\mathbb{I}}$に於いても$V_{\kappa }\models \mathsf{ZFC}$が成り立つ。よって$V_{\mathbb{I}}$に於いても$\kappa$は世界的である。

2を示す。仮定から世界的基数$\kappa$を取る。$⟨V_{\omega };\in \upharpoonright V_{\omega }⟩$が無限公理を満たさないことから任意の世界的基数は$\omega$より大きく、よって$⟨V_{\kappa };\in \upharpoonright V_{\kappa }⟩$は非可算推移モデルとなる。今Löwenheim–Skolemの下降定理によって$\mathsf{ZFC}$の可算$\beta$-モデル$\mathcal{N}$で$⟨V_{\kappa };\in \upharpoonright V_{\kappa }⟩$の初等部分構造となるものを取り、$\mathcal{N}$にMostwski崩壊補題を適用して$⟨V_{\kappa };\in \upharpoonright V_{\kappa }⟩$と初等同値な可算推移モデル$\mathcal{M}$を取る。$\kappa$が特異であるから$\mathcal{N}\notin V_{\kappa }$となるかも知れないが、$\mathcal{M}\in V_{\kappa }$となる。なぜなら$\mathcal{M}$に於いての順序数全体$\mathcal{M}\cap \mathrm{On}$は推移性から$min\{\alpha \in \mathrm{On}\mid \alpha \notin \mathcal{M}\}$に他ならず、$\kappa$未満であり、よってある$\alpha <\kappa$に対して$\mathcal{M}\subseteq V_{\alpha }$となるからである。今$\mathcal{M}$は推移モデルであるという文は${\mathrm{\Delta }}_0$でありよって$\mathcal{M}$を含む推移的構造上で絶対的である。$V:=\{x\mid x=x\}$は推移的なので絶対性から$\mathcal{M}$は$⟨V_{\kappa };\in \upharpoonright V_{\kappa }⟩$上でも推移的モデルとなる。

3を示す。仮定から推移的モデル$\mathcal{M}$を取り、$V:=\{x\mid x=x\}$とする。$V$は推移的なので絶対性から${\mathrm{\Sigma }}_1^1$-文$\phi$に対して${\phi }^V$、すなわち$V\models \phi$と$\mathcal{M}\models \phi$は同値である。推移的モデルの存在から$\omega$-モデルの存在が言えて、$\omega$-モデルの存在は${\mathrm{\Sigma }}_1^1$であったから$\mathcal{M}\models \text{「}\omega \text{-モデルが存在する」}$となる。

4を示す。仮定から$\omega$-モデル$\mathcal{M}$を取り、$V:=\{x\mid x=x\}$とする。$V$は$\omega$-構造なので絶対性から算術的文$\phi$に対して${\phi }^V$、すなわち$V\models \phi$と$\mathcal{M}\models \phi$は同値である。$\omega$-モデルの存在からモデルの存在が言えて、モデルの存在は算術的であったから$\mathcal{M}\models \text{「モデルが存在する」}$となる。