ZFCのモデルの存在について

以下を示す。

1. 到達不能基数は世界的である。
2. 世界的基数$\kappa$に対し$V_\kappa$は推移的集合である。
3. 推移的モデルは$\beta$-モデルである。
4. $\beta$-モデルは$\omega$-モデルである。
5. $\omega$-モデルはモデルである。

1は到達不能基数$\kappa$に対して$\kappa$より遺伝的に小さい集合全体を$H_\kappa$とすると、$\kappa$は正則なので$H_\kappa$は冪集合公理以外のすべての$\ZFC$の公理を満たす。一方到達不能基数に対し$H_\kappa=V_\kappa$であり、$V_\kappa$は冪集合公理を満たすため良い。

2は$V_\kappa$が推移的であれば良いが、すべての順序数$\alpha$に対して$V_\alpha$が推移的であることは$\alpha$に対する超限帰納法で容易に示せるので良い。

3は推移的モデル$\struc{M;\in\restriction M}$は正則性公理から任意の集合$x$に対して$\struc{x;\in\restriction x}$は整礎となるため良い。

4を示す。$\struc{M;\inepsilon}$を$\beta$-モデルとし$\omega^M\in M$を$M$に於ける$\omega$とする。$\struc{M;E}$が整礎構造であることから$\struc{\omega^M;\inepsilon\restriction\omega^M}$はPeano構造となる。Peano構造は範疇的、すなわち同型を除いて一意であることから$\struc{\omega^M;\inepsilon\restriction\omega^M}\cong\struc{\omega;\in\restriction\omega}$であり、よって$\struc{M;\inepsilon}$は$\omega$-モデルである。

5は明らかである。

$\beta$-モデルは外延性公理を満たすため、推移的モデルで同型となるものが存在する。

なんとかモデルがあれば可算なんとかモデルがあることを示す。逆は明らかである。

1はLöwenheim–Skolemの下降定理明らかである。

2を示す。$\mathcal{M}$を$\omega$-モデルとする。このとき$(\omega+1)^\mathcal{M}$を$\mathcal{M}$に於いて$\omega$以下となる元全体とする。このときLöwenheim–Skolemの下降定理から$\mathcal{M}$の初等部分構造$\mathcal{H}((\omega+1)^\mathcal{M})$を取れば、$(\omega+1)^\mathcal{M}$の元をパラメータとして持つ論理式に対して$\mathcal{H}((\omega+1)^\mathcal{M})$と$\mathcal{M}$の真偽は一致するためこれが$\omega$-モデルとなる。
また$(\omega+1)^\mathcal{M}$は可算なので$\mathcal{H}((\omega+1)^\mathcal{M})$も可算となる。

3を示す。まず$\beta$-構造の部分構造は明らかに$\beta$-構造になることに気をつければ、$\beta$-モデルの初等部分構造をLöwenheim–Skolemの下降定理から取れば良い。

4を示す。推移的モデルは$\beta$-モデルであることから3より可算$\beta$-モデルが存在する。Mostwskiの崩壊補題により可算$\beta$-モデルに同型な推移的モデルが存在し、同型であることから可算であることも分かる。

1は完全性定理から「理論$T$のモデルが存在する」は「理論$T$に於いて矛盾への証明図が存在しない」と同値であり、$\ZFC$は再帰的なので「理論$T$に於いて矛盾への証明図が存在しない」はコード化を行えば算術的(もっと強く$\Pi^0_1$)になるため良い。

2はまず$\omega$-モデルの存在と可算$\omega$-モデルの存在が同値であり、よって可算$\omega$-モデルを$\omega$にてコードすることを考える。
まず言語として関係記号しか含まない再帰的理論$T$に対して「$\struc{\omega;\vec{R}}$が$T$のモデルである」ということを表す述語は$\left(\bigoplus\vec{R}\right)^{(\omega)}$を神託に用いて計算可能であることに注意すれば「$\struc{\omega;\vec{R}}$が$T$のモデルである」は$\Sigma^1_1$-論理式によって表すことができ、その否定も$\Sigma^1_1$-論理式によって表すことができる。よって「$\mathcal{M}:=\struc{\omega;\inepsilon}$が$\omega$-モデルである」ということは、ある単射$f\colon\omega\to\omega$と、ある$\omega^\mathcal{M}\in\omega$が存在して

• $\mathcal{M}\models\ZFC+\text{「$\omega^\mathcal{M}$は無限順序数である」}$が成り立つ。
• $f$は$\omega$から$\{n\mid n\inepsilon\omega^\mathcal{M}\}$への全単射である。
• 任意の$i,j\in\omega$に対して$i< j$であることと$\struc{\omega,\inepsilon}\models f(i)\in f(j)\land f(j)\in\omega^\mathcal{M}$であることが同値である。

が成り立つことと表せて、よって「$\struc{\omega;\inepsilon}$が$\ZFC$の$\omega$-モデルである」は$\Sigma^1_1$-論理式で表せて「$\ZFC$の可算$\omega$-モデルが存在する」も$\Sigma^1_1$-論理式で表せる。

3は推移性は$\Delta_0$-論理式であり、充足可能性関係も$\Delta_0$-論理式で表せるので良い。

1,2,4は論理式の構成に関する帰納法から容易に示せる。3.のみ非自明であるが証明は記述集合論を用いるため省略する。

1を示す。まず最初に世界的基数が存在すれば、その最小のものの共終数は$\omega$であることを示す。今$\kappa$を世界的基数とし、$\prec$を$V_\kappa$上の整列順序とする。順序数$\langle\xi_i\mid i<\omega\rangle$を再帰的に定義する。まず$\xi_0=\omega$とし、任意の$\vec{p}\in V_{\xi_i}$、任意の論理式$\varphi(x,\vec{p})$に対し$\struc{V_\kappa;\in\restriction V_\kappa}\models \exists x\varphi(x,\vec{p})$ならば$\struc{V_\kappa;\in\restriction V_\kappa}\models \varphi(a,\vec{p})$で$\prec$に対して最小となる$a$を$V_{\zeta}$が含むような順序数$\zeta$で最小のものを$\xi_{i+1}$とする。今$\lambda:=\sup\{\xi_i\mid i<\omega\}$とすればTarski–Vaught検査から$\struc{V_\lambda;\in\restriction V_\lambda}$は$\struc{V_\kappa;\in\restriction V_\kappa}$の初等部分モデルであり、よって$\lambda$は共終する列$\langle\xi_i\mid i<\omega\rangle$を持つ世界的基数である。
今到達不能基数が存在するとしてそれを$\mathbb{I}$とすれば到達不能基数は世界的であり、到達不能基数の共終数は$\omega$ではないことから世界的基数$\kappa$で$\mathbb{I}$未満のものが存在する。$V_\kappa\in V_\mathbb{I}$で$V_\kappa\models\ZFC$は$\Delta_0$-論理式であることから推移的構造に対する絶対性により$V_\mathbb{I}$に於いても$V_\kappa\models\ZFC$が成り立つ。よって$V_\mathbb{I}$に於いても$\kappa$は世界的である。

2を示す。仮定から世界的基数$\kappa$を取る。$\struc{V_\omega;\in\restriction V_\omega}$が無限公理を満たさないことから任意の世界的基数は$\omega$より大きく、よって$\struc{V_\kappa;\in\restriction V_\kappa}$は非可算推移モデルとなる。今Löwenheim–Skolemの下降定理によって$\ZFC$の可算$\beta$-モデル$\mathcal{N}$で$\struc{V_\kappa;\in\restriction V_\kappa}$の初等部分構造となるものを取り、$\mathcal{N}$にMostwski崩壊補題を適用して$\struc{V_\kappa;\in\restriction V_\kappa}$と初等同値な可算推移モデル$\mathcal{M}$を取る。$\kappa$が特異であるから$\mathcal{N}\notin V_\kappa$となるかも知れないが、$\mathcal{M}\in V_\kappa$となる。なぜなら$\mathcal{M}$に於いての順序数全体$\mathcal{M}\cap\mathrm{On}$は推移性から$\min\{\alpha\in\mathrm{On}\mid\alpha\notin\mathcal{M}\}$に他ならず、$\kappa$未満であり、よってある$\alpha<\kappa$に対して$\mathcal{M}\subseteq V_\alpha$となるからである。今$\mathcal{M}$は推移モデルであるという文は$\Delta_0$でありよって$\mathcal{M}$を含む推移的構造上で絶対的である。$V:=\{x\mid x=x\}$は推移的なので絶対性から$\mathcal{M}$は$\struc{V_\kappa;\in\restriction V_\kappa}$上でも推移的モデルとなる。

3を示す。仮定から推移的モデル$\mathcal{M}$を取り、$V:=\{x\mid x=x\}$とする。$V$は推移的なので絶対性から$\Sigma^1_1$-文$\varphi$に対して$\varphi^V$、すなわち$V\models\varphi$と$\mathcal{M}\models\varphi$は同値である。推移的モデルの存在から$\omega$-モデルの存在が言えて、$\omega$-モデルの存在は$\Sigma^1_1$であったから$\mathcal{M}\models\text{「$\omega$-モデルが存在する」}$となる。

4を示す。仮定から$\omega$-モデル$\mathcal{M}$を取り、$V:=\{x\mid x=x\}$とする。$V$は$\omega$-構造なので絶対性から算術的文$\varphi$に対して$\varphi^V$、すなわち$V\models\varphi$と$\mathcal{M}\models\varphi$は同値である。$\omega$-モデルの存在からモデルの存在が言えて、モデルの存在は算術的であったから$\mathcal{M}\models\text{「モデルが存在する」}$となる。