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フィボナッチ微積分学(2)指数関数と二項係数

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$$$$
素人考え

ブログは素人で、数学も専門で学んでいないため、
間違えや見にくい表現がありましたら。ご指摘いただければ幸いです。

前回 フィボナッチ微積分学(1)の続き
https://mathlog.info/articles/1614

一部の記号は前回にて定義しております。
$D$は通常の微分演算子(この記事ではxを微分する。)
前回は二項係数を今後の課題としたが、それを解くためには、
まず指数関数及び階乗から定義しなおす必要がある。
参考にした記事論文
https://mathlog.info/articles/1635
https://arxiv.org/abs/math/0410550
https://arxiv.org/abs/math/0503210
以下 $s≠0$

フィボナッチ$t,s$階乗

$$n!_{t,s}= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 1 \hspace{ 20pt }n=0\\ \frac{\prod_{i=1}^{n}F_{tk}}{F_s^n}\hspace{ 20pt }n \geq 1 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

このように階乗を定義すると。
$$D^nx^m=\frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}\hspace{ 20pt }m \geq n\geq 0$$
の類似
$$D_{t,s}^nx^m=\frac{m!_{t,s}}{(m-n)!_{t,s}}x^{m-n}\hspace{ 20pt }m \geq n\geq 0$$
が成り立つ。

フィボナッチ$t,s$指数関数

$$Fexp_{t,s}(x)= \sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!_{t,s}}$$

このように指数関数を定義すると。
$$Dexp(\alpha x)=\alpha exp(\alpha x)$$
の類似
$$D_{t,s}(Fexp_{t,s}(\alpha x))=\alpha Fexp_{t,s}(\alpha x) $$
が成り立つ。

フィボナッチ$t$二項係数

$$\dbinom{m}{n}_{t}=\frac{m!_{t,s}}{n!_{t,s}(m-n)!_{t,s}}\hspace{ 20pt }m \geq n\geq 0\hspace{ 20pt } F_sは分子分母で打ち消される。$$

$$exp(aD)x^m=(x+a)^m= \sum_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}a^{m-i}x^i$$が成り立つ、参考記事1参照
$$Fexp_{t,s}(aD_{t,s})x^m=\sum_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}_{t}a^{m-i}x^i $$となる。ただこれだと、
$$0=(-a+a)^m=\sum_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}a^{m-i}(-a)^i$$
の類似が成り立たないので、別の類似を考える必要がある。

前回  https://mathlog.info/articles/1614
の最後にて二項係数の類似を考えた。($a=-1$の場合)
再掲
$$g_n(x)= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} n=0 なら 1\\ n=1 なら x+1\\ n>1 なら g_n(-1)=0,D_{t,s}g_n(x)=\frac{F_{tn}}{F_s}g_{n-1}(x) \end{array} \right. \end{eqnarray}$$
$$g_n(x)=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}_{t}a_{n,k}x^kとすると$$
$$D_{t,s}g_n(x)=\sum_{k=1}^n\dbinom{n}{k}_{t}a_{n,k}\frac{F_{tk}}{F_s}x^{k-1}\\ =\sum_{k=0}^{n-1}\dbinom{n}{k+1}_{t}a_{n,k+1}\frac{F_{t(k+1)}}{F_s}x^{k}$$
$$\frac{F_{tn}}{F_s}g_{n-1}(x)=\frac{F_{tn}}{F_s}\sum_{k=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{k}_{t}a_{n-1,k}x^k$$
フィボナッチ$t$二項係数の性質を用いると
$$a_{n,k+1}=a_{n-1,k}$$である。そのため
$$a_{n,k}=a_{n-k,0}$$
$$a_{n-k,0}を改めてa_{n-k}とする。$$
$$g_n(x)=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}_{t}a_{n-k}x^k$$さらに$g(-1)=0より$
$$0=\sum_{k=1}^n\dbinom{n}{k}_{t}a_{n-k}(-1)^k+a_{n}$$
フィボナッチ$t$二項係数の性質を用い整理すると。
$$a_n=\sum_{k=0}^{n-1}\dbinom{n}{k}_{t}(-1)^{n-k+1}a_k$$
$a_0=1$となる。

おわり

今後の課題
現在まだ$a_n$が解けていない。
もしどなたか$a_n$が解けましたら、コメントよろしくおねがいします。

投稿日:2021128

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