フィボナッチ微積分学(2)指数関数と二項係数

前回　フィボナッチ微積分学(1)の続き
https://mathlog.info/articles/1614

一部の記号は前回にて定義しております。
$D$は通常の微分演算子（この記事ではxを微分する。）
前回は二項係数を今後の課題としたが、それを解くためには、
まず指数関数及び階乗から定義しなおす必要がある。
参考にした記事論文
https://mathlog.info/articles/1635
https://arxiv.org/abs/math/0410550
https://arxiv.org/abs/math/0503210
以下　$s\ne 0$

このように階乗を定義すると。
$$D^n{x}^m=\frac{m!}{(m-n)!}{x}^{m-n}m\ge n\ge 0$$
の類似
$$D_{t,s}^n{x}^m=\frac{m{!}_{t,s}}{(m-n){!}_{t,s}}{x}^{m-n}m\ge n\ge 0$$
が成り立つ。

このように指数関数を定義すると。
$$Dexp(\alpha x)=\alpha exp(\alpha x)$$
の類似
$$D_{t,s}(Fex{p}_{t,s}(\alpha x))=\alpha Fex{p}_{t,s}(\alpha x)$$
が成り立つ。

$$exp(aD)x^m=(x+a{)}^m=\sum _{i=0}^m{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})}{a}^{m-i}{x}^i$$が成り立つ、参考記事１参照
$$Fex{p}_{t,s}(a{D}_{t,s})x^m=\sum _{i=0}^m{{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})}}_t{a}^{m-i}{x}^i$$となる。ただこれだと、
$$0=(-a+a{)}^m=\sum _{i=0}^m{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})}{a}^{m-i}(-a{)}^i$$
の類似が成り立たないので、別の類似を考える必要がある。

前回　 https://mathlog.info/articles/1614
の最後にて二項係数の類似を考えた。($a=-1$の場合)
再掲
$$g_n(x)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}n=0なら 1\\ n=1なら x+1\\ n>1ならg_n(-1)=0,D_{t,s}{g}_n(x)=\frac{F_{tn}}{F_s}{g}_{n-1}(x)\end{array}\end{array}$$
$$g_n(x)=\sum _{k=0}^n{{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}}_t{a}_{n,k}{x}^kとすると$$
$$\begin{gathered} D_{t,s}{g}_n(x)=\sum _{k=1}^n{{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}}_t{a}_{n,k}\frac{F_{tk}}{F_s}{x}^{k-1} \\ =\sum _{k=0}^{n-1}{{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})}}_t{a}_{n,k+1}\frac{F_{t(k+1)}}{F_s}{x}^k \end{gathered}$$
$$\frac{F_{tn}}{F_s}{g}_{n-1}(x)=\frac{F_{tn}}{F_s}\sum _{k=0}^{n-1}{{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})}}_t{a}_{n-1,k}{x}^k$$
フィボナッチ$t$二項係数の性質を用いると
$$a_{n,k+1}=a_{n-1,k}$$である。そのため
$$a_{n,k}=a_{n-k,0}$$
$$a_{n-k,0}を改めてa_{n-k}とする。$$
$$g_n(x)=\sum _{k=0}^n{{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}}_t{a}_{n-k}{x}^k$$さらに$g(-1)=0より$
$$0=\sum _{k=1}^n{{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}}_t{a}_{n-k}(-1{)}^k+a_n$$
フィボナッチ$t$二項係数の性質を用い整理すると。
$$a_n=\sum _{k=0}^{n-1}{{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}}_t(-1{)}^{n-k+1}{a}_k$$
$a_0=1$となる。

おわり

今後の課題
現在まだ$a_n$が解けていない。
もしどなたか$a_n$が解けましたら、コメントよろしくおねがいします。