フィボナッチ微積分学(3)テイラー展開

素人考え

ブログは素人で、数学も専門で学んでいないため、
間違えや見にくい表現がありましたら。ご指摘いただければ幸いです。

フィボナッチ微積分学の続き
https://mathlog.info/articles/1614
https://mathlog.info/articles/1650

一部の記号は前回、前々回にて定義しております。
$D$ は通常の微分演算子（この記事ではxを微分する。）
前回も二項係数を今後の課題としたが、今回それが解けました！

以下　 $t \neq 0, s \neq 0$
前回の続き
再掲
$g_{n} (x) = \begin{array}{r} {\begin{cases} n = 0 なら 1 \\ n = 1 なら x + 1 \\ n > 1 なら g_{n} (- 1) = 0, D_{t, s} g_{n} (x) = \frac{F_{t n}}{F_{s}} g_{n - 1} (x) \end{cases} \end{array}$

フィボナッチ

t, s

双対指数関数

$f e x p_{t, s} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{n!_{t, s}} = \frac{1}{F e x p_{t, s} (- x)}$

$g_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}_{t} a_{n - k} x^{k} とすると$
$\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}_{t} a_{n - k} (- 1)^{k} = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}_{t} a_{k} (- 1)^{n - k} = \begin{array}{r} {\begin{cases} n = 0 なら 1 \\ n > 0 なら 0 \end{cases} \end{array}$
両辺に $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!_{t, s}}$ を掛けると。
左辺は $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!_{t, s}} \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}_{t} a_{n - k} (- 1)^{k} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{a_{n - k}}{(n - k)!_{t, s}} \frac{(- 1)^{k}}{k!_{t, s}} = f e x p_{t, s} (x) F e x p_{t, s} (- x)$
右辺は1 ゆえに
$f e x p_{t, s} (x) = \frac{1}{F e x p_{t, s} (- x)}$

$g_{m} (x, - α)$ の性質

性質１定義と係数
$g_{m} (x, - α) = f e x p_{t, s} (- α D_{t, s}) x^{m} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n} (- α)^{n} D_{t, s}^{n} x^{m}}{n!_{t, s}} = \sum_{n = 0}^{m} \frac{a_{n} (- α)^{n} m!_{t, s} x^{m - n}}{n!_{t, s} (n - m)!_{t, s}} = \sum_{n = 0}^{m} {(\binom{m}{n})}_{t} a_{n} (- α)^{n} x^{m - n}$
性質２　 $g_{m} (x, - α)$ の次数は $m$
性質３零点
$a_{n}$ の定義より
$g_{m} (α, - α) = \sum_{n = 0}^{m} {(\binom{m}{n})}_{t} a_{n} (- α)^{n} α^{m - n} = α^{m} \sum_{n = 0}^{m} {(\binom{m}{n})}_{t} a_{n} (- 1)^{n} = α^{m} \sum_{n = 0}^{m} {(\binom{m}{n})}_{t} a_{m - n} (- 1)^{m - n} = \begin{array}{r} {\begin{cases} m = 0 なら 1 \\ m > 0 なら 0 \end{cases} \end{array}$
性質４微分
$f e x p_{t, s} (- α D_{t, s}) と D_{t, s}$ は可換
$m \geq n$
$D_{t, s}^{n} g_{m} (x, - α) = D_{t, s}^{n} f e x p_{t, s} (- α D_{t, s}) x^{m} = f e x p_{t, s} (- α D_{t, s}) D_{t, s}^{n} x^{m} = f e x p_{t, s} (- α D_{t, s}) \frac{m!_{t, s}}{(m - n)!_{t, s}} x^{m - n} = \frac{m!_{t, s}}{(m - n)!_{t, s}} g_{m - n} (x, - α)$

特に
$D_{t, s}^{n} \frac{g_{m} (x, - α)}{m!_{t, s}} = \frac{g_{m - n} (x, - α)}{(m - n)!_{t, s}}$

フィボナッチ

t, s

テイラー展開

$f (x)$ を多項式とする, $d e g (f)$ をその次数とする。
$f (x) = \sum_{m = 0}^{d e g (f)} p_{m} \frac{g_{m} (x, - α)}{m!_{t, s}}, p_{m} = D_{t, s}^{m} f (x) |_{x = α}$

証明は
https://tetobourbaki.hatenablog.com/entry/2018/03/03/231110
の多項式のテイラー展開を参照

負数番へのフィボナッチ数列の拡張

$F_{n} = \frac{φ^{n} - {\bar{φ}}^{n}}{\sqrt{5}}$
を用いて、負数番にフィボナッチ数列を拡張する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%9C%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%81%E6%95%B0#%E8%B2%A0%E6%95%B0%E7%95%AA%E3%81%B8%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%BC%B5

$D_{t, s} x^{m} = \begin{array}{r} {\begin{cases} m = 0 なら 0 \\ m \neq 0 なら \frac{F_{t m}}{F_{s}} x^{m - 1} \end{cases} \end{array}$
が $m$ が負の場合でも、成り立つ。

階乗と二項係数の拡張

$n < 0$ のとき階乗を $n!_{t, s} = \prod_{i = - 1}^{n} \frac{F_{t i}}{F_{s}}$
と定義する。
二項係数も同じく拡張する。

冪関数の類似

$(x - α)_{t, s}^{n} = \begin{array}{r} {\begin{cases} n = 0 なら 1 \\ n > 0 なら f e x p_{t, s} (- α D_{t, s}) x^{n} = \sum_{i = 0}^{n} {(\binom{n}{i})}_{t} a_{i} (- α)^{i} x^{n - i} \\ n < 0 なら f e x p_{t, s} (- α D_{t, s}) x^{n} = \sum_{i = 0}^{\infty} {(\binom{n}{i})}_{t} a_{i} (- α)^{i} x^{n - i} \end{cases} \end{array}$