フィボナッチ微積分学(3)テイラー展開
ブログは素人で、数学も専門で学んでいないため、
間違えや見にくい表現がありましたら。ご指摘いただければ幸いです。
フィボナッチ微積分学の続き
https://mathlog.info/articles/1614
https://mathlog.info/articles/1650
一部の記号は前回、前々回にて定義しております。
$D$は通常の微分演算子（この記事ではxを微分する。）
前回も二項係数を今後の課題としたが、今回それが解けました！
以下 $t≠0,s≠0$
前回の続き
再掲
$$g_n(x)= \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
n=0 なら 1\\
n=1 なら x+1\\
n>1 なら g_n(-1)=0,D_{t,s}g_n(x)=\frac{F_{tn}}{F_s}g_{n-1}(x)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
$$fexp_{t,s}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nx^n}{n!_{t,s}}=\frac{1}{Fexp_{t,s}(-x)}$$
$$g_n(x)=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}_{t}a_{n-k}x^kとすると$$
$$\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}_{t}a_{n-k}(-1)^k=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}_{t}a_{k}(-1)^{n-k}=\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
n=0 なら 1\\
n>0 なら 0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
両辺に$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!_{t,s}}$$を掛けると。
左辺は$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!_{t,s}}\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}_{t}a_{n-k}(-1)^k=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\sum_{k=0}^n\frac{a_{n-k}}{(n-k)!_{t,s}}\frac{(-1)^k}{k!_{t,s}}=fexp_{t,s}(x)Fexp_{t,s}(-x)$$
右辺は1 ゆえに
$$fexp_{t,s}(x)=\frac{1}{Fexp_{t,s}(-x)}$$
$g_m(x,-\alpha)$の性質
性質１定義と係数
$$
g_m(x,-\alpha)=fexp_{t,s}(-\alpha D_{t,s})x^m=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n(-\alpha)^nD_{t,s}^nx^m}{n!_{t,s}}=\sum_{n=0}^{m}\frac{a_n(-\alpha)^nm!_{t,s}x^{m-n}}{n!_{t,s}(n-m)!_{t,s}}\\=
\sum_{n=0}^{m}\dbinom{m}{n}_{t}a_n (-\alpha)^n x^{m-n}
$$
性質２ $g_m(x,-\alpha)$の次数は$m$
性質３零点
$a_n$の定義より
$$g_m(\alpha,-\alpha)=
\sum_{n=0}^{m}\dbinom{m}{n}_{t}a_n (-\alpha)^n \alpha^{m-n}=\alpha^{m}\sum_{n=0}^{m}\dbinom{m}{n}_{t}a_n (-1)^n=\alpha^{m}\sum_{n=0}^{m}\dbinom{m}{n}_{t}a_{m-n} (-1)^{m-n}\\=\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
m=0 なら 1\\
m>0 なら 0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
性質４微分
$fexp_{t,s}(-\alpha D_{t,s})とD_{t,s}
$は可換
$m \geq n$
$$D_{t,s}^ng_m(x,-\alpha)=D_{t,s}^nfexp_{t,s}(-\alpha D_{t,s})x^m=\\fexp_{t,s}(-\alpha D_{t,s})D_{t,s}^nx^m=fexp_{t,s}(-\alpha D_{t,s})\frac{m!_{t,s}}{(m-n)!_{t,s}}x^{m-n}=\frac{m!_{t,s}}{(m-n)!_{t,s}}g_{m-n}(x,-\alpha)
$$
特に
$$D_{t,s}^n\frac{g_m(x,-\alpha)}{m!_{t,s}}=\frac{g_{m-n}(x,-\alpha)}{(m-n)!_{t,s}}$$
$f(x)$を多項式とする,$deg(f)$をその次数とする。
$$f(x)=\sum_{m=0}^{deg(f)}p_m\frac{g_m(x,-\alpha)}{m!_{t,s}},p_m=D_{t,s}^mf(x) \vert _{x=\alpha}$$
証明は
https://tetobourbaki.hatenablog.com/entry/2018/03/03/231110
の多項式のテイラー展開を参照
$$F_n=\frac{\varphi^n-\bar\varphi^n}{\sqrt5}$$
を用いて、負数番にフィボナッチ数列を拡張する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%9C%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%81%E6%95%B0#%E8%B2%A0%E6%95%B0%E7%95%AA%E3%81%B8%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%BC%B5
$$D_{t,s}x^m=\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
m=0 なら 0\\
m≠0 なら \frac{F_{tm}}{F_s}x^{m-1}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
が$m$が負の場合でも、成り立つ。
$n<0$のとき 階乗を$$n!_{t,s}= \prod_{i=-1}^{n}\frac{F_{ti}}{F_s}$$
と定義する。
二項係数も同じく拡張する。
$$(x-\alpha)_{t,s}^n=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} n=0 なら 1\\ n>0 なら fexp_{t,s}(-\alpha D_{t,s})x^n=\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}_{t}a_i (-\alpha)^i x^{n-i}\\ n<0 なら fexp_{t,s}(-\alpha D_{t,s})x^n=\sum_{i=0}^{\infty}\dbinom{n}{i}_{t}a_i (-\alpha)^i x^{n-i} \end{array} \right. \end{eqnarray}$$
$p_m$を複素数とする。
$$h(x)=\sum_{m=n}^\infty p_m (x-\alpha)_{t,s}^m
$$
おわり
今後の課題
定積分を定義して、コーシーの積分定理、留数定理・偏角の原理の類似を目指します！
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