WarnaarによるRahman-Vermaの変換公式の楕円類似

$n$を偶奇を分けて Frenkel-Turaevの和公式 を適用すればよい.

見やすさのため, $p=0$として示す($p$が一般の場合も計算は全く同様である). $\alpha_n(a,k;q)=\alpha_n(a,k;q,0),\beta_n(a,k;q)=\beta_n(a,k;q,0)$とする. WP-Bailey対の定義から
\begin{align} &\beta_n'(a,k;q)\\ &=\frac{(mq;q^2)_n}{(aq;q^2)_n}\sum_{r=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\frac{1-mq^{4r}}{1-m}\frac{(k/m;q)_{n-2r}}{(q;q)_{n-2r}}\frac{(k;q)_{n+2r}}{(mq;q)_{n+2r}}\left(-\frac ka\right)^{n-2r}\\ &\qquad\cdot\sum_{j=0}^r\frac{(m/a;q^2)_{r-j}(m;q^2)_{r+j}}{(q^2;q^2)_{r-j}(aq^2;q^2)_{r+j}}\alpha_j(a,m;q^2)\\ &=\frac{(mq;q^2)_n}{(aq;q^2)_n}\sum_{0\leq j}\alpha_j(a,m;q^2)\\ &\qquad\cdot\sum_{j\leq r}\frac{1-mq^{4r}}{1-m}\frac{(k/m;q)_{n-2r}}{(q;q)_{n-2r}}\frac{(k;q)_{n+2r}}{(mq;q)_{n+2r}}\left(-\frac ka\right)^{n-2r}\frac{(m/a;q^2)_{r-j}(m;q^2)_{r+j}}{(q^2;q^2)_{r-j}(aq^2;q^2,p)_{r+j}} \end{align}
となる. ここで, 補題1の$p=0$の場合より,
\begin{align} &\sum_{j\leq r}\frac{1-mq^{4r}}{1-m}\frac{(k/m;q)_{n-2r}}{(q;q)_{n-2r}}\frac{(k;q)_{n+2r}}{(mq;q)_{n+2r}}\left(-\frac ka\right)^{n-2r}\frac{(m/a;q^2)_{r-j}(m;q^2)_{r+j}}{(q^2;q^2)_{r-j}(aq^2;q^2)_{r+j}}\\ &=\sum_{0\leq r}\frac{1-mq^{4r+4j}}{1-m}\frac{(k/m;q)_{n-2r-2j}}{(q;q)_{n-2r-2j}}\frac{(k;q)_{n+2r+2j}}{(mq;q)_{n+2r+2j}}\left(-\frac ka\right)^{n-2r-2j}\frac{(m/a;q^2)_{r}(m;q^2)_{r+2j}}{(q^2;q^2)_{r}(aq^2;q^2)_{r+2j}}\\ &=\frac{(k/m;q)_{n-2j}(k;q)_{n+2j}}{(q;q)_{n-2j}(mq;q)_{n+2j}}\left(-\frac ka\right)^{n-2j}\frac{(m;q^2)_{2j}}{(aq^2;q^2)_{2j}}\frac{1-mq^{4j}}{1-m}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq r}\frac{1-mq^{4r+4j}}{1-mq^{4j}}\frac{(q^{2j-n},kq^{n+2j};q)_{2r}(m/a,mq^{4j};q^2)_r}{(mq^{1+2j-n}/k,mq^{n+2j+1};q)_{2r}(q^2,aq^{4j+2};q^2)_r}q^{2r}\\ &=\frac{(k/m;q)_{n-2j}(k;q)_{n+2j}}{(q;q)_{n-2j}(mq;q)_{n+2j}}\left(-\frac ka\right)^{n-2j}\frac{(m;q^2)_{2j}}{(aq^2;q^2)_{2j}}\frac{1-mq^{4j}}{1-m}\\ &\qquad\cdot {}_8W_7(mq^{4j};m/a,q^{2j-n},q^{1+2j-n},kq^{n+2j},kq^{n+2j+1};q^2;q^2)\\ &=\frac{(k/m;q)_{n-2j}(k;q)_{n+2j}}{(q;q)_{n-2j}(mq;q)_{n+2j}}\left(-\frac ka\right)^{n-2j}\frac{(m;q^2)_{2j}}{(aq^2;q^2)_{2j}}\frac{1-mq^{4j}}{1-m}\\ &\qquad\cdot \frac{(mq^{4j+1},aq^{2j-n+1}/k;q)_{n-2j}}{(aq^{4j+1},mq^{2j-n+1}/k;q)_{n-2j}}\frac{(aq^{4j+1},mq^{2j-n+1}/k;q^2)_{n-2j}}{(mq^{4j+1},aq^{2j-n+1}/k;q^2)_{n-2j}}\\ &=\frac{(k/a;q)_{n-2j}(k;q)_{n+2j}}{(q;q)_{n-2j}(aq;q)_{n+2j}}\left(-\frac km\right)^{n-2j}\frac{(aq;q^2)_n(mq^{2j-n+1}/k;q^2)_{n-2j}}{(mq;q^2)_n(aq^{2j-n+1}/k;q^2)_{n-2j}} \end{align}
ここで, $m/k=k/a$であることから,
\begin{align} &\frac{(mq^{2j-n+1}/k;q^2)_{n-2j}}{(aq^{2j-n+1}/k;q^2)_{n-2j}}=(-k/a)^{n-2j} \end{align}
となる. これらより,
\begin{align} \beta_n'(a,k;q)&=\sum_{0\leq j}\frac{(k/a;q)_{n-2j}(k;q)_{n+2j}}{(q;q)_{n-2j}(aq;q)_{n+2j}}\alpha_j(a,m;q^2)\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(k/a;q)_{n-j}(k;q)_{n+j}}{(q;q)_{n-j}(aq;q)_{n+j}}\alpha_j'(a,k;q)\\ \end{align}
となって示すべきことが得られる.

前の記事( 楕円WP-Bailey対と楕円Baileyの変換公式 )の定理1から,
\begin{align} \alpha_n(a,k;q,p)&:=\frac{\theta(aq^{2n};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a/k,a;q,p)_n}{(q,kq;q,p)_n}\left(\frac ka\right)^n\\ \beta_n(a,k;q,p)&:=\delta_{n,0} \end{align}
は楕円WP-Bailey対である. これに定理2を適用すると,
\begin{align} \alpha_{2n}'(a,k;q,p)&=\frac{\theta(aq^{4n};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,a^2/k^2;q^2,p)_n}{(q^2,k^2q^2/a;q^2,p)_n}\left(\frac ka\right)^{2n}\\ \alpha_{2n+1}'(a,k;q,p)&=0\\ \beta_n'(a,k;q,p)&=\frac{(k^2q/a;q^2,p)_n}{(aq;q^2,p)_n}\frac{(k,a/k;q,p)_{n}}{(q,k^2q/a;q,p)_{n}}\left(-\frac ka\right)^{n} \end{align}
は楕円WP-Bailey対である. これに 楕円WP-Baileyの補題 を適用すると, $m=bck/aq$として,
\begin{align} \alpha_{2n}''(a,k;q,p)&=\frac{\theta(aq^{4n};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,a^2/m^2;q^2,p)_n}{(q^2,m^2q^2/a;q^2,p)_n}\frac{(b,c;q,p)_{2n}}{(aq/b,aq/c;q,p)_{2n}}\left(\frac ka\right)^{2n}\\ \alpha_{2n+1}''(a,k;q,p)&=0\\ \beta_n''(a,k;q,p)&=\frac{(mq/b,mq/c;q,p)_n}{(aq/b,aq/c;q,p)_n}\sum_{j=0}^n\frac{(b,c;q,p)_j}{(mq/b,mq/c;q,p)_j}\frac{\theta(mq^{2j};p)}{\theta(m;p)}\\ &\qquad\cdot\frac{(k/m;q,p)_{n-j}(k;q,p)_{n+j}}{(q;q)_{n-j}(mq;q)_{n+j}}\frac{(m^2q/a;q^2,p)_j}{(aq;q^2,p)_j}\frac{(m,a/m;q,p)_j}{(q,m^2q/a;q,p)_j}\left(-\frac ka\right)^j\\ &=\frac{(k,k/m,mq/b,mq/c;q,p)_n}{(q,mq,aq/b,aq/c;q,p)_n}\sum_{j=0}^n\frac{\theta(mq^{2j};p)}{\theta(m;p)}\frac{(m^2q/a;q^2,p)_j}{(aq;q^2,p)_j}\\ &\qquad\cdot\frac{(m,a/m,b,c,kq^n,q^{-n};q,p)_j}{(q,m^2q/a,mq/b,mq/c,mq^{1-n}/k,mq^{n+1};q,p)_j}\left(-\frac{mq}a\right)^j \end{align}
は楕円WP-Bailey対である. つまり,
\begin{align} &\sum_{0\leq j}\frac{\theta(aq^{4j};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,a^2/m^2;q^2,p)_j}{(q^2,m^2q^2/a;q^2,p)_j}\frac{(b,c;q,p)_{2j}}{(aq/b,aq/c;q,p)_{2j}}\frac{(k/a;q,p)_{n-2j}(k;q,p)_{n+2j}}{(q;q)_{n-2j}(aq;q,p)_{n+2j}}\left(\frac ka\right)^{2j}\\ &=\frac{(k,k/m,mq/b,mq/c;q,p)_n}{(q,mq,aq/b,aq/c;q,p)_n}\sum_{j=0}^n\frac{\theta(mq^{2j};p)}{\theta(m;p)}\frac{(m^2q/a;q^2,p)_j}{(aq;q^2,p)_j}\\ &\qquad\cdot\frac{(m,a/m,b,c,kq^n,q^{-n};q,p)_j}{(q,m^2q/a,mq/b,mq/c,mq^{1-n}/k,mq^{n+1};q,p)_j}\left(-\frac{mq}a\right)^j \end{align}
を得る. ここで, 左辺は
\begin{align} &\sum_{0\leq j}\frac{\theta(aq^{4j};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,a^2/m^2;q^2,p)_j}{(q^2,m^2q^2/a;q^2,p)_j}\frac{(b,c;q,p)_{2j}}{(aq/b,aq/c;q,p)_{2j}}\frac{(k/a;q,p)_{n-2j}(k;q,p)_{n+2j}}{(q;q)_{n-2j}(aq;q,p)_{n+2j}}\left(\frac ka\right)^{2j}\\ &=\frac{(k,k/a;q,p)_n}{(q,aq;q)_n}\sum_{0\leq j}\frac{\theta(aq^{4j};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,a^2/m^2;q^2,p)_j}{(q^2,m^2q^2/a;q^2,p)_j}\frac{(b,c,kq^n,q^{-n};q,p)_{2j}}{(aq/b,aq/c,aq^{1-n}/k,aq^{n+1};q,p)_{2j}}q^{2j}\\ &=\frac{(k,k/a;q,p)_n}{(q,aq;q,p)_n}{}_{14}V_{13}(a;a^2/m^2,b,bq,c,cq,kq^n,kq^{n+1},q^{-n},q^{1-n};q^2,p) \end{align}
であり, 右辺は
\begin{align} \theta(A^2;p)=\theta(A,-A,Ap^{\frac 12},-Ap^{-\frac 12};p)p^{\frac 12}/A \end{align}
であることから,
\begin{align} \frac{(A^2;q^2,p)_n}{(B^2;q^2,p)_n}&=\frac{(A,-A,Ap^{\frac 12},-Ap^{-\frac 12};q,p)_n}{(B,-B,Bp^{-\frac 12},-Bp^{\frac 12};q,p)_n}\left(-\frac{B}{A}\right)^n \end{align}
となることを用いれば, $d=m\sqrt{q/a}$として,
\begin{align} &\frac{(k,k/m,mq/b,mq/c;q,p)_n}{(q,mq,aq/b,aq/c;q,p)_n}\\ &\qquad\cdot{}_{14}V_{13}(m;a/m,d,-d,dp^{\frac 12},-dp^{-\frac 12},b,c,kq^n,q^{-n};q,p) \end{align}
となる. よってこれらを代入して示すべき等式を得る.